сложить расходы в каждом простом трубопроводе при одинаковых потерях полного напора. При этом характеристики отдельных (простых) трубопроводов строятся по рекомендациям раздела 5.4.1.

5.4.3. Трубопровод с насосной подачей жидкости

Рассмотрим совместную работу трубопровода с насосом (см. рис. 5.12). Часть трубопровода до насоса называется всасывающей; за насосом – нагнетающей (напорной).

Рис. 5.12. Насосная подача жидкости

Запишем уравнение Бернулли для всасывающего трубопровода на участке 0-1, полагая что с0 = 0.

					p0		= z +		p1		+
					ρ g				ρ g
						1
				l1−2			n
где ξ		= λ					+ ∑	ξ		.
	ã1−2	ò ð			d		i=1		ì i

c12 + ξã1−2 ñ12 ,

2g 2g

Из уравнения видно, что процесс всасывания осуществляется насосом, который создает пониженное давление р1 < р0. Этот процесс обеспечивается давлением р0 в баке, которое расходуется на подъем жидкости на высоту z1, сообщение ей кинетической энер-

гии ñ12 , преодоление всех гидравлических сопротивлений всасы-

2g

вающего трубопровода, и сохраняется в виде давления р1, которое

88

должно обеспечивать бескавитационную работу насоса. Последнее условие может обеспечиваться снижением температуры жидкости, увеличением давления р1 (например, за счет увеличения давления наддува р0, установки подкачивающего насоса на участке 0-1), уменьшением высоты всасывания z1, снижением суммарного гидравлического сопротивления всасывающего трубопровода.

Для определения потребного напора запишем уравнение Бернулли для всего трубопровода на участке 0-3:

H

=

1

L

= z

+

ð3− ð0

+

ñ32

+

1

L

,

ï î ò ð

g

3

ρ g

2g

g

í àñ

ã0−3

где Lнас= –Lмех = g Нрасп – полезная работа насоса, сообщаемая 1 кг жидкости; р3 – давление газообразной среды, в которую происходит истечение жидкости; Lãèäð 0−3 - гидравлическое сопротивление

всей системы на участке 1-3.

Характеристику всего трубопровода можно записать в сле-

	дующем виде:					ð3	− p0
	H		= z		+			+ c G2		+ c Gm
		ï î ò ð		3		ρ g
								êèí	v	ã v
	Полезную работу насоса						можно подсчитать по уравнению

Бернулли, составленного для участка 1-2 (см. рис. 5.12) при усло-

	вии, что d1 = d2, с1 = с2,	z1 = z2:
	L	=	p2− p1	,	Í		=	p2− p1	.
			ρ			í àñ
	í àñ							ρ g

Таким образом, работа насоса заключается в повышении давления жидкости.

Характеристикой насоса называется зависимость полезной работы насоса от расхода жидкости, т.е. Hí àñ = f2 (Gv ) при постоян-

ной частоте вращения ротора насоса (ω = const). Установившийся режим работы гидравлической системы с насосной подачей жидкости определяется рабочей точкой – точкой пересечения характери-

стики			трубопровода H			ï î ò ð	= f	(G	) и характеристики насоса
							1	v
H	í àñ	= f	2	(G	) (см. рис. 5.13). Положение рабочей точки соответст-
				v
									89

вует условию Нпотр = Ннас. Такой режим устанавливается и поддерживается автоматически. Система регулирования может смещать положение рабочей точки на характеристике системы, например, обеспечивая заданный расход жидкости или работу системы с максимальным КПД насоса.

Рис. 5.13. Определение потребной мощности насоса

Полезной мощностью насоса Nнас называется механическая энергия, которую насос сообщает всей массе жидкости в единицу времени, т.е.

N	í àñ	= L	G =	p2	− p1	G = ( p	2	− p ) G .
		í àñ	v		ρ	v		1 v

Мощность двигателя, приводящего в действие насос, больше полезной (Nдв > Nнас) на величину мощности, затраченной на преодоление гидравлических сопротивлений в насосе и сопротивлений трения в приводе и подшипниках (механические потери). Эти по-

тери учитываются общим КПД насоса η0 = Nнас ,

Nдв

где η0 = 0,60…0,85 – для шестеренчатых насосов; η0 = 0,70…0,85 – для центробежных насосов.

90

Глава 6. АНАЛИЗ РАЗМЕРНОСТЕЙ И МЕТОДЫ ПОДОБИЯ

6.1.Анализ размерностей

Вкачестве принятых основных единиц физических величин, кроме системы СИ, можно выбрать скорость, плотность, ускорение

ит.д. Величины, численное значение которых зависит от принятых единиц физических величин, называют размерными. Время, энергия, сила – это примеры размерных величин. Величины, численное значение которых не зависит от принятых единиц физических ве-

личин, называют безразмерными. Угол, число π - отношение длины окружности к ее диаметру, отношение удельной газовой постоянной к теплоемкости R/Cp – примеры безразмерных величин. Единицы физических величин, выраженные через основные, называют производными. Так, например, единицы скорости (м/с) и плотности (кг/м3) являются производными единицами основных физических величин.

Для дальнейшего изложения введем обозначения четырех основных единиц физических величин: длина [l] = L (метр); масса

[m] = M (килограмм); время [t] = T (секунда); температура [T] = K (градус Кельвина). Здесь, как обычно принято, квадратные скобки означают соответствующие физические величины. Тогда, например, размерности скорости, плотности, силы и давления, которые являются производными, могут быть записаны таким образом: [С]=LT-1, [ρ]=L-3M, [F]=LMT-2, [р]=L-1MT-2.

В общем случае для принятых основных единиц размерность производной физической величины может быть выражена в форме одночлена, составленного из произведений символов основных физических величин в различных степенях, т.е. в виде формулы размерности Фурье:

[A]=Lα Mβ Tγ Kδ,

(6.1)

91

что положило начало системному применению соображений теории размерности и подобия к физическим задачам. Показатели степени в формуле (6.1) являются безразмерными величинами.

Если размерность данной физической величины может быть выражена через размерности некоторых других указанных физических величин, то ее называют зависимой (от размерности указанных величин). В противном случае размерность называют независимой. Например, указаны размерности ускорения [g] = LT-2 и плотности [ρ] = L-3М. В этом случае размерность скорости [c] = LT-1 является независимой величиной.

В теории подобия и анализе размерностей принято использовать термины «параметр» и «переменная» для обозначения любой основной или производной размерной и безразмерной величины или любой комбинации из них. Под безразмерными параметрами следует понимать комплексы размерных параметров, составленные таким образом, что они не имеют размерности. π-теорема устанавливает связь между функцией, выраженной через размерные параметры, и функцией в безразмерной форме. В любой физической задаче мы имеем один или более зависимых параметров, каждый из которых является функцией некоторых независимых параметров. Обозначим зависимый параметр через q1. Пусть число независимых параметров равно m-1. Обозначим их как q2, q3, q4, … qm. Тогда

q1 = f1(q2, q3, q4, ..., qm),

(6.2)

где f1 - неизвестная функция. Это уравнение эквивалентно соотношению

f2 = (q1, q2, q3, q4, ..., qm),

(6.3)

где f2 - другая неизвестная функция.

Сформулируем π-теорему, используя выше написанные уравнения. Если имеется соотношение между m параметрами, то можно

92

найти эквивалентное соотношение между n безразмерными параметрами или комплексами:

f3 (π1, π2, …πn) = 0,	(6.4)
где число n определяется как
n = m – k.	(6.5)

Здесь m – число параметров q в уравнении и k – наибольшее число параметров, содержащихся в первоначальном списке q1, q2, q3, q4, …, qm, которые не могут быть объединены в какой-либо безразмерный комплекс. Эту теорему называют π-теоремой Бакингема или теоремой Ваши–Бакингема. Однако в действительности она является результатом работы многих исследователей, включая Фурье, Рябушинского и Релея. В своей первоначальной формулировке π-теоремы Бакингем установил, что k равно минимальному числу независимых размерностей, необходимых для образования размерностей всех параметров qi. Обозначим это минимальное число через r. Позднее (1946) Ван Драйст показал, что, хотя обычно k равно r, имеются исключения, и более общее правило записывается как k ≤ r. Хантли в 1953 году сделал важное обобщение π-теоремы. Он показал, что можно использовать большее число независимых переменных, если четко разграничить отдельные операции и понятия, и за счет этого уменьшить число окончательных безразмерных комплексов.

Рассмотрим применение π-теоремы на примере. Предположим, что мы изучаем установившееся, стабилизированное, ламинарное течение несжимаемой ньютоновской жидкости в круглой трубе. Допустим, что нам неизвестно уравнение для перепада давления. Чтобы определить вид уравнения, применим анализ размерностей. Если считать, что перепад давления р является функцией

93

скорости С, длины трубы l, диаметра d, плотности ρ и вязкости μ, то можно записать

f2 ( р, l, с, μ, ρ) = 0.

(6.6)

Из рассмотрения размерностей всех шести параметров уравнения (6.6) следует, что минимальное число независимых размерностей, из которых могут быть образованы размерности этих параметров, равно трем, например, размерности силы, длины и времени. Следовательно, имеем r = 3. Теперь найдем три из шести размерных параметра, которые не образуют безразмерного комплекса. Комбинация только плотности, диаметра и скорости не может быть безразмерной, поскольку из трех этих параметров лишь плотность имеет размерность массы. Поэтому заключаем, что в данном конкретном случае k = r = 3. Согласно π-теореме, число необходимых безразмерных параметров равно 6 – 3 = 3. Если невозможно найти какой-либо комплекс из трех параметров, который не может быть безразмерным, то следует постараться найти комплекс из двух параметров и т. д. до тех пор, пока число «к» не будет определено. В нашем простом примере после внимательного исследования можно найти, что одной из безразмерных зависимостей является:

			p		l		ρ c d		= 0.	(6.7)
f3				,		,
		1	ρ c2		d		μ
2

Так как мы хотим, чтобы перепад давления был зависимой переменной, то можно записать:

	ð		ρ c d			l	.	(6.8)
		=	f4		,
1				μ
	ρ c2					d
2

Это соотношение совершенно корректно для рассматриваемой нами задачи. Однако целесообразно привести его к более удобному виду, содержащему тот же объем информации, но включающему меньшее число безразмерных параметров или комплексов π. Физи-

94

ческий смысл этого следующий: для полностью установившегося равномерного течения в круглом канале постоянного сечения существует определенная симметрия. В частности, перепад давления на единице длины трубы будет постоянным вдоль оси, так как поле скорости не изменяется по длине трубы. Предполагая, что эта длина измеряется в диаметрах трубы, мы должны искать соотношение вида:

	ð /(l / d )						ρ c d		= f5 (Red ),	(6.9)
λò ð =					=	f5
		1		2			μ
			ρ c
	2

где λтр – коэффициент гидравлических потерь на трение; Re – число Рейнольдса, вычисленное по диаметру.

Из большого числа экспериментов известно, что такой подход в данном случае успешен. Уравнение (6.8) хорошо описывает перепад давления вследствие трения для всех круглых труб, независимо от специфических условий. Известно, что это один из немногих случаев, когда возможно точное и полное решение уравнений Навье–Стокса, совпадающее с экспериментальными данными.

Анализируя приведенный пример, приведем условия, которые должны быть выполнены при использовании π-теоремы:

1.В систему безразмерных параметров должны входить все параметры, имеющие физический смысл, включая все независимые параметры и один зависимый.

2.Каждый параметр, содержащийся в первоначальном списке,

должен входить в безразмерные комплексы π по крайней мере один раз.

3. Размерности, используемые для образования размерностей физических параметров, должны быть независимыми.

Необходимо отметить, что сама по себе теория размерностей не позволяет установить в явном виде функциональные соотношения между безразмерными параметрами и в этом ее ограниченность. Эффективность применения теории размерности зависит от

95