Лабораторная_1

11

За наиболее достоверное значение непосредственно измеряемой физической величины х принимают среднее арифметическое х из всех n результатов измерений х1, х2 ,..., хn

x = 1		∑xi	= x1 + x2 +... + xn .			(3)
		n
	n	i=1		n

В теории измерений доказывается, что среднее значение x измеряемой величины x , полученное при бесконечно большом числе измерений, совпадает с ее истинным значением. В противном случае, т.е. при конечном числе измерений, это равенство носит приближенный характер.

Окончательный результат измерения величины х представляют в форме

х = х ± х,

(4)

где х – положительная величина, называемая абсолютной погрешностью. В общем случае при расчете абсолютной погрешности необходимо принимать во внимание как случайные, так и систематические ошибки прямых измерений. При этом абсолютная погрешность измеряемой величины х

рассчитывается по формуле

х = ( хСЛ )2	+ ( хСИСТ )2 ,	(5)
где хСЛ – случайная погрешность, а	хСИСТ – систематическая погрешность.

Случайная погрешность хСЛ определяется по разбросу отдельных значений х по формуле

n

∑(xi − x)2

хСЛ =	i=1
	n (n −1)

	=	1		(x1 − x)2 +(x2 − x)2 +... + (xn − x)2 .	(6)
		n (n −1)

Отметим, что при росте числа измерений n случайная ошибка уменьшается. Как правило, основной вклад в систематическую погрешность вносят инструментальные (приборные) погрешности. Поэтому для оценки

систематической погрешности можно воспользоваться формулой

хСИСТ = хКЛ / 2,

(7)

где хКЛ – максимальная погрешность по классу точности (см. формулу (2)). После вычисления среднего арифметического значения измеряемой величины х и абсолютной погрешности х (по формулам (3), (5) с использованием формул (6), (7)), необходимо правильно представить результаты обработки, которую лучше начинать с записи абсолютной погрешности. При этом следует придерживаться следующего правила оценки

12

погрешностей: погрешность округляется до одной значащей цифры во всех случаях, кроме одного – когда первая значащая цифра единица. В этом в погрешности случае приводят две цифры.

Неправильно	Правильно
±2,1	±2
±0,032	±0,03
±0,843	±0,8
±0,1 (нет в скобках числа)	±0,14

Окончательную запись следует представить в форме физического результата:

х = х ± х

При этом следует придерживаться следующего правила записи: при записи измеренного значения последней должна указываться цифра того десятичного разряда, который уже использован при указании погрешности.

Неправильно	Правильно
1,2±2	1,2±0,2
1,24±0,38	1,24±0,03
1,243±0,112	1,243±0,012
0,9±0,004	0,900±0,004

Относительная погрешность равна отношению абсолютной погрешности к значению самой измеряемой величины:

Ex = xx .

Вычисление погрешностей косвенных измерений

На практике часто необходимо (в том числе и в лабораторных работах по курсу общей физики) вычисление погрешностей косвенных измерений, т.е. погрешностей таких величин, которые непосредственно в опытах не

измеряются, а их значения определяются через прямые измерения ряда параметров, с которыми они связаны. Пусть V – одна из таких величин. Считаем, что она функциональным образом связана с независимыми параметрами x, y, z,…,т.е. V=f(x,y,z,…). Полагаем, что над величинами x,y,z,…мы можем произвести прямые измерения, а следовательно на их основе определить средние значения x, y, z,...и абсолютные погрешности x, y, z,... .Тогда на

основе теории вероятности можно показать, что абсолютная погрешность величины V при ее косвенных измерениях вычисляется по формуле

13

V =

(

∂f

)

2

( x)

2

+ (

∂f

)

2

(

y)

2

+ (

∂f

)

2

( z)

2

+...,

(9)

∂x

∂y

∂z

где

∂f

,

∂f

,

∂f

,...-

частные

производные

функции

f по

переменным

∂x

∂y

∂z

x,y,z,… соответственно. При этом частной производной, скажем, по х, от функции V=f(x,y,z,…) называется производная по х, вычисленная в предположении, что y,z,…- постоянные. Аналогично определяются и частные

∂f ∂f

производные по y,z,…,т.е. ∂y , ∂z ,..., причем частные производные в (9)

вычисляются в «точке» x = x, y = y, z = z,....

Окончательный результат представляется в стандартной форме

=

V

,

(10)

V =V

±

V , E

V

V

где средним значением величины V при ее косвенном измерении будет

= f (x, y, z,...).

(11)

V

Рассмотрим простейший пример. Пусть V – объем прямоугольного параллелепипеда со сторонами a, b и с, тогда V=abc. Считаем, что в наших опытах проведены измерения длин сторон a, b и с, и в результате 3n измерений получен набор чисел : а1,а2,… аn; b1,b2,… bn; с1,с2,… сn. Для окончательного

и

V .

результата в соответствии с (10) необходимо найти V

находим по формуле (11):

Среднее значение V

V

= a b c ,

(12),

где

a,

и с определяются из (3) по полученным измерениям длин сторон

b

a, b и с. Абсолютную погрешность

V находим по формуле (9)

V =

(b c

a)2 + (ac b) 2

+ (ab

c)2 ,

(13)

а относительную - по формуле (1)

E

=

V =

E

2

+ E

2

+ E

2

,

(14)

V

V

a

b

c

где

∂V

= bc ,

∂V

= ac ,

∂V

= ab,

а ,

b и

c находятся из (6); а Еа, Еb и Ес

∂a

∂c

∂b

– относительные погрешности прямых измерений сторон a, b и с - в соответствии с (8).

14

РАБОТА 1 (фронтальная) ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ТВЁРДЫХ ТЕЛ

Приборы и принадлежности: штангенциркуль, микрометр, прямая правильная шестиугольная призма, круглый прямой конус.

Введение. Целью работы является освоение студентами основных правил и приёмов измерений и обработки результатов. Данная лабораторная работа предусматривает небольшой объем измерений. Основное внимание студентов должно быть обращено на ознакомление с установленными нормами оформления и обработки результатов экспериментальных исследований, подробно изложенными во “Введении к лабораторным работам”. Навыки и знания, приобретённые студентами при выполнении этой лабораторной работы, понадобятся при выполнении лабораторных работ как в физическом практикуме, так и по другим предметам, а также в дальнейшей практической самостоятельной деятельности специалиста.

Описание установки и метода измерений. В работе определяется плотность материала призмы и конуса.

Плотность однородных тел ρ (т.е. масса единицы объема вещества)

	определяется формулой:
	ρ =	m	(1)
		V

где m – масса тела; V – объём тела.

Для определения плотности однородных тел необходимо знать массу тела и его объём V, который определяется формулой (2) для правильной шестиугольной призмы

Vn =	3	3D 2 h	(2)
	8

где D – диаметр окружности, описанной вокруг основания призмы; h – высота призмы; формулой (3) для круглого прямого конуса.

Vк = 12π D2 h ,

где D – диаметр основания конуса; h – высота конуса. С учетом выражения (1) плотность материалов

определить из соотношений

ρ	n		=		8m
				3 3D2 h
ρ		к	=		12m
					πD2 h

(3)

призмы, конуса можно

(4)

(5)

15

Измерения высоты и диаметров проводится штангенциркулем и микрометром, которые снабжены вспомогательной шкалой – нониусом. Нониусом называют скользящую вспомогательную линейку (рис. 1), с помощью которой можно отсчитывать доли наименьшего деления основной шкалы. Деления нониуса выполняют такого размера, чтобы n делений нониуса были равны (n – 1) делений основной шкалы. Если обозначить величину деления нониуса lн, а цену деления линейки основной шкалы lм , то

lн n = lн (n −1) .

Разность между ценой деления основной шкалы и нониуса составляет

l = lм −lн = lnм .

Величину l называют точностью нониуса. Если lм=1 мм и n=10, то по нониусу можно отсчитывать десятые доли миллиметра lnм = 0,1 мм. Обычно n

бывает равно 10, 20, 25, 50.

рис. 1

Измерения с помощью нониуса проводятся по аналогии с масштабной линейкой, т.е. к измеряемому телу длиной L прикладывают основную шкалу так, чтобы её нуль совпал с одним из концов тела. Другой конец тела находится при этом между m и (m + 1) делениями основной шкалы. Длина тела отсчитывается от нуля основной шкалы и равна

L = mlм + L ,

где l – какая-то часть деления основной шкалы, которая определяется нониусом.

Пусть k-ое деление нониуса ближе всего совместилось с (m + k) делением основной шкалы. Тогда длина тела будет равна

16

L = (m + к)lм − кlн = mlm + к(lм −lн ) ,

где к(lм −lн ) = L .

Учитывая формулу для l , получаем

l L = mlм + к l = кlm + к nм

Согласно этому соотношению, отсчет по нониусу равен числу целых делений основной шкалы, укладывающихся перед нулевым штрихом нониуса (mlм), сложенному с точностью нониуса, умноженной на номер k-го штриха нониуса, который совпадает с штрихом основной шкалы.

Случайная погрешность, возникающая при таком методе отсчёта, обусловлена неточностью совпадений делений шкал.

Аналогично устроен нониус микрометра.

Порядок выполнения работы

1.Получить шестиугольную призму, круглый конус и измерительные инструменты.

2.Ознакомиться с устройством и принципом измерения линейных размеров тел штангенциркулем и микрометром.

3.Проверить положение нуля на измерительных инструментах.

4.Зафиксировать приборную, погрешность штангенциркуля и микрометра. Как правило, измерения проводятся штангенциркулем. Те размеры, которые можно измерить микрометром, нужно им и измерять.

Определение плотности материала призмы.

5.Измерить 6 раз высоту призмы hi и занести результаты измерений в графу 2 таблицы 1.

6.Проверить, не содержится ли в результатах измерений грубой погрешности (промаха) и при наличии исключать её из дальнейшей обработки.

7.Определить среднее значение искомой величины по формуле

h = 1 ∑N hi , n i=1

где N – число измерений.

8.По формуле:

	N
hСЛ =	∑(hi − h)2	,
	i=1
	N (N −1)

(6)

(7)

где N – число опытов (без учёта тех, в которых были допущены грубые погрешности) определить случайную среднеквадратичную погрешность ∆hСЛ

17

результата измерений высоты призмы h и занести её в графу 4 таблицы 1.

9. Определить среднеквадратичную систематическую погрешность ∆hсист измерений высоты по формуле:

	hсист =	приб	,	(8)
		2

где приб – приборная погрешность измерительного инструмента, указанная в

нём.

10.Найти среднеквадратичную абсолютную погрешность измерений высоты по формуле:

h = ( h )2	+ ( h	сист	)2 .	(9)
СЛ

11.Определить относительную погрешность измерений

	Eh =	h .		(10)
		h

12.Измерить 6 раз диаметр окружности, описанной вокруг основания прямой правильной шестиугольной призмы и занести результаты измерений в графу 5 таблицы 1.

13.Провести вычисления, аналогично проведённым выше, по пунктам 5 – 11 для измеренных величин Di.

14.Занести данные на приборе значения массы призмы m с её стандартной погрешностью m ± ∆m.

15.Найти относительную погрешность измерения массы

	Em =		m		.	(11)
		m

Таблица 1. Определение плотности материала призмы.

Масса призмы m=

∆m=

№	hi		h		∆hСЛ	Di				∆DСЛ
								D

1

2

3

4

5

6

18

16.Используя найденные средние значения h и D , а также заданное значение m призмы, определить среднее значение плотности ρ материала призмы по формуле (5), куда вместо h , D и m представляют средние значения указанных величин h , D и m .

17.	Провести расчёт относительной погрешности результата измерений
величины плотности E ρ , используя формулу
	Eρ = Em2 + En2 + (2ED )2 .			(12)
18.	Найти абсолютную погрешность результата по формуле
	ρ =		Eρ	(13)
		ρ

и представить окончательный результат измерений в следующей форме:

ρ = (ρ ± ρ) кг	3	(14)
м

Размерность конечного результата должна соответствовать единицам СИ.

Определение плотности материала конуса.

19.Измерить 6 раз высоту и диаметр основания конуса, результаты измерений занести в таблицу 2, аналогичную таблице 1.

20.Выполняя вычисления по вышеизложенной схеме, определить плотность материала конуса. Масса конуса в соответствии с его номером дана в таблице в лаборатории.

Таблица 2. Определение плотности материала конуса.

Масса конуса m=

∆m=

№	hi		∆hСЛ	Di		∆DСЛ
		h			D

1

2

3

4

5

6

21.Окончательный результат измерений представить в следующей форме:

ρ = (ρ ± ρ) кг	3	(14)
м

19

Размерность конечного результата должна соответствовать единицам СИ.

Контрольные вопросы

1.Какие измерения называют прямыми и косвенными? Приведите примеры.

2.Назовите основные виды погрешностей измерений.

3.Приведите виды систематической, грубой, случайной погрешностей в выполненной вами работе.

4.Как определяют среднее значение результатов опыта при прямых измерениях? При косвенных измерениях?

5.Как определяют абсолютную погрешность при прямых измерениях? При косвенных измерениях?

6.Что такое относительная погрешность?

7.В какой форме следует записывать окончательный результат?

8.Что такое точность прибора?

9.Что такое приборная погрешность? Приведите пример на конкретном приборе или инструменте.

10.Сколькими значащими цифрами характеризуют величину абсолютной погрешности?

11.Сколькими значащими цифрами ограничиваются при окончательной записи среднего значения измеряемой величины?

20

РАБОТА 2 а, б ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ.

Приборы и принадлежности: прямоугольный ящик с песком, набор электродов, наушники, вольтметр, измерительная линейка, источник переменного тока, комплект соединительных проводов.

Введение. Статическое электрическое поле характеризуется силовыми линиями, показывающими направление векторов электрической напряженности, а также уровнями равного потенциала. Напряженность электрического поля определяется из потенциала по формуле

E =− ϕ	(1)
где E – напряженность (векторная величина), потенциал ϕ	– скалярная

величина, индекс , носящий название оператора «набла», определяет градиент потенциала, то есть первую производную по радиус-вектору r , которая в декартовых координатах имеет вид

r

∂

∂

r

∂

r

∂

r

=

r

=

i

+

j

+

k

(2)

∂x

∂y

∂z

∂r

Таким образом, измеряя или вычисляя уровни равного потенциала, мы имеем возможность определить в любой точке поверхности силу, действующую на пробный заряд, помещенный в эту точку, то есть, определим напряженность электрического поля и по направлению и по величине.

В общем случае потенциал в каждой точке электрического поля разный по величине. Для примера покажем возможное потенциальное поле в пространстве. По горизонтали расположены оси x и y на плоскости, а по оси z построен потенциал поля. На рис. 1 показано такое поле. Уровни равного потенциала представляют собой сечения потенциалов на разных высотах, соответствующих разным величинам потенциала, что показано на рис. 2.

Линии равного потенциала можно спроектировать на плоскость xy. И затем изучать электрическое поле.

Рассмотрим конкретный пример сложения полей трех точечных зарядов, расположенных на плоскости xy. Единичный точечный заряд имеет потенциал ϕ , определяемый по формуле

ϕ =		q				(3),
	4	π ε 0 ε r
где q – электрический заряд,		ε	–		относительная	диэлектрическая
проницаемость среды, ε 0 =8.8542 10−12 Ф/ м			–		электрическая	постоянная, r –

расстояние от заряда.