Методичка_3_final

41

РАБОТА 5

ИЗУЧЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКОГО ХАРАКТЕРА РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА

Приборы и принадлежности: радиоактивный препарат, радиометр, пересчетный прибор.

Цель работы : изучение статистического характера законов радиоактивного распада.

Описание установки и метода измерений Согласно основному закону радиоактивного распада, среднее число нераспавшихся ядер к моменту времени t после начала распада

N (t) = N	0	e- λ t	,	(43)

где N0 - число радиоактивных ядер в момент времени t=0, λ – постоянная распада (вероятность распада ядра в единицу времени). Среднее число распадов n за время t соответственно равно

n = N0 - N (t) = N0 (1- e-λ t ) .

Если время наблюдения по сравнению со средним временем жизни ядра невелико, т.е. λ·t <<1, экспоненту можно разложить в ряд :

e-λ t ≈1- λ t

и соответственно получить для среднего числа распадов за небольшое время:

N0 (1-1+ λ t ) = N0 λ t =n .

Среднее число распадов в единицу времени nt = N0 λ при малых

временах наблюдения может существенно отличаться от реального наблюдаемого числа распадов в единицу времени.

Рис. 18

42

Вероятность распада n ядер за время

t

wn подчиняется обычному

распределению Гаусса:

1

2

w n =

exp

(n - n)

-

,

2n

2πn

дисперсия

которого D характеризует

ширину кривой распределения на

высоте 1/ 2

от максимальной вероятности,

т.е. при отклонении n от

на

n

величину σ вероятность уменьшается в e раз, а D =σ2 = n (рис. 18).

Вданной лабораторной работе применяется установка, изображенная на рис

19.В качестве блока регистрации используется сцинтилляционный детектор с фотоэлектронным умножителем (ФЭУ).

Рис. 19 Пересчетный прибор позволяет автоматически регистрировать число

распадов n в альфаисточнике за разные фиксированные интервалы времени.

Порядок выполнения работы

1.Включают блок питания и пересчетный прибор.

2.Нажимают кнопку “N” и кнопку “1” выбора времени экспозиции, соответствующую 1 сек. Остальные кнопки должны быть отжаты.

3.Нажимают кнопку “сброс”, затем “пуск”. На табло автоматически высвечивается количество распадов за 1 сек. Эти данные записывают в таблицу 1-а для 100 раз измерений.

4.Устанавливают кнопку выбора времени экспозиции, соответствующую 3 секундам, и проделывают 100 аналогичных п.3 измерений, записывая их в таблицу 1-б.

5.Устанавливают кнопку выбора времени, соответствующую 10 секундам,

ивновь проводят 100 измерений, фиксируя их в таблице 1-в.

					43
			Таблица 1-а.				t=1 сек.
i	n i	i		n i		i		n i	i	n i
1		26				51			76
2		27				52			77
25		50				75			100

Аналогичные таблицы 1-б и 1-в заполняют для 3 сек. и 10 сек.

Обработка результатов

1. Считают число случаев xn , при которых за время t произошло от n1 до n2 распадов частиц. Числа n1 и n2 определяются как края интервала nmax/11, где nmax – максимальное зарегистрированное число распадов за данное время. В результате все 100 измерений будут разбиты на 11 неравных групп. В таблицу

заносят число попаданий xi в данный интервал

n. Для счета удобно заполнить

три аналогичных таблицы (для

t = 1 сек., 3 сек.. 10 сек.)

n

Ясно, что

xi

всех

сумма

x n

равна

100 для каждого

t.

2. Строят графики зависимости xi от

n (так называемые гистограммы –

ступенчатые кривые), проводя по верхушкам ступенек сглаженную кривую.

3. По полученным графикам оценивают

и σ

для каждого из трех случаев

n

t.

и σ с расчетными по формулам

4. Сравнивают полученные значения

n

1

100

100

2

∑ n

i

= n

,

σ =

1

∑ (n

i

− n)

100 i=1

100 i=1

и теоретическим значением

σ= n .

5.Делают вывод о характере зависимости распределения числа распадов от времени проведения измерения.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Вывести закон радиоактивного распада и объяснить смысл входящих в него величин с учетом статистического характера радиоактивного распада.

2.Дать определение постоянной распада, среднего времени жизни и периода полураспада радиоактивных ядер.

3.В чем проявляется статистический характер радиоактивного распада?

4.Что такое общее распределение Гаусса и какой его частный случай описывает распределение числа распадов за небольшой промежуток времени.

5.Как по каждой из кривых оценить среднее число распадов за 1 сек. и его дисперсию?

6.Почему при измерении числа распадов за одинаковые промежутки времени получаются различные результаты? Как это различие зависит от времени измерения?

44

РАБОТА 6

СНЯТИЕ ВОЛЬТАМПЕРНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОЛУПРОВОДНИКОВОГО ДИОДА

Приборы и принадлежности: лабораторный макет установки, цифровой вольтметр В7-27, цифровой амперметр Щ4 300, источник питания.

Цель работы: изучение односторонней проводимости р-n перехода.

ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ Квантовая теория позволяет рассчитать так называемый зонный

энергетический спектр атомов в кристалле. Основные ее выводы следующие.

Образование энергетических зон в твердых телах.

При образовании твердого тела из изолированных атомов, имеющих линейчатый спектр разрешенных уровней, за счет взаимодействия между атомами их энергетические уровни смещаются, расщепляются и расширяются в зоны, образуя так называемый зонный энергетический спектр. Вместо

Рис. 20

дискретного энергетического уровня, характерного для изолированного атома, в твердом теле, содержащем N взаимодействующих атомов, возникает N близко расположенных друг от друга энергетических уровней, образующих

45

энергетическую зону. Эти зоны разрешенных уровней разделены зонами запрещенных уровней (рис. 20).

Ширина разрешенных зон порядка нескольких эВ, а расстояния между разрешенными уровнями внутри зоны порядка

Eраз ~ 10−22 − 10−23 эВ,

N

то есть мало - внутри зоны уровни образуют квазинепрерывный спектр. Различие в электрических свойствах металлов, диэлектриков и полупроводников в зонной теории объясняется с единой точки зрения в зависимости от заполненности зоны электронами и от ширины запрещенной зоны.

Разрешенная зона, возникшая из того уровня, на котором находятся валентные электроны в основном состоянии атома, называется валентной зоной. При абсолютном нуле температуры валентные электроны заполняют попарно нижние уровни валентной зоны. Более высокие разрешенные зоны от электронов свободны. Возможны три случая, изображенные на рис. 21.

Рис .21

В случае а) электроны заполняют валентную зону не полностью. Поэтому достаточно сообщить электронам, находящимся на верхних уровнях, совсем небольшую энергию ( 10¯²³ - 10¯²² эВ) для того, чтобы перевести их на более высокие уровни. Энергия теплового движения (кТ) составляет при Т= 1К величину порядка 10¯4 эВ, что обеспечивает внутризонный переход, и электрон становится свободным и участвует в проводимости. То есть в этом случае твердое тело всегда будет проводником (именно это свойственно металлам).

Электроны проводимости в металле можно рассматривать как идеальный газ, подчиняющийся закону распределения ФермиДирака:

N (E) =			1			,
		E − E
			F
	e			кТ	+1

46

где ‹N(Е)› - среднее число электронов в квантовом состоянии с энергией Е, ЕF - максимальная кинетическая энергия, которую могут иметь электроны в металле при температуре абсолютного нуля, называемая энергией Ферми. Наивысший энергетический уровень, занятый электронами, называется уровнем Ферми.

Рис. 22

Вид функции распределения электронов по энергиям указан на рис 22 а,б при Т=0 К и Т>0. Т.о. при Т=0 К все нижние состояния заполнены электронами вплоть до состояния с энергией ЕF , а все состояния с большей энергией свободны. Поэтому работу выхода электронов из металла надо отсчитывать от уровня Ферми.

Вероятность его заполнения равна 1/2, а энергия Ферми определяется плотностью электронов в металле n0 :

E F = h 2 3nπ0 23 2m 8

( h- постоянная Планка, m- масса электрона). Значение ЕF ≈ 5 эВ, а значение кТ при комнатных температурах порядка 2·10¯² эВ, т.е. кТ<<EF. Поэтому при температурах, отличных от 0 К, функция распределения плавно изменяется от 1 до 0 в узкой области кТ. Это означает. что в тепловом движении участвует лишь небольшое число электронов с энергией, близкой к ЕF .

В случаях б) и в) на рис. 21 валентная зона полностью заполнена электронами, а следующая (зона проводимости) – свободна от электронов. Для того, чтобы перевести электрон в зону проводимости, нужно сообщить ему энергию, большую ширины запрещенной зоны ∆Е. Поэтому электрические свойства кристаллов определяются шириной запрещенной зоны ∆Е. Если она невелика (порядка нескольких десятых эВ), энергия теплового движения в состоянии перевести часть электронов в зону проводимости (рис. 21, б). Такое вещество называется полупроводником.

Если ширина запрещенной зоны ∆Е велика (порядка нескольких эВ), тепловое движение не сможет забросить в зону проводимости заметное число электронов (рис.21, в). Вещество в таком случае оказывается диэлектриком (изолятором).

47

На рис. 23 изображен график функции распределения совместно со схемой энергетических зон для чистого полупроводника. Положение уровня Ферми

Рис. 23

слабо зависит от температуры и находится посередине запрещенной зоны. Уровни зоны проводимости лежат на конце кривой распределения, где Е – ЕF ≈ DE/2 >> кТ, функция распределения электронов по энергии (и число электронов, перешедших в зону проводимости) упрощается :

		E
N(E) ≈exp	-		.
		2кТ

Собственная проводимость полупроводников

Полупроводниками называется большое число веществ, удельное сопротивление которых изменяется в широком интервале от 10-5 до 108 Ом·м и очень быстро уменьшается с повышением температуры (в этом одно из основных отличий полупроводников от металлов, у которых сопротивление растет с повышением температуры). Типичными полупроводниками являются химические элементы: германий (Ge) и кремний (Si). Электропроводность химически чистых полупроводников называется собственной проводимостью. Она возникает под действием внешних факторов (температуры, облучения,

48

сильных электрических полей), когда электроны с верхних уровней валентной зоны I перебрасываются на нижние уровни зоны проводимости II (рис. 24). При этом в зоне проводимости появляются электроны, обуславливающие проводимость n - типа, а в валентной зоне возникают вакантные состояния, получившие названия дырок. Связанная с движением дырок проводимость называется проводимостью p – типа (дырочная). Таким образом, собственная проводимость полупроводников имеет два механизма: электронный и дырочный.

Энергия Ферми в собственно полупроводнике расположена в середине запрещенной зоны и представляет собой энергию, от которой происходит

Рис. 24 возбуждение электронов и дырок (если для образования пары электрон-дырка

нужно затратить энергию E , то на один электрон E/2 ). Концентрации электронов и дырок одинаковы и быстро возрастают с ростом температуры Т по закону:

					E
n	e	= n	p	= C exp -		,
					2кΤ

где ∆Е- ширина запрещенной зоны, к- постоянная Больцмана, С- константа. По этому же закону возрастает удельная электропроводность и уменьшается удельное сопротивление полупроводника:

		E				E
γ = γ0	exp -		,	ρ = ρ0	exp		.
		2кΤ				2кΤ

Примесная проводимость полупроводников

Наличие примесей в чистом полупроводнике влияет на движение электронов и их энергетические состояния и может во много раз увеличивать их проводимость. Например, ввод в кристаллическую решетку четырехвалентного германия (Ge) пятивалентного мышьяка (As) оставляет один электрон свободным от ковалентных связей, и при тепловых колебаниях он легко становится электроном проводимости. В полупроводнике возникает электронная примесная проводимость (n-типа). Примеси, являющиеся источниками электронов, называются донорами.

49

Если же валентность примеси на единицу меньше валентности атомов полупроводника (например, при внедрении трехвалентных атомов бора (В) в решетку четырехвалентных атомов кремния (Si)), одна из валентных связей оказывается неукомплектованной и четвертый электрон может быть захвачен от соседнего атома основного вещества, где соответственно образуется дырка. Последовательное заполнение образующихся дырок электронами эквивалентно движению дырок в решетке как свободных положительных зарядов. В этом случае в проводнике возникает дырочная проводимость (p-типа), а примеси называются акцепторами.

По зонной теории внедрение в полупроводник доноров приводит к возникновению в запрещенной зоне донорного энергетического уровня D, заполненного валентными атомами примеси. Этот уровень расположен близко от дна зоны проводимости (в случае Gе ∆ED=0.013 эВ, т.е. ∆ЕD < кТ). Поэтому уже при обычных температурах электроны примесного уровня перебрасываются в зону проводимости (свободных дырок при этом в валентной зоне не возникает) (рис. 25 а).

Введение в полупроводник акцепторов приводит к возникновению в запрещенной зоне акцепторного энергетического уровня А, не занятого электронами. Этот уровень расположен близко от верхнего края валентной зоны (в случае Si ∆ЕА =0.08 эВ < кТ). Это приводит уже при низких температурах к переходу электронов из валентной зоны на примесные уровни, и в валентной зоне в качестве основных носителей появляются дырки (см. рис. 25 б).

Рис. 25

50

Таким образом, в примесных полупроводниках n-типа (донорные) основными носителями являются электроны, т.е. отрицательные заряды, а в полупроводниках р-типа (акцепторные)- дырки, т.е. как бы положительные заряды.

Поскольку в собственной проводимости полупроводника участвуют одновременно и электроны и дырки, то в примесном полупроводнике n-типа в качестве неосновных носителей имеются дырки, а в р-типа- электроны.

Наличие примесных уровней в полупроводниках существенно изменяет положение уровня Ферми ЕF. При Т=0 К в полупроводниках n-типа он расположен посередине между дном зоны проводимости и донорным уровнем, а в полупроводниках р-типа- посередине между потолком валентной зоны и акцепторным уровнем. С ростом температуры и в том и в другом случае уровень Ферми имеет тенденцию смещаться к середине запрещенной зоны.

Контакт двух полупроводников (n-р переход)

Рис. 26 Граница соприкосновения полупроводников разных типов называется

электронно-дырочным переходом (или n-р переходом). Эти переходы являются основой работы многих полупроводниковых приборов. Соприкосновение таких полупроводников приводит к диффузии электронов из n-полупроводника, где их концентрация выше, в р - полупроводник, где их концентрация ниже.