§4. Директрисы эллипса и гиперболы

Определение. Две прямые, перпендикулярные большой оси эллипса и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии a/ε от него, называют директрисами эллипса (здесь а – большая полуось, ε – эксцентриситет эллипса).

Уравнения директрис эллипса, заданного каноническим уравнением (7), имеют вид

и .

Так как для эллипса ε < 1, то a/ε > a. Отсюда следует, что правая директриса расположена правее правой вершины эллипса, а левая – левее его левой вершины (рис. 45).

Определение. Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии a/ε от него, называются директрисами гиперболы (здесь а – действительная полуось, ε – эксцентриситет гиперболы).

Уравнения директрис гиперболы, заданной каноническим уравнением (15), имеют вид

и .

Так как для гиперболы ε > 1, то a/ε < a. Отсюда следует, что правая директриса расположена между центром и правой вершиной гиперболы, а левая – между центром и левой вершиной (рис. 46).

С помощью понятий директрисы и эксцентриситета можно сформулировать общее свойство, присущее эллипсу и гиперболе. Имеют место следующие две теоремы.

Теорема. Если r – расстояние от произвольной точки М эллипса до какого-нибудь фокуса, d – расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение r/d есть постоянная величина, равная эксцентриситету эллипса.

Доказательство. Предположим для определенности, что речь идет о правом фокусе F₂ и правой директрисе. Пусть М(х; у) – произвольная точка эллипса (см. рис. 45). Расстояние от точки М до правой директрисы определяется равенством

, (20)

которое легко устанавливается из рисунка. Из равенств (2) и (4) имеем

r = r₂ == .

Полагая c/a = ε, получаем формулу расстояния от точки М до правого фокуса:

r = a – εx. (21)

Из соотношений (20) и (21) находим

.

Теорема доказана.

Теорема. Если r – расстояние от произвольной точки М гиперболы до какого-нибудь фокуса, d – расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение r/d есть величина постоянная, равная эксцентриситету гиперболы.

Доказательство. Предположим для определенности, что речь идет о правом фокусе F₂ и правой директрисе. Пусть М(х; у) – произвольная точка гиперболы (см.рис. 46). Рассмотрим два случая.

1) Точка М находится на правой ветви гиперболы. Тогда расстояние от точки М до правой директрисы определяется равенством

, (22)

которое легко устанавливается из рисунка. Из равенств (10) и (12) имеем

r = r₂ == .

Полагая c/a = ε, получаем формулу расстояния от точки М до правого фокуса:

r = εx – a. (23)

Из соотношений (22) и (23) находим

.

2) Точка М находится на левой ветви гиперболы. Тогда расстояние от точки М до правой директрисы определяется равенством

. (24)

Из равенств (10) и (12) имеем

r = r₁ == .

Полагая c/a = ε, получаем формулу расстояния от точки М до правого фокуса:

r = –(εx – a). (25)

Из соотношений (24) и (25) находим

.

Теорема доказана.

Установленное свойство эллипса и гиперболы можно положить в основу общего определения этих линий: множество точек, для которых отношение расстояний до фокуса и до соответствующий директрисы является величиной постоянной, равной ε, есть эллипс, если ε < 1, и гипербола, если ε > 1.

Возникает вопрос, что представляет собой множество точек, определенное аналогичным образом при условии ε = 1. Оказывается, это новая линия второго порядка, называемая параболой.