Задача 3.
Для изучения качества электроламп проведено выборочное обследование. В случайном порядке из партии 10000 ламп отобрано 100 штук. Получено следующее распределение по времени горения этих ламп:
Время горения, мин |
Число ламп |
До 3000 |
2 |
3000-3500 |
2 |
3500-4000 |
8 |
4000-4500 |
38 |
4500-5000 |
30 |
5000-5500 |
15 |
5500-6000 |
5 |
Итого |
100 |
На основании приведенных данных вычислить: 1) Применяя способ «моментов»: а) среднее время горения электроламп; б) дисперсию и среднее квадратическое отклонение. 2) Коэффициент вариации. Решение: 1) Перейдем от интервального ряда к дискретному, приняв в качестве варианты середину интервала, т. е. полусумму верхней и нижней границы интервала, например, и т. д. Так как ряд имеет открытые интервалы, то недостающие границы надо определить условно, при этом принято считать, что первый интервал имеет такую же длину как последующий, а последующий – как предыдущий. Так как длины всех интервалов равны 500, то для первого интервала недостающая граница равна 2500 (3000 – 500) и середина. Так как мы имеем ряд с равными интервалами, то можно было найти середину только первого интервала, а каждая последующая середина будет отличаться от предыдущей на длину интервала (на 500). Расчеты сведем в таблицу Расчетная таблица
Время горения, мин., |
Число ламп, |
Середина интервала, |
|
, % |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
До 3000 |
2 |
2750 |
-3 |
2 |
-6 |
3000-3500 |
2 |
3250 |
-2 |
2 |
-4 |
3500-4000 |
8 |
3750 |
-1 |
8 |
-8 |
4000-4500 |
38 |
4250 |
0 |
38 |
0 |
4500-5000 |
30 |
4750 |
1 |
30 |
30 |
5000-5500 |
15 |
5250 |
2 |
15 |
30 |
5500-6000 |
5 |
5750 |
3 |
5 |
15 |
Итого |
100 |
- |
- |
100 |
57 |
Определим так называемый «ложный ноль» – это варианта стоящая в середине вариационного ряда и имеющая наибольшую частоту. Для нашего примера такой вариантой будет , т. к. ей соответствует частотаf=38. Определим условные варианты по формуле:, где– ложный ноль;– длина интервала. Результаты вычисления приведены в гр. 4 таблицы 7. Так как частоты большие числа, переведем их в проценты по формуле:. Для нашего примера. Вычислим. Определим момент первого порядка по формуле:.=0,57 Определим среднее значение признака, применяя способ моментов:
0,57*500+4250=4535 мин Вывод: Среднее время горения электроламп 4535 мин. Дисперсия (), или средний квадрат отклонений для рядов распределения с равными интервалами приводит к формуле, где– длина интервала;– момент первого порядка;– момент второго порядка;– ложный ноль. Корень квадратный из дисперсии называется средним квадратическим отклонением:. Выражается он в единицах измерения изучаемого признака.
Определим дисперсию по формуле, представив необходимые расчеты.
Расчет дисперсии способом моментов
Время горения, мин., |
Число ламп, |
Середина интервала, |
|
|
|
До 3000 |
2 |
2750 |
-3 |
-6 |
36 |
3000-3500 |
2 |
3250 |
-2 |
-4 |
16 |
3500-4000 |
8 |
3750 |
-1 |
-8 |
64 |
4000-4500 |
38 |
4250 |
0 |
0 |
0 |
4500-5000 |
30 |
4750 |
1 |
30 |
900 |
5000-5500 |
15 |
5250 |
2 |
30 |
900 |
5500-6000 |
5 |
5750 |
3 |
15 |
225 |
Итого |
100 |
- |
- |
57 |
2141 |
Исчислим моменты первого и второго порядка: .Вычислим (дисперсию):500*500*(21,41-0,57)=5210000. Среднее квадратическое отклонение:2) Коэффициент вариации – относительный показатель колеблемости, равный процентному отношению среднего квадратического отклонения к средней арифметической:=Так как> 40%, то это говорит о большой колеблемости признаков и совокупность считается неоднородной.