Метод Гольдфельда-Квандта проверки гипотезы гомоскедастичности

Среди основных предположений регрессионного анализа важную роль играет предположение гомоскедастичности, которое заключается в равенстве дисперсий наблюдений: Нарушение этого предположения сильно ухудшает качество оценок неизвестных параметров.

Возможны различные нарушения этого предположения в рамках парной регрессии. Одно из распространенных нарушений связано с тем, что дисперсия наблюдения может возрастать вместе с ростом значения фактора (объясняющей переменной): так, например, если , то.

Обнаружение этого нарушения может быть осуществлено с помощью критерия Гольдфельда-Квандта. Кратко применение критерия можно описать следующим образом:

1. произведем упорядочение двумерной выборки по возрастанию объясняющей переменной так, чтобы ;

2. исключим центральных наблюдений, в результате чего получим две выборки, состоящие изнаблюдений: первая выборка содержит наблюдения с небольшими значениями объясняющей переменной:, вторая выборка содержит наблюдения с наибольшими значениями объясняющей переменной:;

3. построим две парные линейные регрессии по полученным выборкам и вычислим остаточные суммы квадратов по каждой из выборок: — для первой выборки и— для второй выборки;

4) вычислим статистику , если верна гипотеза гомоскедастичности, то статистикаимеет распределение Фишера сстепенями свободы.

Найдем табличное значение по таблицам распределения Фишера при степенях свободыс уровнем значимости 5%.

По значению вычисленной статистики можно сделать вывод:

1) Если , то гипотеза гомоскедастичностиотклоняется.

2) Если , то гипотеза гомоскедастичностипринимается,

27 Гомоскедастичность остатков регрессионной функции. Гетероскедастичность остатков регрессионной функции.

Дисперсия - среднее арифметическое из квадратов отклонений наблюденных значений (x1, x2,...,xn) случайной величины от их среднего арифметического.Гомоскедастичность остатков означает, что для каждого значения фактора x_j остатки имеют одинаковую дисперсию. Если это условие применения МНК не соблюдается, то имеет место гетероскедастичность. Наличие гетеродастичности можно наглядно видеть из поля корреляции. а — дисперсия остатков растет по мере увеличения х; б — дисперсия остатков достигает максимальной величины при средних значениях переменной х и уменьшается при минимальных и максимальных значениях х; в — максимальная дисперсия остатков при малых значениях х и дисперсия остатков однородна по мере увеличения значений х. Наличие гомоскедастичности или гетероскедастичности можно видеть и по графику зависимости остатков  от теоретических значений результативного признака .  Большая дисперсия  для больших значений . Гетероскедастичность будет сказываться на уменьшении эффективности оценок  В частности, становится затруднительным использование формулы стандартной ошибки коэффициента регрессии  предполагающей единую дисперсию остатков для любых значений фактора. Практически при нарушении гомоскедастичности мы имеем неравенства:  или  При этом величина  может меняться при переходе от одного значения фактора  к другому. Это означает, что сумма квадратов отклонений для зависимости  при наличии гетероскедастичности должна иметь вид:  При минимизации этой суммы квадратов отдельные ее слагаемые взвешиваются: наблюдениям с наибольшей дисперсией придается пропорционально меньший вес.  Задача состоит в том, чтобы определить величину  и внести поправку в исходные переменные. С этой целью рекомендуется использовать обобщенный метод наименьших квадратов, который эквивалентен обыкновенному МНК, примененному к преобразованным данным. Чтобы убедиться в необходимости использования обобщенного МНК, обычно не ограничиваются визуальной проверкой гетероскедастичности, а приводят ее эмпирическое подтверждение.  При малом объеме выборки для оценки нарушения гомоскедастичности можно использовать метод Гольдфельда-Квандта, который включает: 1.Упорядочение наблюдений n по мере возрастания переменной х.  2. Исключения из рассмотрения центральных наблюдений C; при этом где p – число оцениваемых параметров. 3. Разделение совокупности  на две группы (с малыми и большими значениями фактора х) и определение по каждой из групп уравнений регрессии.  4. Определение остаточной суммы квадратов для обеих групп  и  и нахождение их отношения:  При выполнении нулевой гипотезы о гомоскедастичности отношение R будет соответствовать F-критерию с  степенями свободы для каждой остаточной суммы квадратов. Чем больше величина R превышает табл. значение F-критерия, тем больше нарушена предпосылка о равенстве дисперсий остаточных величин.

26 Предпосылки метода наименьших квадратов. При оценке параметров уравнения регрессии применяется МНК. При этом делаются определенные предпосылки относительно составляющей  , которая представляет собой в уравнении ненаблюдаемую величину. Исследования остатковпредполагают проверку наличия сле­дующих пяти предпосылок МНК: 1) случайный характер остатков. С этой целью строится график отклонения остатков от теоретических значений признака. Если на графике получена горизонтальная полоса, то остатки представляют собой случайные величины и применение МНК оправдано. В других случаях необходимо применить либо другую функцию, либо вводить дополнительную информацию и заново строить уравнение регрессии до тех пор, пока остатки не будут случайными величинами. 2) нулевая средняя величина остатков, т.е. , не зависящая от х_i. Это выполнимо для линейных моделей и моделей, нелинейных относительно вклю­чаемых переменных. С этой целью наряду с изложенным графиком зависимости остатков от теоретических значений ре­зультативного признака у_х строится график зависимости случай­ных остатков  от факторов, включенных в регрессию х_i . Если остатки на графике расположены в виде горизонтальной полосы, то они независимы от значений x_j. Если же график показывает наличие зависимости  и х_j то модель неадек­ватна. Причины неадекватности могут быть разные. 3. Гомоскедастичность — дисперсия каждого отклонения  одинакова для всех значений х_j. Если это условие применения МНК не соблюдается, то имеет место гетероскедастичность. Наличие гетероскедастичности можно наглядно видеть из поля корреляции.  4. Отсутствие автокорреляции остатков. Значения остатков  распределены независимо друг от друга. Автокорреляция остатков означает наличие корреляции между остатками текущих и предыдущих (последующих) наблюдений. Отсутствие автокорреляции остаточных величин обеспечива­ет состоятельность и эффективность оценок коэффициентов ре­грессии. 5. Остатки подчиняются нормальному распределению.  В тех случаях, когда все пять предпосылок выполняются, оценки, полученные по МНК и методу максимального правдоподобия, совпадают между собой. Если распределение случайных остатков  не соответствует некоторым предпосылкам МНК, то следует корректировать модель, изменить ее спецификацию, добавить (исключить) некоторые факторы, преобразовать исходные данные, что в конечном итоге позволяет получить оценки коэффициентов регрессии a_j, которые обладают свойством несмещаемости, имеют меньшее значение дисперсии остатков, и в связи с этим более эффективную статистическую проверку значимости параметров регрессии.