1-43_zadachi_UIP

1.По доходностям акции предыдущих пяти месяцев (май-сентябрь), приведенных в таблице, определить в каких интервалах по правилу «трех сигм» будет находиться ожидаемая доходность акции в октябре месяце:

Периоды	май	июнь	июль	авг	сент
Доходность в периоде	4%	3%	5%	1,5%	3%

Решение:

1)rожид=4+3+5+1,5+35=3,3 %;

2)δ=(3,3-4)2+(3,3-3)2+(3,3-5)2+(3,3-1,5)2+(3,3-3)25=1,17 %;

3)с вероятностью 68,3 %: -δ+rожид<r68,3%<δ+rожид; 2,13 %<r68,3%<4,47 %;

С вероятностью 95,4 %: -2*δ+rожид<r95,4%<2*δ+rожид; 0,97 %<r68,3%<5,63 %;

С вероятностью 99,7 %: -3*δ+rожид<r95,4%<3*δ+rожид; -0,2 %<r68,3%<6,8 %

2. Ожидаемая недельная доходность акции равна 2%, дисперсия доходности равна 0,25. Укажите верное утверждение из следующих:

1. недельная доходность акции с вероятностью 68,3% будет в интервале от 1,75% до 2,25%;

2. недельная доходность акции с вероятностью 68,3% будет в интервале от 1,5% до 2,5%;

3. недельная доходность акции с вероятностью 95,4% будет в интервале от 1,5% до 2,5%;

4. недельная доходность акции с вероятностью 95,4% будет в интервале от 1,0% до 3,0%;

5. недельная доходность акции примет только положительные значения.

3.Менеджер управлял портфелем в течение 100 дней. В начале периода в портфель инвестировали 20 млн. руб. Через 100 дней его стоимость выросла до 23 млн. руб. Финансовый год равен 365 дням. Определить доходность управления портфелем в расчете на год:

• на основе простого процента.

• на основе эффективного процента

Решение:

1)r100=23-2020*100 % = 15 %;

2)На основе простого процента: rгод=0,15* 365100=0,547 54,7 %;

3)На основе эффективного процента: rэфф=(1+0,15)365/100-1=0,665;(66,5 %)

4.Рассчитайте реализованную доходность портфеля, состоящего из:

1. 240 акций рыночной стоимостью 50 руб. и доходностью 18%;

2. 140 облигаций рыночной стоимостью 100 руб. и доходностью к погашению 11%;

3. 100 облигаций рыночной стоимостью 240 руб. и доходностью к погашению 14%

Решение:

1.Стоимость портфеля: Pp=240*50+140*100+100*240=50000;

2.Веса активов в портфеле: W1=240*5050000=0,24; W2=140*10050000=0,28; W3=100*24050000=0,48;

3.Доходность портфеля: Erp=18*0,24+11*0,28+14*0,48=14,12 %

5.Инвестор открыл длинные позиции по активам А и В и короткую позицию по активу С. В момент открытия позиций акции А, В, С стоили соответственно: 300 тыс. руб., 400 тыс. руб., 500 тыс. руб. В течение месяца акции А выросли в цене на 25%, акции В упали в цене на 12%, акции С выросли в цене на 2%. Дивиденды по акциям не выплачивались. Через месяц инвестор закрыл все позиции. Какова реализованная доходность портфеля инвестора за месяц? Расходами, связанными с открытием и закрытием позиций, пренебречь.

Решение:

1.Стоимость портфеля: Pp=300+400-500=200;

2.Веса активов в портфеле: W1=300200=1,5; W2=400200=2; W3=-500200=-2,5;

3.Доходность портфеля: Erp=25*1,5-12*2+2*(-2,5)=8,5 %

6.Для формирования портфеля инвестор использовал собственные средства и также получил кредит сроком на год в размере 200 тыс. руб. под 9% годовых. Инвестор приобрел акции двух видов: акции А на сумму 450 тыс. руб. и акции В на сумму 650 тыс. руб. Реализованная доходность акции А составила 25%, акции В 30%. Определить реализованную доходность портфеля за год.

Решение:

1.Стоимость портфеля: Pp=450+650-200=900;

2.Веса активов в портфеле: W1=450900=0,5; W2=650900=0,72; W3=-200900=-0,22;

3.Доходность портфеля: Erp=25*0,5+30*0,72-9*0,22=32,12 %

01.01.09	31.01.09	01.02.09	28.02.09	01.03.09	31.03.09
10 т.руб.	9 т.руб		12 т.руб		12 т.руб.
		+2 т.руб		-2 т.руб

7.Определить простую доходность портфеля за год, используя данные о стоимостях портфеля за 3 месяца, приведенные в таблице. При расчете необходимо учесть, что 01.02.09 в портфель было дополнительно вложено 2 тыс.руб., а 01.03.09 из портфеля было изъято 2 тыс.руб.

Решение:

1.rэфф=910*129+2*1212-2-1=0,178; (17,8 % за квартал)

2.За год: rгод=4*17,8=71,2 %

8. Портфель инвестора состоит из двух активов: А и В. Инвестор планирует три исхода событий в будущем, характеристики которых приведены в таблице. Доля актива А в портфеле 40%, Определить ожидаемую доходность портфеля

	Вероятность	Доходность актива А	Доходность актива В
Исход 1	0,3	-35	-15
Исход 2	0,25	50	-8
Исход 3	0,45	-5	40

Ra=-35*0.3+50*0.25+0.45*(-5)=-0.25%

Rb=-15*0.3+(-8)*0.25+40*0.45=11.5%

R=-0.25*0.4+11.5*0.6=6.8%

9. Для формирования портфеля инвестор использовал собственные средства и также получил кредит сроком на год в размере 400 тыс. руб. под 7% годовых. Инвестор приобрел акции двух видов: акции А на сумму 600 тыс. руб. с ожидаемой доходностью 25% и акции В на сумму 600 тыс. руб. с ожидаемой доходностью 28%. Определить ожидаемую доходность портфеля инвестора за год.

R=(600*0.25+600*0.28-400*0.07)/(600+600-400)*100%=36.25%

11. Определить риск портфеля, состоящего из акций А и В, если доля акции А в портфеле составляет 30%, стандартное отклонение доходности акции А за период равно 15%, акции В: 45%. ковариация доходностей равна 150. σР = (0,3²х15² + (1-0,3)²х45² + 2х0,3х(1-0,3)х150)^1/2 = 32,79%

12. Инвестор открыл длинные позиции по акции А и по акции В. Стандартное отклонение доходности акции А за период равно 10%, акции В: 25%. Коэффициент корреляции доходностей равен минус 0,4. Определить ожидаемый риск портфеля за период, если инвестор купил акции А на 50 тыс. руб., акции В на 25 тыс. руб. Доля А = 50 / (50 + 25) = 0,6666667 Доля B = 25 / (50 + 25) = 0,3333333 σ2 = 0,66666672х102 + 0,33333332х252 – 2х10х25х0,6666667х0,3333333х0,4 = 69,4444435 σ = 69,44444351/2 = 8,33%

13. Инвестор купил акции иностранного эмитента на 100 тыс. долл. Стандартное отклонение доходности акции в расчете на день составляет 1,4%. стандартное отклонение валютного курса в расчете на день 0,3%, коэффициент корреляции между курсом доллара и доходностью акции равен 0,2. Определить риск портфеля в расчете на день.

Σp= √( [1,4]^2+ [0,3]^2+ 2*1,4*0,3*0,2) = 1,5%

14. Инвестор осуществил короткую продажу акций иностранного эмитента на 100 тыс. долл. Стандартное отклонение доходности акции в расчете на день составляет 1,4%. стандартное отклонение валютного курса в расчете на день 0,3%, коэффициент корреляции между курсом доллара и доходностью акции равен 0,2. Определить риск портфеля в расчете на день.

Σp = √( [1,4]^2+ [0,3]^2+ 2*1,4*0,3*(-0,2)) = 1,37%

15. Удельный вес актива X в портфеле 20%, актива Y 30%, актива Z 50%, стандартное отклонение доходности актива X составляет 36%, актива Y – 22%, актива Z – 15%, ковариация доходностей активов X и Y равна 396, X и Z – 324, Y и Z – 264. Определить риск портфеля, измеренный стандартным отклонением.

Σp = ((0,2*36)² + (0,3*22)² + (0,5*15)² + 2*0,2*0,3*396 + 2*0,2*0,5*324 + 2*0,3*0,5*264)^1/2 = 18,52%

16. Портфель состоит из двух активов 1 и 2 с удельными весами 0,6 и 0,4 соответственно. Риск (стандартное отклонение доходности) активов 1 и 2 равен 8% и 6%, соответственно. Рассчитать величины риска по портфелю, если коэффициенты корреляции между доходностями равны: а)+1; б)– 1.

а) корень(0,4^2*0,06^2+0,6^2*0,08^2+2*0,4*0,6*0,08*0,06*1) б) аналогично, только с минусом

17. Портфель состоит из двух активов 1 и 2. Стандартные отклонения доходностей активов 1 и 2 соответственно равны 8% и 6%. Коэффициент корреляции между доходностями равен минус 1. Определить веса активов в портфеле, имеющего нулевой риск.

x^2*0,08^2 + (1-x)^2*0,06^2 + 2*x*0,06*0,08*(1-x)*(-1) = 0 => x = 3/7, (1-x) = 4/7

18. Инвестор приобретает рискованный актив А на 800 тыс. руб. за счет собственных средств, занимает 200 тыс. руб. под 12% годовых и также инвестирует их в актив А. Ожидаемая доходность актива А равна 30% годовых, стандартное отклонение доходности 20%. Какую доходность инвестор может получить через год с вероятностью 68,3%?

Wa = 800/800=1, Wc = 200/800=0,25; r p = 0,3*(1+0,25)-0,12*0,25 = 34,5%, сигма p = (1+0,25)*0,2 = 25%, 1 сигма, r принадлежит (9,5% ; 59,5%)

19. Инвестор приобретает рискованный актив X на 300 тыс. руб. и актив Y на 200 тыс. руб. за счет собственных средств. Занимает 200 тыс. руб. под 12% годовых и покупает на 150 тыс. актив А и на 50 тыс. актив В. Ожидаемая доходность актива А равна 20%, актива В равна 15% годовых, стандартное отклонение актива А в расчете на год составляет 14%, актива В 10%, коэффициент корреляции доходностей активов равен 0,7. Определить, какую доходность инвестор может получить через год с вероятностью 95,4%.

W1 = (300=150)/500=0,9, W2 = (200+50)/500=0,5, Wзаемн =- 200/500=-0,4, rp = 0,9*0,2+0,5*0,15-0,4*0,12 = 20,7%, сигма p = ((0,9*0,14)^2 +(0,5*0,1)^2+2*0,7*0,9*0,5*0,14*0,1)^(1/2) = 16%, 2 сигмы : r принадлежит (-11%; 53%)

20. Инвестор сформировал кредитный портфель из двух активов 1 и 2 на сумму 100000 руб. Доходность безрискового актива 1 равна 8%. Риск актива 2 равен 13%, ожидаемая доходность 23%, доля в портфеле 40%. Определить ожидаемую доходность и риск портфеля.

r p = 0,08*0,6 +0,23*0,4 = 14% сигма p = 0,4*0,13 = 5,2%

21. Ставка без риска равна 8%, ожидаемая доходность рыночного портфеля – 22%, стандартное отклонение доходности рыночного портфеля – 14%. Определить ожидаемую доходность портфеля, стандартное отклонение доходности которого составляет 25%.

E(rp) = 0,08 + (0,25/0,14) * (0,22 – 0,08) = 0,08 + 0,25 = 0,33

22. Стандартное отклонение доходности рыночного индекса равно 25%, ковариация доходности рыночного индекса с доходностью акции ^А составляет 340. Определить коэффициент бета акции ^А относительно рыночного индекса.

Beta = 340 / (0,25^2) = 5440

23. Стандартное отклонение доходности рыночного индекса равно 25%, доходности акции X 20%, коэффициент корреляции между доходностями рыночного индекса и акции X составляет 0,68. Определить коэффициент бета акции X относительно рыночного индекса.

β(X) = 0,68 * 0.20.25 = 0,544

24.На основании следующей информации рассчитайте "бета" портфеля, состоящего из 5 активов:

активы	1	2	3	4	5
"Бета"	0,95	1,40	1,00	0,60	0,55
^Wi	0,3	0,2	0,1	0,15	0,25

β(p) = 0,95*0,3 + 1,4*0,2 + 1*0,1 + 0,6*0,15 + 0,55*0,25 = 0,89

25. Ставка без риска равна 10%, ожидаемая доходность рыночного портфеля 20%, бета акции компании А относительно рыночного портфеля равна 1,2. Определить ожидаемую доходность акции.

CAPM = 10% + 1,2 * (20% - 10%) = 22%

26. Ожидаемая доходность рыночного портфеля равна 20% , ставка без риска 10% годовых. Коэффициент бета акции А составляет 1,2; акции B составляет 1,4; акции C составляет 0,8. Удельные веса акций в портфеле составляют: WА = 0,5, WВ = 0,3. Определить ожидаемую доходность портфеля.

R_A = 10% + 1,2*(20% - 10%) = 22% ; R_B = 10% + 1,4*(20% - 10%) = 24% ; R_C = 10% + 0,8*(20% - 10%) = 18%

E (r_p) = 0,5*22% + 0,3*24% + 0,2*18% = 21,8%

27. Срок бескупонной облигации 3,5 года, номинал 1000 руб. Безрисковые облигации на тот же срок имеют доходность 5,3% годовых, коэффициент бета бумаги оценивается в 1,27, ожидаемая рыночная доходность 13,7% годовых. Определите текущую стоимость облигации в рублях.

R = 5,3% + 1,27*(13,7% - 5,3%) = 15,968%

P = 1000(1+0,15968)3,5 = 595,41 руб.

28. Портфель облигаций содержит три вида облигаций и имеет следующую структуру: -50 облигаций по курсу 96 с номиналом 1000 руб. и с дюраций 15 лет; -140 облигаций по курсу 107 с номиналом 500 руб. и с дюраций 3 года; -400 облигаций по курсу 87 с номиналом 100 руб. и с дюраций 5 лет;Какова дюрация портфеля в годах?

Dp = Dm* Km* VmKm* Vm = 15*960*50+3*535*140+5*87*400960*50+535*140+87*400 = 7,09 лет

29. Ожидаемая доходность рыночного портфеля 20%, ставка без риска 10% годовых. Коэффициент бета акции компании X относительно рыночного портфеля составляет 1,2, компании Y – 0,8. Цена акции X равна 15 руб., Y – 23 руб. Инвестор ожидает, что через год цена акции X составит 19 руб., акции Y – 26,5 руб. Дивиденды по акциям не выплачиваются. Определить, имеют ли акции по мнению инвестора равновесную оценку или нет.

CAPM (X) = 10% + 1,2*(20% - 10%) = 22% ; CAPM (Y) = 10% + 0,8*(20% - 10%) = 18% .

E (r_A) = 19-1515 = 0,26 или 26%; E (r_Y) = 26,5-2323 = 0,15 или 15%.

30. Ожидаемая доходность рыночного портфеля 15%, ставка без риска 5%. Коэффициент бета акции компании А относительно рыночного портфеля равен 1,1. Альфа акции равна 0,4. Определить действительную доходность акции. 

E(ra)=5%+1,1(15%-5%)=16% ; ra= E(ra)+a=16,4%

31. Рассчитать 1-дневный VAR с доверительной вероятностью 95,4% для портфеля стоимостью 20 млн.руб., если стандартное отклонение доходности портфеля в расчете на 1 день составляет 1,5%.

VAR=2*0.015*20 000 000=600.тыс.руб.

32. Стоимость портфеля 10 млн. руб., Риск, как стандартное отклонение доходности в расчете на день равен 1,5%. Определить однодневный VaR с доверительной вероятностью:

a)90%=1,28 ; VAR=0.015*1.28*10 =0,192.млн.руб b) 95=1,65 ; VAR=0,015*1.65*10 =0,2475 тыс.руб с)99%=2,33; VAR=2,33*0,015*10=0,3495.млн.руб

33. Рассчитать 10-дневный VAR с доверительной вероятностью 99% для портфеля стоимостью 20 млн.руб., если стандартное отклонение доходности портфеля в расчете на 1 день составляет 1,5%.

VARр=20млн.руб.*0,015*10*2,33=2,21млн.руб.

34. Определить однодневный VаR с доверительной вероятностью 95% для портфеля стоимостью 10 млн. руб., в который входят акции двух компаний. Уд. вес первой акции в стоимости портфеля составляет 60%. Стандартное отклонение доходности первой акции в расчете на один день равно 1,58%, второй акции 1,9%, коэффициент корреляции доходностей акций равен 0,8.

Сигма портфеля=(1,58^2*0,6^2+1,9^2*0,4^2+2*1,58*1,9*0,6*0,4*0,8)^0,5=1,62% VAR=1,65*10 000 000*0,0162=267300

35.Портфель инвестора состоит из акций компании А и В. Коэффициент корреляции между доходностями акций компаний равен 0,4. Однодневный VаR с доверительной вероятностью 95% по акциям компании А равен 20 тыс. руб., по акциям компании В 30 тыс. руб. Определить VаR портфеля из данных бумаг.

VAR (P)=(20^2+30^2+2*0,4*20*30)^0,5=42190

36.Стоимость портфеля 10 млн. руб. Портфель состоит из акций пяти компаний. Удельные веса акций в портфеле составляют: W1=10%; W2=20%; W3=25%; W4=15%; W5=30%. Беты акций относительно фондового индекса равны: β1=0,5; β2=0,65; β3=0,8; β4=1,1; β5=1,3. Стандартное отклонение рыночного портфеля для одного дня составляет 1,5%. Определить однодневный VaR портфеля с доверительной вероятностью 99% согласно методике Рискметрик банка J.P. Morgan на основе стандартных факторов риска.

Бета (Р)=0,1*0,5+0,2*0,65+0,25*0,8+0,15*1,1+0,3*1,3=0,935 VAR=10 000 000*0,015*0,935*2,33=326800

37. Средняя процентная ставка без риска равна 12% годовых, средняя доходность портфеля А составляет 16% годовых, портфеля В составляет 20% годовых. Стандартное отклонение доходностей портфелей А и В равны 3% и 7%, соответственно. Используя формулу расчета коэффициента Шарпа, определите при управлении каким портфелем достигнута большая эффективность?

а) (16 - 12)/3 = 1 1/3 б) (20 - 12)/7 = 1 1/7. Чем выше к.ш., тем эффективнее управление портфелем => При управлении портфелем А будет достигнута бОльшая эффективность

38.Менеджер управлял портфелем в течение четырех лет. В начале первого года в портфель инвестировали 10 млн. руб. В конце года его стоимость выросла до 12 млн. руб. В начале второго года в портфель внесли дополнительно 2 млн. руб. В конце года его стоимость составила 16 млн. руб. В начале третьего года из портфеля изъяли 3 млн. руб. В конце года его стоимость составила 15 млн. руб. В начале четвертого года в портфель добавили 2 млн. руб. В конце года его стоимость составила 19 млн. руб. Ставка без риска в течение всего периода была равна 8% годовых. Определить коэффициент Шарпа портфеля

Доходность портфеля = 12/10 * 16/(12+2) * 15/(16-3) * 19/(15+2) – 1 = 76.85%

Далее рассчитаем стандартное отклонение портфеля

1 год: Доходность портфеля = 12/10 – 1 = 20% за квартал

2 год: Доходность портфеля = 16/14 – 1 = 14.28% за квартал

3 год: Доходность портфеля = 15/13 – 1 = 15.38% за квартал

4 год: Доходность портфеля = 19/17 – 1 = 11.76% за квартал

Средняя доходность портфеля = (20+ 14,28 + 15,38 + 11,76)/4 = 15.355% за квартал

Дисперсия = [(20% - 15,355%)²+ (14,28%-15,355%)² + (15,38%-15,355%)² + (11,76%-15,355%)²]/4 = 8,915

Дисперсия портфеля = 8,915 * 4 = 35,66

Стандартное отклонение портфеля = 35,66^1/2 = 5,97%

Рассчитаем коэффициента Шарпа

p = 76,85%

r = 8% годовых

s = 5,97% за год

k = (p – r)/s = (76,85% - 8%)/5,97% = 11,47

39. Инвестор сформировал портфель из 70 акций и 30 облигаций. Стоимость одной акции и облигации равна 10 руб. Стоимостная пропорция акций и облигаций в портфеле составляет 70/30. Инвестор планирует восстанавливать данное соотношение всякий раз при его нарушении вследствие изменения курсовой стоимости бумаг. На следующий день курс акции вырос до 11 руб. и инвестор пересматривает портфель, чтобы восстановить стоимостную пропорцию 70/30 между бумагами. Определить новое количество акций, которое должно входить в портфель.

70*11 + 30*10 = 770 + 300 = 1070 1070 * 0,7 = 749 749 / 11 = 68,09 – новое количество акций. 770 – 749 = 21 21/10 = 2,1 2,1 + 30 = 32,1 32,1 * 10 = 321 749/321 = 70/30

40. Портфель состоит из акций Компании А в кол-ве 10млн.шт. Инвестор полагает, что на следующий день возможно существенное падение курса акций. Принимает решение полного хеджирования портфеля с помощью фьючерса на данную акцию (лот 1000 акций). До истечения текущего фьючерса на акцию остается 90 дней. Определить какую позицию необходимо открыть по фьючерсам и их количество. Ставка без риска 7%. База 365 дн.

h = 1/(1+r*T/база) = 1/(1+0,07*89/365) = 0,983218 (для полного хеджа) N фьючерсных контрактов =(N хедж.акт./лот)*h= (10.000.000/1000)*0,983218 ~=9833 шт.

41. Портфель состоит из акций Компании А в кол-ве 10млн.шт. Пусть теперь инвестор желает ограничить колебания стоимости портфеля на уровне 20% изменения спот-цены акции, поскольку не исключается и рост курса акции на следующий день. Инвестор принимает решение частичного хеджирования портфеля с помощью фьючерса на данную акцию (лот 1000 акций). До истечения текущего фьючерса на акцию остается 90 дней. Определить какую позицию необходимо открыть по фьючерсам и их количество. Ставка без риска 7%. База 365 дн.

h = 0,983218 (как и в предыд. задаче) h' = h(1-k) = 0,983218(1-0,2) = 0,786574 (для частичного хеджа) N фьючерсных контрактов = (N хедж.акт./лот)*коэф. частичного хеджирования) = (10.000.000/1000)*0,786574 ~=7866 контрактов.

(для частичного хеджа) N фьючерсных контрактов = (N хедж.акт./лот)*коэф. частичного хеджирования

42. Портфель состоит из акций трех компаний. Акций Х на сумму 500т.р., акций Y на сумму 300т.р., акций Z на сумму 200т.р.. Бета X равна 0,9, бета Y равна 1,2, бета Z равна 1,5. До истечения фьючерса на индекс 31 день. Стоимость одного пункта индекса фьючерсного контракта 100руб. Фьючерсная цена индекса 700 пунктов. Инвестор полагает, что на следующий день возможно существенное падение курса акций. Принимает решение хеджировать портфель с помощью фьючерса на индекс. Определить какую позицию необходимо открыть по фьючерсам и их количество. Ставка без риска 10%. База 360 дн.

Не уверена. Но вроде вот: в = доля*в доли = 1,11 Текущая стоимость акций = 1.000.000/(1+0,1*30/360) ~= 991736шт N фьючерсных контрактов = (N хедж.акт./(цена фьюч.инд*объем фьюч.инд))*в =(991736/(700*100))*1,11 ~=16 шт.

43. Инвестор ожидает роста курса акций и принимает решение увеличить бету портфеля до 1,3 с помощью фьючерса на индекс. Определить какую позицию необходимо открыть по фьючерсам и их количество.

в1 = 1,11 в2 1,3 h = ((b2-b1)/(1+r*T/база)) = 0,188 (1000000/70000)*0,188 ~=3 контракта