8. Теорема Штейнера.

Теорема Штейнера.

Момент инерции твёрдого тела относительно произвольной оси вращения определяется суммой момента инерции относительно оси вращения, проходящей через центр масс тела, и произведением массы тела на квадрат расстояния между осями.

9. Момент импульса. Момент силы. Уравнение моментов. Закон сохранения момента импульса.

Момент импульса. Момент силы.

Момент импульса частицы относительно точки – векторное произведение радиус – вектора и вектора импульса частицы.

Модуль вектора импульса:

Продифференцируем по времени выражение для момента импульса частицы.

Момент силы относительно точки – векторное произведение радиус – вектора частицы и силы, действующей на частицу.

Модуль вектора момента силы:

Момент импульса и момент силы относительно оси.

Момент импульса и момент силы относительно оси – это составляющие по этой оси M₂ и L₂, относительно производной точки O, лежащей на оси Z.

Закон сохранения момента импульса.

Момент импульса системы частиц:

В результате дифференцирования:

Закон сохранения момента импульса:

Момент импульса замкнутой системы частиц остаётся постоянным.

10. Уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела.

Основной закон динамики вращательного движения ТВЕРДОГО ТЕЛА относительно закрепленной точки можно сформулировать следующим образом:  "Произведение момента инерции тела на его угловое ускорение равно суммарному моменту внешних сил, действующих на тело. Моменты сил и инерции берутся относительно оси (z), вокруг которой происходит вращение:"  M(z) = I(z)·e

11. Работа и мощность. Работа внешних сил при вращении твёрдого тела вокруг неподвижной оси.

Энергетические характеристики движения вводятся на основе понятия механической работы или работы силы.

Работой A, совершаемой постоянной силой называется физическая величина, равная произведению модулей силы и перемещения, умноженному на косинус углаα между векторами силыи перемещения (рис. 1.18.1): 

A = Fs cos α.

Работа является скалярной величиной. Она может быть как положительной (0° ≤ α < 90°), так и отрицательной (90° < α ≤ 180°). При α = 90° работа, совершаемая силой, равна нулю. В системе СИ работа измеряется в джоулях (Дж).

Джоуль равен работе, совершаемой силой в 1 Н на перемещении 1 м в направлении действия силы.

Рисунок 1.18.1. Работа силы :

Если проекция силына направление перемещенияне остается постоянной, работу следует вычислять для малых перемещений Δs_i и суммировать результаты: 

Это сумма в пределе (Δs_i → 0) переходит в интеграл.

Графически работа определяется по площади криволинейной фигуры под графиком F_s(x) (рис. 1.18.2).

Рисунок 1.18.2. Графическое определение работы. ΔAi = FsiΔsi

Примером силы, модуль которой зависит от координаты, может служить сила упругости пружины, подчиняющаяся закону Гука. Для того, чтобы растянуть пружину, к ней нужно приложить внешнюю силу модуль которой пропорционален удлинению пружины (рис. 1.18.3).

Рисунок 1.18.3. Растянутая пружина. Направление внешней силы совпадает с направлением перемещенияk – жесткость пружины.

Зависимость модуля внешней силы от координаты x изображается на графике прямой линией (рис. 1.18.4).

Рисунок 1.18.4. Зависимость модуля внешней силы от координаты при растяжении пружины

По площади треугольника на рис. 1.18.4 можно определить работу, совершенную внешней силой, приложенной к правому свободному концу пружины: 

Этой же формулой выражается работа, совершенная внешней силой при сжатии пружины. В обоих случаях работа упругой силы равна по модулю работе внешней силыи противоположна ей по знаку.

Если к телу приложено несколько сил, то общая работа всех сил равна алгебраической сумме работ, совершаемых отдельными силами. При поступательном движении тела, когда точки приложения всех сил совершают одинаковое перемещение, общая работа всех сил равна работе равнодействующей приложенных сил.

Модель. Механическая работа

Работа силы, совершаемая в единицу времени, называется мощностью. Мощность N это физическая величина, равная отношению работы A к промежутку времени t, в течение которого совершена эта работа: 

В Международной системе (СИ) единица мощности называется ватт (Вт). Ватт равен мощности силы, совершающей работу в 1 Дж за время 1 с.