1. НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ
...Наклоненное положение камней диких к горизонту показывает, что оные слои сворочены с прежнего своего положения, которое по механическим и гидростатическим правилам должно быть горизон тально... И так, когда горы со дна морского возходили, понуждаемые внутренней силой, неотменно долженствовали составляющие их камни выпучиваться, трескаться, производить разщелины, наклон ные положения, стремнины, пропасти разной величины и фигуры отменной.
М.В. Ломоносов «Слово о рождении
металлов от трясения земли» (1757 г.)
1.1. Деформация
Деформация - это геометрическое понятие, служащее для математического описа ния перемещения частиц сплошной среды. Тело под действием приложенных к нему сил деформируется и перемещается из некоторого начального положения в конечное. Предполагается, что начальное и конечное положения тела известны и связаны между собой некоторыми математическими соотношениями. Основными компонентами де формации (рис. 1.1) являются трансляция (перенос), вращение и чистая деформация (деформация в узком смысле - изменение формы тела, или стрейн). Для математи ческого описания деформации применяются тензоры, отражающие в матричном виде все ее компоненты.
+ —
с,
t |
II |
^ 1 — 1
перенос |
вращение |
стрейн |
деформация |
Рис. 1.1. Деформация тела, осуществляемая переносом (А —►А’), вращением (В —►В’), чистой деформацией (стрейном, С —►С’) и суммарной комбинацией всех этих компонентов (D —►D’).
Сплошная среда. В 1822 и 1823 гг. Навье и Коши представили в Парижскую академию наук трактаты, которые положили начало двум подходам к рассмотрению физических свойств твердых тел. Первый, основанный на рассмотрении тела как системы взаимодействующих между собой молекул, привел к физическим теориям механических свойств кристаллов раз личного строения. Второй, так называемый континуальный, подход заключался в замене ре ального тела воображаемой сплошной средой, непрерывно заполняющей пространство.
Сплошная среда представляет собой упрощенную модель реальных тел, в которой принимается, что вещество среды равномерно распределено по всему объему. В механи ке сплошных сред, изучающей связи между напряжениями и деформациями, прочностью и разрушением тел, любой бесконечно малый элементарный объем занимаемого телом про странства будет содержать вещество. В пределе, стягивая объем к точке, можно считать,
^ что материальная точка сплошной среды наделена одновременно свойствами точки и тела: ^
Напряжения и деформиции |
13 |
^т.е., с одной стороны, представляет собой некоторую точку пространства, а с другой - эта точка наделена некоторыми усредненными физико-механическими свойствами. Изменение местоположения материальной точки упрощает математическое описание процессов дефор мации тел [Партон, 1990].
Воднородной сплошной среде физико-механические свойства тела одинаковы для всех
материальных точек. Сплошная среда, свойства которой меняются от точки к точке, назы вается неоднородной. Если свойства среды изменяются в зависимости от направления, по которым они определяются, то такая среда является анизотропной. В изотропной среде
свойства одинаковы вне зависимости от направления. Однородность или неоднородность и изотропность или анизотропность среды не зависят друг от друга и являются самостоятель ными свойствами. Например, тело может быть неоднородным, но изотропным - несмотря на изменение свойств от точки к точке, свойства в каждой материальной точке не зависят от направления их определения.
Физическая модель сплошной среды не отражает свойства реальных тел, в том числе геологических, которые обладают дискретным строением и состоят из атомов, молекул, кристаллов, слоев, глыб, блоков (см. гл. 3-9). Модель механики сплошных сред направле на на описание усредненных макроскопических характеристик деформаций и напряжений некоторого объема. Так, при деформации некоторого кристаллического зернистого агрегата модель сплошной среды не описывает перемещение каждого кристалла (зерна), а при де формации монокристалла - перемещение каждого атома. Модель сплошной среды позволя ет математически непротиворечиво описать деформацию некоторого объема среды, размер которого значительно превышает размер структурных неоднородностей (зерен для агрегата
^или атомов для монокристалла) [Белоусов, 1986].______________________________________ У
Деформация может быть одно родной и неоднородной. При однород ной деформации материальные точки сплошной среды, изначально находив шиеся на одной прямой, в конечном положении также будут находиться на одной прямой (рис. 1.2, а): во всех точках тела происходит одинаковая деформация. Примером однородной деформации является равномерное удлинение или укорочение тела (см. рис. 1.2, а). При неоднородной дефор мации точки отклоняются от прямоли нейного расположения, и деформация в разных точках тела различна (как при изгибе или кручении, рис. 1.3, а и б). В случае непрерывного распределения точек среды при их относительном смещении деформация называется непрерывной (рис. 1.2, б). При потере
Рис. 1.2. Непрерывная однородная (а) и неоднородная (б)
деформации. При однородной деформации прямые линии (диагонали квадрата) остаются прямыми. При неоднород ной деформации, как правило, прямые линии изгибаются. Неоднородная деформация может быть разрывной (в).
Рис. 1.3. Примеры неоднородной деформации: из гиб (а) и кручение (б).
Напряжения и деформиции |
15 |
|
направлением и углом поворота относительно |
(С |
|
этой оси. Третий компонент (собственно де |
|
|
формация в узком смысле) определяется изме |
А/ |
|
нением расстояния между материальными точ |
|
|
ками данного тела. Рассмотрим для простоты |
/ |
|
случай одномерной деформации - растяжение |
Рис. 1.5. Измерение деформации удлинения |
|
стержня (рис. 1.5). Если первоначальная длина |
стержня: е = (/ - 10)/10= Д///0. |
|
стержня равна 10, приращение длины А/, конеч ная длина после деформации /, то величину деформации удлинения е можно выразить
как отношение приращения длины к первоначальной длине:
s = ( l - l o)/lo = Alllo.
Эта мера деформации показывает, насколько приращение больше первоначаль ного размера объекта, и называется процентной. Ее удобно использовать для оценки малых деформаций. Например, при растяжении стержня длиной 100 см на 1 см де формация будет равна 1/100 = 0.01, или, в процентном выражении, 1 %. Приращение длины выражается положительным значением, сокращение - отрицательным.
Другой способ измерения деформации можно назвать кратным. Мера деформа ции выражается через отношение конечной длины к начальной:
k= l/l0,
ипоказывает, во сколько раз изменилась длина при деформации. Например, растянув резиновый шнур длиной 100 см до 200 см, деформация к = 2 (длина увеличилась в два раза).
Вдвумерном случае любое удлинение объекта должно вызывать соответствующее компенсационное сокращение, и наоборот. Рассмотрим квадрат со стороной АВ = 6, который испытал деформацию укорочения-удлинения (рис. 1.4, б). Предположим, что после деформации длинная сторона прямоугольника ВС будет равна 9, тогда деформа ция удлинения к} = В ’С ’/АВ = 3/2. При условии сохранения площади (S = АВ2 = 36) ко роткая сторона прямоугольника будет равна А ’В ’ = S/В 'С ' = 36/9 = 4. Тогда деформация укорочения к2 = В *С '/АВ = 4/6 = 2/у Т.е. кратная мера деформации равна: удлинение в полтора раза вызывает укорочение в полтора раза, т.е. к} = \/к2. Выраженное в процен тном отношении удлинение будет равно £1= (В ,С ,~ АВ)/АВ = (9 - 6)/6 = 0.5, или 50%. Деформация укорочения е= (А’В ’ - АВ)/ АВ = (4 - 6)/6 = - 0.3(3), или 33%. Иными словами, процентные меры деформации не совпадают (можно показать, что для со ставляющих доли процента малых деформаций процентное удлинение и сокращение совпадают по абсолютной величине, отличаясь только знаком).
Если к упругой пластинке (или стержню) приложить растягивающее напряжение, то она удлинится в этом (продольном) направлении и сократится в поперечном. Соот ношение между поперечными и продольными деформациями было установлено Пу ассоном, который показал, что отношение поперечной деформации е2к продольной е1 является постоянной величиной:
e2 = - v e 7,
где v - коэффициент Пуассона, отражающий свойства материала. Если материал не испытывает поперечной деформации, то коэффициент Пуассона равен нулю. Для не
Напряжения и деформиции |
17 |
площади при деформации равно разности площадей эллипса и начального круга AS = XpXGг2 = X ^ G- 7. Эллипс деформации любой формы можно представить на диаграмме XGХр (см. рис. 1.6, б).
В трехмерном случае конечная деформация описывается эллипсоидом деформа ции, главные оси которого обозначаются буквами X ,Y 9Z (X > Y > Z ), а деформация по этим полуосям - Хр Х2, Х3(Я; > Х2> Х3). В зависимости от вида эллипсоида выделяется пять типов конечной деформации (рис. 1.7, табл. 1.1). Графически типы деформации отображаются на диаграмме Флинна (рис. 1.7, б), которая показывает соотношения осей эллипсоида (Х;/Х2 показано в виде функции XJX3). Параметр К определяет форму эллипсоида:
К= (а - Щ Ь - 1), где a =X/Y=X/X2, b = Y/Z = XJXy
Понятно, что а отражает вытянутость эллипсоида по оси удлинения в плоскости XY, Ъ - сплющенность по оси укорочения в плоскости YZ. Предположим, что Y = Z (см. рис. 1.7), т.е. сечение эллипсоида в плоскости YZ представляет собой круг мень шего радиуса, чем начальная сфера, а вдоль оси X эллипсоид вытянут - ось X больше диаметра начальной сферы. Тогда К = (X/Y- l)/(Y/Z- 1) = (X/Y - Щ 1 - 1 ) = (X/Y- 1)/0 —►оо. Такой эллипсоид будет иметь форму сигары. Круговое сечение в плоскости YZ означает, что деформация сокращения по осям Y и Z равна, Х2 = Х3< 1. Сигарообраз ный эллипсоид соответствует деформации одноосного вытягивания: такой эллипсоид получился бы, если бы мы сжали в кулаке небольшой шар из пластилина.
Теперь предположим, что пластилиновый шар мы положили на стол и придавили его ладонью, сплющив его. Таким образом, мы получаем модель эллипсоида дефор мации одноосного сплющивания: по оси Z происходит сокращение, а по осям X и Y - равное удлинение (Х= Y иХ] =Х2>1). Тогда К= (X/Y- 1)/(Y/Z- 1) = (1 - 1)/(Y/Z- 1)
= О/(7 /Z - 1) = 0. Эллипсоид сплющивания имеет форму лепешки или блина.
К=оо
ОДНООСНОЕ ВЫТЯГИВАНИЕ
b = Y/Z = ХАз
Рис. 1.7. Эллипсоид деформации и его главные оси X, Y, Z (а). Диаграмма Флинна, иллюстрирующая различные состояния конечной деформации и их связь с главными осями эллипсоида деформации (б). Фигурки иллюстриру ют тип деформации в соответствующей области. X, Y ,Z - главные оси эллипсоида деформаций, Я2, Л3 - дефор мация по направлениям главных осей, es - параметр интенсивности деформации [Николя, 1992].