Shmoylova_R_A_Minashkin_V_G_Gusynin_A_B_Sadovn

Проиллюстрируем познавательное значение медианы следующим примером.

Допустим, нам необходимо дать характеристику среднего дохода группы людей, насчитывающей 100 человек, из которых 99 имеют доходы в интервале от 100 до 1000 долл. в месяц, а месячные доходы последнего составляют 50000 долл.:

№ п/п	1	2	3	4 ...	50	51 ...	99	100
Доход	100	104	104	107 ...	162	164 ...	200	50000
(долл.)

Если мы воспользуемся средней арифметической, то получим средний доход, равный примерно 600-700 долл., который не только в несколько раз меньше дохода 100-го человека, но и имеет мало общего с доходами остальной части группы. Медиана же, равная в данном случае 163 долл., позволит дать объективную характеристику уровня доходов 99% данной совокупности людей.

Рассмотрим определение моды и медианы по сгруппированным данным (рядам распределения).

Предположим, распределение торговых предприятий города по уровню розничных цен на товар А имеет следующий вид :

Цена,	Число торговых
руб.	предприятий
52	12
53	48
54	56
55	60
56	14
Всего	190

Определение моды по дискретному вариационному ряду не состав

ляет большого труда - наибольшую частоту (60 предп.) имеет цена 55 руб., следовательно она и является модальной.

Для определения медианного значения признака по следующей формуле находят номер медианной единицы ряда:

N me =	n +1	(5.16)
2
91

где n - объем совокупности.

	В нашем случае	N me =	190 +1		= 95,5.
				2

Полученное дробное значение, всегда имеющее место при четном числе единиц в совокупности, указывает, что точная середина находится между 95 и 96 предприятиями. Необходимо определить, в какой группе находятся предприятия с этими порядковыми номерами. Это можно сделать, рассчитав накопленные частоты. Очевидно, что магазинов с этими номерами нет в первой группе, где всего лишь 12 торговых предприятий, нет их и во второй группе (12+48=60). 95-ое и 96-ое предприятия находятся в третьей группе (12+48+56=116) и, следовательно, медианой является цена 54 руб.

Вотличие от дискретных вариационных рядов определение моды

имедианы по интервальным рядам требует проведения определенных расчетов на основе следующих формул :

	Мо = хо +i ×		(fM o −fM o −1)	(5.17)
		(fM o	−fM o −1) +(fM o −fM o +1)

где	Хо	-
	i	-
	fМо	-
	fМо-1 -

fМо+1 -

и

нижняя граница модального интервала (модальным называется интервал, имеющий наибольшую частоту); величина модального интервала;

частота модального интервала; частота интервала, предшествующего модальному;

частота интервала, следующего за модальным.

				1 ∑fi −sMe−1
		Me	= x0 +i×	2
				fMe		(5.18)
где	Хо	-	нижняя граница медианного интервала (меди-
			анным называется первый интервал, накоп-
			ленная частота которого превышает половину
			общей суммы частот);
	i	-	величина медианного интервала:
	Sme-1	-	накопленная частота интервала, предшест-
	fMe		вующего медианному;
		-	частота медианного интервала.
			92

Проиллюстрируем применение этих формул, используя данные таблицы 5.5.

Информация, подобная представленной в этой таблице, необходима для получения четкого представления о покупательной способности населения страны или региона, для оценки эластичности спроса и, в конечном итоге, для выбора того или иного метода ценообразования и обоснования окончательной цены на товар.

Таблица 5.5.

Распределение населения РФ по уровню среднедушевого денежного дохода в январе-августе 1995 г.

Среднедушевой денежный доход (в	Удельный вес населения, %
среднем за месяц), тыс.руб.
100 и менее	2,4
100 - 200	15,4
200 - 300	20,1
300 - 400	17,2
400 - 500	12,8
500 - 600	9,2
600 - 700	6,5
700 - 800	4,5
800 - 900	3,2
900 - 1000	2,3
свыше 1000	6,4
Всего	100,0

Интервал с границами 200 - 300 в данном распределении будет модальным, так как он имеет наибольшую частоту. Использую формулу (5.17), определим моду :

М0 = 200 +100 ×	20,1−15,4	= 262 тыс.руб.
	(20,1−15,4) +(20,1−17,2)

Для определения медианного интервала необходимо определять накопленную частоту каждого последующего интервала до тех пор, пока она не превысит 1/2 суммы накопленных частот (в нашем случае - 50%) :

Интервал	Накопленная
	частота, %
100 и менее	2,4
100 - 200	17,8
200 - 300	37,9
300 - 400	55,1

Мы определили, что медианным является интервал с границами 300 - 400. Определим медиану :

93

M е = 300 +100 × 50,0 −37,9 = 370 тыс.руб. 17,2

Соотношение моды, медианы и средней арифметической указывает на характер распределения признака в совокупности, позволяет оценить его асимметрию. Если Мо<Me<Х - имеет место правосторонняя асимметрия, при Х<Me< Мо следует сделать вывод о левосторонней асимметрии ряда.

На основе полученных в последнем примере значений структурных средних можно заключить, что наиболее распространенным, типичным является среднедушевой доход порядка 260 тыс.руб. в месяц. В то же время, более половины населения располагает доходом свыше 370 тыс.руб. при среднем уровне 435 тыс.руб. (средняя арифметическая взвешенная). Из соотношения этих показателей следует вывод о правосторонней асимметрии распределения населения по уровню среднедушевых денежных доходов, что позволяет предполагать о достаточной емкости рынка дорогих товаров повышенного качества и товаров престижной группы.

94

Глава 6. Анализ вариации.

6.1. Основные показатели вариации.

Информация о средних уровнях исследуемых показателей обычно бывает недостаточной для глубокого анализа изучаемого процесса или явления. Необходимо учитывать и разброс или вариацию значений отдельных единиц, которая является важной характеристикой изучаемой совокупности. В наибольшей степени вариации подвержены курсы акций, объемы спроса и предложения, процентные ставки в разные периоды и в разных местах.

Основными показателями, характеризующими вариацию, являются размах, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

Для иллюстрации расчетов этих показателей воспользуемся следующими данными:

Таблица 6.1

Итоги торгов на валютных биржах России 21 января 1999г. (спецсессия)

Биржа	Курс, руб./долл.	Оборот, млн.долл.
	США	США
ММВБ	22,73	158,0
СПВБ	22,63	10,0
УРВБ	22,42	3,0
СМВБ	22,40	2,9
АТМВБ	22,64	0,7
СВМБ	22,83	1,6
НФВБ	22,56	0,7

Простейшим показателем, уже использованным выше при группировке данных, является размах вариации. Он представляет собой разность максимального и минимального значений признака:

R=Xmax-Xmin=22,83-22,40=0,43 руб.

Недостатком данного показателя является то, что он оценивает только границы варьирования признака и не отражает его колеблемость внутри этих границ. Этого недостатка лишена дисперсия, рассчитываемая как средний квадрат отклонений значений признака от их средней величины:

95

			∑(xi −		)2
σ	2	=		x		невзвешеннаяформула	(6.1)
			n
			∑(xi −		)2 fi
σ	2	=		x		взвешеннаяформула	(6.2)
			∑fi

По данным нашего примера определим средневзвешенный курс доллара по итогам всех торгов и рассчитаем дисперсию:

х = 22,73×158,0 + 22,63×10,0 + ... + 22,56 ×0,7 = 22,71руб. 158,0 +10,0 + ... + 0,7

σ 2 = (22,73 − 22,71)2 ×158,0 + (22,63 − 22,71)2 ×10,0 +... + (22,56 − 22,71)2 ×0,7 = 0,004 158,0 +10,0 +... + 0,7

Дисперсию в отдельных случаях удобнее рассчитывать по другой формуле, представляющей собой алгебраическое преобразование выра-

жений (5.19.) и (5.20.):

σ 2 =

- (

)2

x 2

x

(6.3)

∑xi2

∑xi2 fi

гдеx

2

=

или x

2

=

n

∑fi

(6.4)

Наиболее удобным и широко распространенным на практике по-

казателем является среднее квадратическое отклонение. Оно опреде-

ляется как квадратный корень из дисперсии и имеет ту же размеренность, что и изучаемый признак:

		∑(xi -		)2
	σ =		x		невзвешеннаяформула	(6.5)
		n
	σ =	∑(xi - x)2 fi			взвешеннаяформула
		∑fi				(6.6)

Внашем случае получим:

σ= 0,004 = 0,06 руб.

Рассмотренная величина показывает, что курсы доллара на биржах отклонялись от средневзвешенного курса в среднем на 17,4 руб.

Рассмотренные показатели позволяют получить абсолютное значение вариации, т.е. оценивают ее в единицах измерения исследуемого признака. В отличие от них, коэффициент вариации измеряет колеблемость в относительном выражении, относительно среднего уровня, что во многих случаях является предпочтительнее:

96

	σ			×100%	(6.7)
	V = x

Определим значение этого показателя по нашим данным:

V = 22,710,06 ×100% = 0,26%

Рассчитанная величина свидетельствует об очень незначительном относительном уровне колеблемости курса доллара. Если V не превышает 33%, то совокупность по рассматриваемому признаку можно считать однородной.

Информативность показателей вариации повышается, если они рассчитываются для целей сравнительного анализа. При этом показатели, рассчитанные по одной совокупности, сопоставляются с показателями, рассчитанными по другой аналогичной совокупности или по той же самой, но относящейся к другому периоду времени. Например, исследуется динамика вариации курса доллара по недельным или месячным данным.

6.2. Использование показателей вариации в анализе взаимосвязей.

Показатели вариации могут быть использованы не только в анализе колеблемости или изменчивости изучаемого признака, но и для оценки степени воздействия одного признака на вариацию другого признака, т.е. в анализе взаимосвязей между показателями.

При проведении такого анализа исходная совокупность должна представлять собой множество единиц, каждая из которых характеризуется двумя признаками - факторным и результативным. Факторным называется признак, оказывающий влияние на взаимосвязанный с ним признак. В свою очередь, этот второй признак, подверженный влиянию, называется результативным.

Для выявления взаимосвязи исходная совокупность делится на две или более групп во факторному признаку. Выводы о степени взаимосвязи базируются на анализе вариации результативного признака. При этом применяется правило сложения дисперсий:

σ02 = σ2 + δ2

(6.8)

где ó02 - общая дисперсия; ó2 - средняя из внутригрупповых дисперсий;

ä2 - межгрупповая дисперсия.

Межгрупповая дисперсия отражает ту часть вариации результативного признака, которая обусловлена воздействием признака фактор-

97

ного. Это воздействие проявляется в отклонении групповых средних от общей средней:

δ2 =	∑(х	i	− x	0	)2 n	i ,	(6.9)
			∑ni

где хi - среднее значение результативного признака по i-ой группе; x 0 - общая средняя по совокупности в целом;

ni - объем (численность) i-ой группы.

Если факторный признак, по которому производилась группировка, не оказывает никакого влияния не признак результативный, то групповые средние будут равны между собой и совпадут с общей средней. В этом случае межгрупповая дисперсия будет равна нулю.

Средняя из внутригрупповых дисперсий отражает ту часть вариации результативного признака, которая обусловлена действием всех прочих неучтенных факторов, кроме фактора, по которому осуществлялась группировка:

σ2 =	∑σi2 ni ,	(6.10)
	∑ni

где σi2 -дисперсия результативного признака в i-ой группе; ni -объем (численность) i-ой группы.

Теснота связи между факторным и результативным признаком оценивается на основе эмпирического корреляционного отношения:

	ηэ =	δ2	(6.11)
		σ2
		0

Данный показатель может принимать значения от 0 до 1. Чем ближе к 1 будет его величина, тем сильнее взаимосвязь между рассматриваемыми признаками.

На следующем условном примере исследуем зависимость между собственными и привлеченными средствами коммерческих банков региона:

98

		Таблица №6.2
Банк	Собственные средства, млн.руб.	Привлеченные средства, млн.
		руб.
1.	70	300
2.	90	400
3.	140	530
4.	110	470
5.	75	255
6.	150	650
7.	90	320
8.	60	240
9.	95	355
10.	115	405

Если взаимосвязь между рассматриваемыми показателями существует, то она обусловлена влиянием объема собственных средств на объем привлеченных средств. Поэтому объем собственных средств выступает в данном примере в качестве факторного признака (X), а объем привлеченных средств в качестве результативного признака (Y).

Произведем группировку банков, выделив две группы по величине собственных средств, например, группу “да 100 млн.руб.” и группу “100 млн. руб. и более”. Результаты такой группировки представлены в следующей таблице:

		Таблица №6.3
№	Собственные средства, млн.	Привлеченные средства, млн.
группы	руб.	руб.
1.	До 100	300 400 255 320 240 355
2.	100 и более	530 470 650 405

Расчет эмпирического корреляционного отношения включает несколько этапов:

	1)	рассчитываем групповые средние:
					xi	=	∑xij	,
							ni
	где i- номер группы;
	j- номер единицы в группе.
	x1	=	300 + 400 + ... + 355		= 311,7млн.руб;
			6
	x 2	=		530 +......................... + 405		= 513,8млн.руб;
			4

В данном примере при расчете групповых средних мы использовали невзвешенные формулы. Однако, при повторении вариантов для расчета

99

необходимо использовать средние взвешенные. 2) рассчитываем общую среднюю:

	x 0 =	∑xi ni	=	311,7 6 + 513,8 4	= 392,5млн.руб
		∑ni		10

Данную среднюю также можно было получить как отношение суммы всех единиц исходной совокупности (без учета деления на группы) к объему всей совокупности, т.е. к общему числу единиц.

3)рассчитываем внутригрупповые дисперсии:

σi2 = ∑(xijn−i xi )2 ;

σ12	=	(300 − 311,7)2	+ (400 − 311,7)2 + .... + (355 − 311,7)2		= 3039;
			6
σ22	=	(530 − 513,8)2	+... + (405 − 513,8)2	=8142.
			4

Если бы варианты имели веса, то для расчета внутригрупповых дисперсий также требовались бы взвешенные формулы.

4) вычисляем среднюю из внутригрупповых дисперсий:

σ2 = 3039 6 + 8142 4 = 5080 10

5) определяем межгрупповую дисперсию:

δ2 = (311,7 − 392,5)2 6 + (513,8 − 392,5)2 4 = 9803 10

находим общую дисперсию по правилу сложения:

σ02 = 5080 + 9803 =14883.

На этом этапе возможна проверка правильности выполненных ранее расчетов. Если возвратиться к исходной совокупности и не раздета ее на группы рассчитать дисперсию признака “у”, то она должна совпасть с общей дисперсией, полученной по правилу сложения.

рассчитываем эмпирическое корреляционное отношение:

ηэ =	9803	= 0,81.
	14883

Полученная величина свидетельствует о том, что фактор, положенный в основание группировки (собственные средства), существенно влияет на размер привлеченных банками средств.

100