Задание 2

Тема заданий. Моделирование и прогнозирование в коммерческой деятельности (4 часа).

Содержание задания.

Знакомство с инструментальными средствами среды Mathcad. Особенности интерфейса. Кнопки главного меню пакета. Панели инструментов. Режим справки. Панель графики. Построение двумерных графиков. Исследование средствами среды Mathcad зависимости спроса от дохода. Вычисление равновесной цены товара при заданных функциях спроса и предложения.

Задача 1. Постройте графики зависимости спроса от дохода для малоценных товаров D₀(x), товаров первой необходимости D₁(x), товаров второй необходимости D₂(x), и для предметов роскоши D₃(x), используя математическую модель, предложенную шведским ученым Торнквистом. Исследуйте также изменение вида кривых при изменении параметров α, β, γ.

Пусть α =15, β =5, γ=10.

1. D₀(x) = (α*х)* (x+β)/( х²+ γ) .

К какому предельному значению стремится спрос D₀(x) при неограниченном увеличении дохода x ?

2. D₁(x) = (α*х)/(x+β) .

Определите графически, при каких значениях дохода х значения спроса D₁(x) начинают отличаться от предельного значения меньше, чем на 3 ?

3. D₂(x) = [α *(х- γ)]/( x+ β) .

Определите графически, при каких значениях дохода х значения спроса D₂(x) превышают значение 12.

4. D₃(x) = [α*x* (х- γ)]/( x+ β) .

Существует ли предел возрастания спроса при увеличении дохода в этом случае?

(Можно рассмотреть также варианты заданий из задачи 3.19, стр.603 [2]).

Рекомендации к решению. Решение задачи 2 выполняется аналогично приведенному на стр. 211 - 213 учебника [2].

Определим исследуемые функции.

построения функций зададим, например, следующим образом: 0<x<100, 0<D<30.

Чтобы построить несколько графиков в одной и той же системе координат, вводите имена функций по оси ординат через запятую.

Проанализируем графики.

Спрос на малоценные товары растёт при малых доходах, затем достигает максимума и при дальнейшем увеличении дохода убывает, приближаясь асимптотически к величинесверху.

Спрос на товары первой необходимости растёт с ростом дохода, стремясь к величине  снизу.

Товары второй необходимости и предметы роскоши приобретаются только при доходах свыше Причем, спрос на товары второй необходимости ограничен сверху величиной  , а на товары роскоши растет неограниченно с ростом доходов.

Задача 1.2. Изобразите график заданной функции спроса на малоценные товары в зависимости от доходаx : . Исследуйте вид кривой при разных значениях параметров,,.

Решение задачи.

Пусть вначале меняется при постоянных,=5 Выполним присвоения в рабочей области и построим графики .

Теперь пусть меняется при постоянных,. Зададим присвоения в рабочей области.

Теперь пусть меняется при постоянных,= 4 .

Зададим присвоения в рабочей области и построим графики.

Анализ графиков выполните самостоятельно.

Задача 2 . Постройте в среде Mathcad кривые спроса D(Q) = -AQ + B и предложения S(Q) = Q²/C + Q/D + E . Найдите графически приближенно и затем численно с заданной точностью равновесную цену товара. (Варианты значений констант A,B,C, D, E индивидуальных заданий можно взять из задачи 3.18, стр.603 [2]).

Решение задачи. Построим графики функций спроса D(Q)= - A*Q+B

и предложения S(Q)=Q^2/C+Q/D+E , при

A= (11*N)/(N+2) , где N - номер варианта,

B=110 , C=5 , D=3 , E=80.

Найдём количество товара Qравн, при котором достигается равновесная цена, и определим значение равновесной цены товара.

Пусть A=4 , B=120 , C=4 , D=2 , E=80.

Определяем в рабочей области функции и строим их графики.

1. Графическим способом (Trace) найдём значения

Q=6.51 ; P=93.96

2. Уточним значения, найденные графическим способом,

с помощью вычислительного блока (Given...Find).

ОТВЕТ. Графическим способом найдены значения Q=6.51 ; P=93.96 .

Уточнённые данные: Q=6.524, P=93.90 ( все знаки верные).

Замечание. При решении задачи можно воспользоваться также рекомендованной литературой - стр. 210 - 211 учебника [2].

Задание 3

Тема задания. Моделирование и прогнозирование в коммерческой деятельности (4 часа).

Содержание задания.

Построение гравитационной модели поведения потребителя.

Вычисление для заданной функции спроса P(Q) эластичности Ed спроса по цене и соответствующего предельного дохода ( при нехватке времени рекомендуется для самостоятельной работы).

Текущий контроль.

Экспресс-опрос.Индивидуальная беседа с каждым из студентов по результатам заданий 1, 2 и 3 в конце занятия.

Задача 1. Постройте гравитационную модель поведения потребителя при наличии двух притягательных центров A и B, расположенных на расстоянии 2a друг от друга.

Замечание. Пояснения к математической модели.

Гравитационная модель У. Рэйли (ам. , 1929г.) используется для оценки предпочтений населения при выборе товаров, услуг, мест отдыха и так далее.

В основе её лежит принцип притягательности центров тяготения, аналог физической теории тяготения.

Согласно этому принципу, притяжение FAM, создаваемое центром A в точке M, обратно пропорционально квадрату расстояния между центром A и точкой M:

Аналогично, центр B , расположенный на расстоянииот точки B, создаёт в точке M притяжение

Здесь KA и KB -некоторые постоянные, характеризующие притягательность торговых центров A и B соответственно.

Интересно рассмотреть те точки, находясь в которых потребитель испытывает одинаковое притяжение со стороны обоих торговых центров.

Приравняем силы притяжения: FAM =FBM , то есть

Если ввести обозначение K=KA / KB , то получим условие "безразличия" в следующем виде

Решение задачи. Пусть расстояние между центрами притяжения равно 2a. Выберем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы центры притяжения A и B располагались на оси абсцисс на одинаковом расстоянии от начала координат. Тогда координаты точек A и B будут соответственно (-a,0) и

(a,0) .Из условия "безразличия" получаем уравнение "линии безразличия" :

(x+a)^2 +y^2 = K*[(x-a)^2 + y^2].

Решим в среде Matcad это уравнение относительно y и построим графики найденных "линий безразличия". Убедимся, что получится окружность.

Решение уравнения найдём при следующих, например, значениях коэффициентов: a = 1 , K = 2 ( то есть расстояние между торговыми центрами равно 2 , и центр A в два раза притягательнее центра B).

Выполним вычисления в среде Mathcad.

Присвоим имена каждому из решений:

Построим графики найденных "линий безразличия" ( масштабные единицы по осям выбираем однаковыми):

Легко видеть, что графики найденных "линий безразличия" образуют окружность.

Находясь в точках окружности, потребитель испытывает одинаковое притяжение со стороны обоих торговых центров. Если потребитель находится внутри окружности, то для него притяжение центра B будет больше, чем центра A., а если вне окружности, то для него более предпочтительным окажется центр A.

Посмотрим теперь, как изменится "линия безразличия" , если расстояние между центрами увеличится. Пусть, например будет a=3. Решим задачу.

Радиус окружности увеличился, и она сместилась вправо.

Замечание. Выполнив несложные алгебраические преобразования, можно показать, что радиус окружности при K>1 равен

Решите далее аналогичную задачу по определению "линии безразличия" для Вашего номера варианта N, выбрав следующие значения коэффициентов:

a = 1 + 0.2*N, K = 2 + 0.1*N .

Задача 2. Найдите для заданной функции спроса P(Q)= -aQ^2+bQ+c эластичность Ed спроса по цене и соответствующей предельный доход R_p(Q). Постойте графики эластичности Ed(Q) и предельного дохода. Найдите значения Q и соответствующую цену, при которой модуль Ed равен единице.

Указания к решению задачи.

В рабочей области документа Mathcad задаём значения констант и вычисляем эластичность.

_{Построим графики [-Ed(Q)], Rp(Q), F(Q) в зависимости от количества товара Q ( в стоимостных единицах).}

_{Один раз щёлкните левой клавишей мыши (ЛМ) по области графика, появятся маркеры и подключится графический редактор. Ещё два щелчка ЛМ по области графика вызовут появление диалогового окна графического редактора. Отредактируйте графики.}

_{В пакете Mathcad имеется возможность графически определить координаты точек графика. Для этого нужно щёлкнуть один раз по графику ЛМ, потом один раз правой клавишей мышы (ПМ) и выбрать в появившемся меню trace.}

_{Появится новое диалоговое окно.}

_{Если теперь подвести курсор-стрелку к точке пересечения графика функции [-Ed(Q)] и F(Q) и щёлкнуть ЛМ , то в диалоговом окне появятся координаты точки, на которую указывает курсор. Верхнее из чисел даёт}

_{значение количества товара, при котором модуль эластичности равен единице.}

Графически найдём значения координаты точки, где Ed =-1, а именно Q1=6.38

Для уточнения полученного значения обратимся к вычислительному блоку

Given

Графически найдено значение Q1, где модуль Ed равен 1, Q1=6.38 .

Уточненные данные: Q1=6.272, P(Q1)=1.66 .

Область эластичности спроса по цене: Q меньше чем 6.38

Точность вычислений определяется величиной погрешности вычислений в вычислительном блоке:

Замечание. Решение задачи выполняется аналогично приведенному на стр 218 - 220 учебника [2]. Варианты заданий можно взять из задания 3.22 на стр. 604 этого же учебника.

Задание 4.

Тема задания. Компьютерные технологии интегрированных программных пакетов .

Содержание задания.

Максимальная прибыль и границы прибыльного производства .

Исследование в среде Mathcad зависимости объема выпускаемой продукции Q от вложенного капитала K и затраченного труда L с целью выработки рекомендаций для ЛПР.

Текущий контроль.

Индивидуальная беседа с каждым из студентов по результатам задания 5 в конце занятия.

Задача 1. Найдите максимальную прибыль и границы прибыльного производства для заданной функции полного дохода R(Q) = Q*(AQ-Q²) и функции издержек C = C_f +C_vQ. (Варианты значений констант A,C_f ,C_v индивидуальных заданий можно взять из задачи 3.20, стр.603 [2]).

Рекомендации к решению. Решение задачи выполняется аналогично приведенному на стр 214 - 215 учебника [2].

Но, поскольку приведённое там решение содержит много ошибок, подробно рассмотрим ниже решение данной задачи.

Итак, пусть нам заданы функция спроса, постоянные и переменные издержки:

P(Q) = 10Q - Q² ,

постоянные издержки C_f = 70, переменные издержки C_v = 0.7 .

Решение задачи смотрите на приведенной ниже распечатке Mathcad-файла.

Уточним далее найденные графически значения границ прибыльного

производства и значение максимальной прибыли с помощью вычислительного блока Given…Find.

Следует заметить, что в пакете Matcad точность вычислений в вычислительном блоке по умолчанию определяется значением TOL:=0.01.

Внимание! Вопрос для тех, кто углублённо изучает дисциплину: найдите в справочном разделе пакета Matcad определение точности вычислений TOL и укажите, для каких задач это определение может привести к большой погрешности в ответе.

Задача 2. Постройте график и изокванты заданной производственной функции Q(K,L) = K^1/5L^4/5 . Дайте экономическую интерпретацию поведения графика функции и изоквант. Вычислите предельные продукты труда и капитала, и коэффициент заменяемости ресурсов.

(Варианты заданий можно взять из задачи 3.20, стр.603 [2]).

Рекомендации к решению. Решение задачи можно выполнить аналогично приведенному на стр. 290 - 291 учебника [2].