- •Теория вероятностей
- •1. Предмет теории вероятностей
- •2. Действия над событиями.
- •3. Вероятность события.
- •4. Основные формулы комбинаторики.
- •5. Теорема сложения вероятностей.
- •6. Теорема умножения вероятностей.
- •7. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- •8. Случайная величина и закон ее распределения.
- •9. Функция распределения случайной величины.
- •10. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины.
- •11. Схема независимых испытаний Бернулли.
- •12. Биномиальное распределение.
- •13. Распределение Пуассона.
- •14. Геометрическое распределение.
- •15. Равномерное распределение.
- •16. Показательное (экспоненциальное) распределение.
- •17. Нормальное распределение.
15. Равномерное распределение.
Равномерным называется распределение случайной величины, все значения которой лежат на некотором отрезке [a, b] и имеют постоянную плотность вероятности на этом отрезке (рис.4). Таким образом,
.
Рис.4. График плотности равномерного распределения
Значение выбрано с тем расчетом, чтобы площадь под "ступенькой" была бы равна единице.
Пример. Предположим, что поезда метро идут с одинаковыми интервалами, равными 4 мин. Обозначим через X - время ожидания пассажиром очередного поезда метро. Это случайная величина, имеющая равномерное распределение на промежутке [0,4].
Найдем вероятность того, что пассажир будет ожидать очередного поезда в течение 3 мин. Чтобы такое событие произошло, пассажир должен прийти на станцию через 1 мин. после отправления предыдущего поезда, и тогда
.
Равномерное распределение является основным при получении случайных чисел с любыми другими законами распределения.
Пример. Случайная точка бросается в промежуток [3, 5]. Считая, что ее координата имеет равномерное распределение, найти и построить график функции распределения вероятностей.
Если x3, то
Если 3<x 5, то .
Если x>5, .
График функции распределения показан на рис.
Рис. Функция распределения равномерно распределенной случайной величины.
Числовые характеристики равномерного распределения: математическое ожидание , дисперсия.
16. Показательное (экспоненциальное) распределение.
Плотность показательного распределения имеет вид
,
где>0 - постоянный параметр (рис.5).
Рис.5. График плотности показательного распределения.
Две области применения показательного распределения:
Задачи, связанные с «временем жизни», к которым относятся в медицине - продолжительность жизни больных, в надежности - продолжительность безотказной работы устройства, в психологии - время, затраченное на выполнение тестовых задач.
Задачи массового обслуживания, в которых речь идет об интервалах времени между телефонными звонками, или между моментами поступления техники в ремонтную мастерскую, или между моментами обращения клиентов.
Параметр это величина, обратная или среднему «времени жизни», или среднему времени между вызовами. Величина есть среднее число событий в единицу времени и называется интенсивностью потока событий. Размерность интенсивности .
Показательное распределение является одним из важнейших в теории надежности. Пусть X - случайная величина, выражающая время безотказной работы какого-либо элемента, а - интенсивность отказов (среднее число отказов в единицу времени). Тогда вероятность отказа элемента за время t равна функции распределения случайной величины X: .
Функция надежности определяет вероятность безотказной работы элемента за времяt: (см. рис.).
Пример. Время безотказной работы элемента подчинено показательному распределению с параметром . Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно в течение 10 час, в течение 50 час.
Используя функцию надежности , получим
,
.
Показательное распределение выделяется среди других свойством «отсутствия памяти».
Пусть X - время службы некоторого изделия с показательным законом распределения. «Отсутствие памяти» означает, что изделие, проработавшее время t, имеет такое же распределение, что и новое, только что начавшее работу, изделие. Математически это свойство выражается в виде
.
Данное свойство как бы исключает износ и старение изделия.
Числовые характеристики показательного распределения ,.