∂ (ρcx ) = 0 или ∂ (ρcx ) = 0 , т.е. ρcx = const.

∂x

Умножив на постоянную величину dS, где dS − площадь поперечного сечения элементарной струйки, получим ρcxdS = const,

то есть Gx = const, кг/с или cxdS = const, то есть Qx = const, м3/с.

Дифференциальное уравнение неразрывности течения (3.1) можно представить и в другом виде, учитывая что:

∂ (ρcx )

= ρ

∂cx + c

∂ρ

справедливо и для других осей координат.

x ∂x

∂x

∂x

Запишем:

∂ρ

∂ρ

∂ρ

∂ρ

∂c

∂cy

∂c

+

cx +

cy +

cz + ρ

x +

+

z

= 0 .

∂t

∂x

∂y

∂z

∂y

∂x

∂z

Записав проекции скорости как

cx = dxdt ; cy = dydt , cz = dzdt , получим:

∂ρ

∂ρ dx

∂ρ dy

∂ρ dz

∂c

∂cy

∂c

+

+

+

+ ρ

x +

+

z

= 0

∂t

∂x dt

∂y dt

∂z dt

∂y

∂x

∂z

ρ = f (x, y, z,t ),

d ρ ∂ρ ∂ρ dx ∂ρ dy ∂ρ dz

dt

= ∂t +

∂x dt

+

∂y dt +

∂z dt

,

поэтому

d ρ

∂c

∂cy

∂c

+ ρ

x

+

+

z

= 0 .

dt

∂y

∂x

∂z

3.4. Скорость движения жидкой частицы

Для выяснения кинематических особенностей движения жидкости необходимо общее движение с «абсолютной» скоростью с = с(r, t) разложить на простейшие.

45

Как известно, скорость произвольной точки твердого тела с всегда может быть представлена как векторная сумма скорости с0 поступательного движения полюса О и скорости вращения (ω × ro )

вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс:

c = co + (ω × ro ).

Движение жидкой частицы является более сложным и определяется теоремой Коши–Гельмгольца, согласно которой скорость движения с любой точки жидкой частицы в данное мгновение можно рассматривать как результат сложения векторов скоростей трех более простых движений:

1)скорость квазитвердого поступательного движения произвольного полюса О, находящегося в самой частице;

2)скорость вращения частицы (ω × ro ) около собственной оси,

то есть оси, проходящей через полюс О;

3) скорость сD деформационного движения, изменяющего форму и размеры частицы.

В результате: с = со + (ω × ro ) + cD

Рис. 3.2. Деформация элемента жидкости

Наличие или отсутствие деформационного и вращательного движения жидких частиц определяет качественно отличные модели

движения жидкости.

46

На рис. 3.2 совмещены в полюсе О две проекции на плоскость хоу элементарного жидкого параллелепипеда с ребрами dx, dy, dz в начальный момент движения t и в момент t + dt после перемещения в пространстве, деформаций и вращения. Для наглядности на рис. 3.2, а представлен результат лишь линейной деформации удлинения ребер, а на рис. 3.2, б только деформации сдвига ребер и вращение элемента.

Пусть проекции скорости полюса О в начальный момент времени и и v. Проекции скоростей точек А и С в общем случае будут

	uA = u + (∂u / ∂x)dx,	vA = v + (∂v / ∂x)dx,
	uC = u + (∂u / ∂y)dy,	vC = v + (∂v / ∂y)dy.
Скорости относительной линейной деформации.			Точка А
движется	относительно полюса	О вдоль оси х со	скоростью
(∂u / ∂x)dx .	Это вызывает линейную деформацию удлинения или
укорочения ребра ОА, равную		AA′ = (∂u / ∂x)dxdt . Аналогичное

рассмотрение линейных деформаций вдоль осей у и z позволяет рассчитать величины линейных деформаций, отнесенных к длине ребер, в единицу времени, т. е. скоростей линейных деформаций εх,

εу, εz вдоль соответствующих осей координат:

ε x = AA′ / dxdt = ∂u / ∂x; ε y = ∂v / ∂y;

ε z = ∂ω / ∂z.

Объемная деформация состоит в изменении объема dV=dxdydz параллелепипеда на величину ∂V = δVx + δVy + δVz за счет удале-

ния или сближения противоположных граней. Учтем, что AA′ = (∂u / ∂x)dxdt , и подсчитаем составляющую объемной деформации за счет изменения длины ребра dx по очевидной формуле, а для ребер dy и dz – по аналогии

δVx = AA′dydz = (∂u / ∂x)dVdt;

δVy = (∂v / ∂y)dVdt; δVz = (∂ω / ∂z)dVdt.

47

Скорость относительной объемной деформации е представ-

ляет изменение объема частицы, отнесенное к ее первоначальному объему и времени деформации:

e = δV /(dVdt) = ∂u / ∂x + ∂v / ∂y + ∂ω / ∂z = divc = ε x + ε y + ε z

Для несжимаемой жидкости e = div c = 0.

Скорость относительной деформации сдвига и угол поворота частицы (рис. 3.2). Движение точки А параллельно оси у со скоростью v + (∂v/∂x)dx можно представить как движение вместе с полюсом O со скоростью v и относительно полюса со скоростью (∂v/∂x)dx. В результате относительного движения ребро ОА за вре-

мя dt повернется на бесконечно малый угол

dβ A ≈ tgdβ A = AA′′ / dx = (∂v/∂x)dxdt/ dx = (∂v/∂x)dt .

Аналогично ребро ОС повернется на угол dβC ≈ tgdβC = CC′′ / dy = (∂u /∂y)dt.

Общая относительная деформация сдвига частицы или деформация скашивания прямого угла АОС в угол А"ОС" происходит в одинаковой степени под действием тангенциального напряжения τху и τух и равна dβ A + dβC = (∂v/ ∂x + ∂u /∂y)dt . Обозначив скорость суммарной относительной деформации сдвига, вызванной τху, через θxy = (dβ A + dβC )dt , а вызванной τух – через θ yx = (dβC + dβ A)dt, приходим к заключению, что они равны θху = θух. Рассуждая аналогично, найдем скорости относительных деформаций сдвига в плоскостях xz и yz:

θxy = θ yx = ∂v/∂x + ∂u / ∂u; θ xz = θ zx = ∂ω /∂x + ∂u /∂z;

θyz = θ zy = ∂ω /∂y + ∂v/∂z.

Итак, получены девять скоростей относительных деформаций, из которых шесть тангенциальных попарно равны

θxy =θ yx; θxz =θzx; θ yz =θzy.

48

Вращение частицы около собственной оси. Определим угол dγz поворота частицы в плоскости хOу около собственной оси, проходящей через точку О параллельно оси z. Совместим на рис. 3.2 параллелограммы по диагоналям ОВ и ОВ" и запишем очевидное равенство

dβC + dγ z = dβ A − dγ z,

отсюда

dγ z = 0,5(dβ A − dβC ) = 0,5(∂v / ∂x − ∂u / ∂y)dt

По аналогии для вращения около осей, параллельных осям х и у, получим

dγ x = 0,5(∂ω / ∂y − ∂v / ∂z)dt ; dγ y = 0,5(∂u /∂y − ∂ω /∂x)dt.

49