18

Тип эллипсоида

Одноосное сплющивание Трехосное сплющивание Плоская деформация Трехосное вытягивание Одноосное вытягивание

Глава 1

Таблица 1.1. Типы эллипсоидов деформации

Параметр К

о II

0 < * < 1 ^ = 1

1 <К< 00

00

Соотношение осей

( X = Y ) > Z X > Y > Z

Х> Y> Z

Х> Y> Z X > ( Y = Z )

Деформации по главным осям А, = Л,>1

А, >А, > 1 Аг=1

А, <А, < 1

*, = *.,< 1

Понятно, что равенство двух осей из трех соответствует крайним членам семейства эллипсоидов. Эллипсоиды одноосного вытягивания и сплющивания являются эллип­ соидами вращения. Еще одним характерным представителем семейства эллипсоидов является эллипсоид плоской деформации: в этом случае деформации по оси Y не проис­ ходит, т.е. ось Y после деформации будет равна диаметру начальной сферы (Я2 =1). Если объем эллипсоида не изменяется по отношению к первоначальной сфере, это должно означать, что удлинение по оси X должно быть равно укорочению по оси Z. В этом слу­ чае К = 1. Плоская деформация означает отсутствие деформации по оси Y и является двумерной, т.е. деформация однозначно определяется эллипсом в плоскости XZ.

Эллипсоид трехосного сплющивания отличается от эллипсоида одноосного сплю­ щивания неравенством деформации по осям Х и Y (Я; > Х2> 1), при этом О < К < 1: эл­ липсоид имеет форму овальной лепешки. Эллипсоид трехосного вытягивания имеет форму приплюснутой сигары, и деформация по осям Y и Z не равна (Я2 < k3< 1), при этом 1 <К<со.

В сущности, параметр К определяет только морфологию эллипсоида деформации, но ничего не говорит о ее значении. Например, для эллипсоида одноосного сплющива­ ния К= 0 как для слегка приплюснутого, так и для раскатанного в тонкий блин эллипсо­ ида. Для описания интенсивности деформации вводится параметр es [Николя, 1992]:

где у0 ^ д/(^i- ^2 )~ (£2 ~

Оз “ £\) 5 —1пЯ,-5 i ~ 1? 2, 3.

На диаграмме Флинна интенсивность es показана изолиниями (см. рис. 1.7): чем дальше точка данного эллипсоида удалена от начала координат (1,1) на этой диаграм­ ме, тем интенсивнее деформация.

1.4. Напряжения

Напряжения - это внутренние силы, возникающие в твердом теле под действи­ ем приложенных к нему сил или за счет действия других факторов, приводящих к деформации этого тела. Так же как и деформация, напряжение представляет собой тензорную величину. Галилей после отлучения от астрономии ближе всех подошел к представлению о разрушающем напряжении, обнаружив пропорциональность меж­

Напряжения и деформиции

19

ду растягивающей силой и площадью поперечного сечения растягиваемого стержня. Через два столетия Коши, поделив силу на площадь, назвал частное напряжением и впервые показал, каким образом можно описать внутреннее напряженное состояние тела в любой точке при любом способе нагружения [Партон, 1990].

Для того чтобы понять, каким образом действуют силы внутри тела, нужно про­ вести в теле разрез произвольного направления. Тогда для сохранения равновесия придется к поверхности разреза приложить те силы, которые действовали в теле на месте этого разреза. Так, на сечение поперечного разреза растягиваемого силой F стержня действуют напряжения а = F/S, которые называют нормальными, т.к. они направлены по нормали к поверхности сечения (рис. 1.8). Напряжения в системе СИ, так же как и давление, измеряются в паскалях (Па); в геологии распространена также единица бар (1 бар = 105 Па = 0.98692 атм). Растягивающее напряжение считается положительным, а сжимающее - отрицательным.

Теперь, если рассечь стержень наклонной плоскостью, то внутренние силы на месте разреза будут иметь в общем случае не только нормальную составляющую, но и касательную, направленную вдоль плоскости разреза (рис. 1.9). Напряжение на на-

Рис. 1.8. Определение напряжений в рас­ тягиваемом стержне. В ортогональном на­ правлению действия силы F сечении С -С ’ площадью S= аЪ напряжение а равно отно­

шению действующей силы к площади сече­ ния: а = F/S.

клонной плоскости можно разложить на нормальное (оп) и ка­ сательное (тп) напряжения. Касательные напряжения действуют

вдоль плоскости сечения. Если а -				угол между осью стержня и
нормалью к сечению (см. рис. 1.9), то можно показать, что
о	= о cos	,	а = о	1 + cos 2а
				-------------?
				2
х				sin 2а
	= a sina cosa = о ---------
				2

Из формул следует, что в сечениях, наклоненных к оси ±45°, действуют касательные напряжения, величина которых макси­

мальна: тmax =±о /2.

Более сложный случай двуосного растяжения пластинки

!можно рассматривать как наложение двух простых растяжений

<7

Рис. 1.9. Вычисление на­ пряжений в наклонном сечении стержня при одноосном растяжении

вдоль осей 7 и 2, параллельных сторонам пластинки (рис. 1.10). Если ох и о2 - напряжения, действующие вдоль осей 7 и 2, то действующие на произвольной наклонной площадке нормальное и касательное напряжения будут равны суммам:

20

Глава 1

Ось 2

Рис. 1.10. Вычисление напряжений в наклонном сечении при двуосном растяжении (пояснения в тексте).

°п =	+ °п2= \	+ai) + { о , -	C0S 2«>
	т п = х п , + х »2 =	^-<Л-<г2) sin 2а.

Очевидно, что и здесь на площадках, наклоненных под углом ±45° к оси сжатия, действуют касательные напряжения максимальной величины ттах = ± (а {- а2)/2.

В самом общем случае плоского напряженного состояния прямоугольный эле­ мент пластинки (рис. 1.11) подвергается действию нормальных напряжений охи av и касательных напряжений и тух. Из равенства нулю суммарного момента сил сле­ дует правило парности напряжений т и тух. Можно установить, что всегда найдутся два взаимно перпендикулярных направления («разреза») 7 и 2, относительно которых действуют только двуосное сжатие - растяжение без сдвига (т.е. вдоль этих направ­ лений касательные напряжения отсутствуют). Соответствующие напряжения и о2 называются главными напряжениями, а оси 1 и 2 (см. рис. 1.11) - главными осями. Связь между ах, а и с главными напряжениями описывается формулами:

а* = \	+<тг) + \		а2>cos 2ct>
^1 +СТ2> -		!	К - ff2) COS 2«’
г	= — (о	-	оЛ sin 2а.
ху	2 V 1		2'

И здесь наибольшие касательные напряжения действуют на площадках, накло­ ненных под углом 45° к главным осям.

В самом общем пространственном случае напряженное состояние описывается шестью величинами - нормальными напряжениями ох, оу и а и касательными напря­ жениями т^, и т^, и здесь также действует закон парности касательных напряжений

Хху = тух* Tzx = Txz>xzy = V Существуют три взаимно перпендикулярные оси, в которых

Напряжения и деформиции

21

отличны от нуля только три главных напря­ жения gv o2и (Ту

Как и в случае деформаций, растягива­ ющие напряжения принято считать положи­ тельными, сжимающие - отрицательными. В земных недрах, начиная с некоторой глу­ бины, все нормальные напряжения являют­ ся сжимающими из-за действия вышележа­ щих масс горных пород. Поэтому главные нормальные напряжения можно располо­ жить в порядке алгебраического убывания Ц > о2 > а3): (т1будет главным растягиваю­ щим напряжением, аъ - сжимающим. Оси ах

ибт3 называют осями растяжения и сжатия, соответственно. Такие обозначения приня­ ты в отечественной литературе. В мировой практике принято обозначать ось сжатия ах

иось растяжения <т3, т.е. наоборот (здесь и далее будем придерживаться именно таких обозначений).

Максимальные касательные напряже­ ния, равные полуразностям главных напря­ жений, действуют в плоскостях, наклонен­ ных под 45° к координатным плоскостям в главной системе координат (рис. 1.12).

у

°у

Рис. 1.11. Напряженное состояние прямоугольного элемента пластинки (пояснения в тексте).

Рис. 1.12. Плоскости максимальных касательных напряжений

г Диаграмма Мора. Отношения между значениями главных нормальных и касательного	^
напряжений в определенном сечении можно показать графически в координатах нормаль­
ных а и касательных т напряжений. Такая диаграмма была предложена Мором (1882 г.) и
отражает тригонометрические соотношения нормальных и касательных напряжений. Рас­
смотрим случай двухосного (плоского) напряженного состояния (рис. 1.13, а).
Представим произвольное плоское сечение, ориентированное под углом а к оси мини­
мального напряжения ау По оси абсцисс а откладываем значения главных (максимального
и минимального) напряжений ах и ау и описываем окружность, диаметром которой будет
являться отрезок ахау Полученная геометрическая фигура называется кругом Мора (рис.
1.13, б). Из центра этого круга (середины отрезка сг]сг3) проводим прямую под углом 2а в
положительную сторону от оси а. Прямую можно провести как над, так и под осью абсцисс.
Координаты точки пересечения прямой с кругом Мора в системе а, тсоответствуют значе­
ниям нормального и касательного напряжений в данном сечении. Положительный или отри­
цательный знак величины г (пересечение над или под осью а) показывает направленность
касательных напряжений, действующих в двух сечениях, симметричных относительно оси
главных напряжений (т.е. углу 180°+а); на рис. 1.13, а можно провести еще одно сечение,
ориентированное под углом а к оси минимального напряжения. В случае отрицательного
знака одного или двух главных напряжений (одноили двухосное растяжение) круг Мора
будет располагаться слева от оси ординат, и полученные значения нормального напряжения
^ в данном сечении также могут оказаться отрицательными.______________________________	>

22

Глава 1

В частном случае, когда сг] = оъ, круг на диаграмме «стянется» в точку - это будет

означать, что в любом произвольном сечении в обстановке плоского равномерного сжатия (растяжения) касательные напряжения отсутствуют (тл = 0, рис. 1.13, в). Максимальные ка­

сательные напряжения достигаются при положении точки в крайней верхней или нижней части круга: угол 2а будет равен 90°, т.е. а = 45° (рис. 1.13, г): и действительно, максималь­

ные касательные напряжения достигаются на площадках, ориентированных под углом 45° к главным напряжениям.

			+ X
			Т.
			- С Г <
			а, + а3
			2
Рис. 1.13. Диаграмма Мора для			- т
двуосного напряженного состояния			+ т
(а). Принцип построения поясняет­
ся в тексте. На (б) показан общий
случай	построения	диаграммы
Мора для плоского напряженного
состояния, на (в) и (г) - два частных
случая. При равенстве напряжений
а, и <т3, круг Мора «стягивается» в
точку (в): в любом направлении
действуют равные нормальные на­
пряжения ап = = а= (<т, + <т3)/2,
а касательные напряжения г равны
нулю.	Максимальное	значение т

достигается в верхней точке круга, когда 2а = 90°, т.е. а = 45°: макси­

мальные касательные напряжения достигаются на площадках, ориен­ тированных под углом 45° к осям главных напряжений (г).

в

к	£II Я
<Тг

+ <Т