Следовательно

где 1 - единичная матрица.

Произведение

Поэтому

или в развёрнутой форме

18

В результате умножения матриц получаются выражения для контурных токов, например

Подставим в систему уравнение в матричной форме ( I ), значения сопротивления и э.д.с.

Решаем матричное уравнение (4) относительно матрицыJ. Определяем определитель системы:

Определяем алгебраические дополнения элементов матрицы

После подстановки вычисленных значений Δ_r и R_ij получаем

19

Подставим (5) в (3), получаем окончательно

Отсюда

J₁= (1395 – 1092 +1275) /2243 = 1578 / 2243 = 0.704 A.

3. Находим действительные токи в ветвях схемы

I₁ = J₁ – J₂ = 0.704 – (-0.58) = 1.284 A;

I₂ = J₂ = -0.58 A:

I₃ = J₃ – J₂ = 1.018 – (-0.58) = 1.598 A;

I₄ = J₃ = 1.018 A:

I₅ = J₃ – J₂ = 1.018 – 0.704 = 0.314 A;

I₆ = J₁ = 0.704 A:

Действительные токи во внешних ветвях равны соответствующим контурным токам, а в смежных ветвях - алгебраической сумме контурных токов, обтекающих рассматриваемые смежные ветви.

В результате расчета ток ?₂ получился отрицательным. Следовательно, действительное его направление обратно указанному.

На структурной схеме покажем действительные направления всех токов в ветвях (рис.4)

Рис.4. Структурная схема цепи.

4. Проверка правильности определения искомых величин.

Проверка решения производится подсчётом баланса мощностей. Под балансом мощностей понимается равенство мощности, выдаваемой всеми источниками цепи, и мощности, потребленной в сопротивлениях. Баланс мощности основан на законе сохранения энергии.

Мощность, выдаваемая источниками (P_n), подсчитывается по формуле:

P_n = E₁I₁ + E₃I₃ – E₂I₂ = 91.284 + 171.598 - 130.58 = 31.2 Вт.

Если э.д.с. источника и ток через него совпадают по направлению, это значит, что источник энергии выдаёт, и произведение ЕI берется со знаком плюс. Если э.д.с. источника и ток источника встречны, то произведение ЕI берется со знаком минус, источник в этом случае является потребителем.

Мощность потребителей (Р) подсчитывается по формуле:

Р = r₁ I²₁ + r₂ I²₂ + r₃ I²₃ + r₄ I²₄ + r₅ I²₅ + r₆ I²₆ = 31,9 Вт.

Погрешность

20

Погрешность ΔР = 0.032, что вполне допустимо (допускается погрешность до3%).

б) Расчет цепи по методу узловых напряжений (потенциалов). Узловыми напряжениями будем называть разность потенциалов между любым узлом электрической цепи и одним из её узлов, принятым за базисный.

Все узловые напряжения указываются на схеме стрелкой к базисному узлу (т.е. он во всех случаях принимается за точку низшего потенциала).

в) Выбираем узел А за базисный и расставляем положительные направления токов и напряжений (рис.5)

Рис.5 Расчётная схема по методу узловых напряжений.

2. Составляем систему уравнений, содержащих искомые узловые напряжения. Для расчёта схемы методом узловых напряжений можно пользоваться следующим правилом построение уравнений.

В левой части уравнения записывается с плюсом произведение узлового напряжения рассматриваемого узла на арифметическую сумму всех проводимостей ветвей, примыкающих к этому узлу, и с минусом – произведения узловых напряжений соседних узлов на проводимости ветвей, соединяющих эти узлы с тем, для которого составляется уравнение.

В правой части уравнения записывается алгебраическая сумма произведения э.д.с., примыкающих к рассматриваемому узлу, на проводимость своих ветвей, причём перед произведением ставится знак плюс, если стрелка э.д.с. смотрит к узлу, и минус – если она направлена от узла.

Узел В : (g₁+g₂+g₆)U_BA – g₁U_DA – g₂U_CA = -g₁E₁ – g₂E₂ ,

Узел С : (g₂+g₃+g₄)U_CA – g₃U_DA – g₂U_BA = g₂E₂ + g₃E₃ ,

Узел Д : (g₁+g₃+g₅)U_DA – g₁U_DA – g₃U_CA = g₁E₁ – g₃E₃ ,

Подставив в значения э.д.с. и сопротивлений получим:

U_BA (1/3 + 1/2 + 1/10) – 1/3 U_DA – 1/2 U_CA = -(1/3) 9 – (1/2) 13,

- 1/2 U_BA – 1/5 U_DA + (1/5 + 1/2 + 1/7)U_CA = (1/2) 13 + (1/5) 17,

1/3 U_BA + (1/3 + 1/5 + 1/6)U_DA – 1/5 U_CA = (1/3) 9 – (1/5) 17,

Упростив выражение, получим:

14/15 U_BA – 1/3 U_DA – 1/2 U_CA = - 9.5 ,

-1/2 U_BA – 1/5 U_DA + 59/70 U_CA = 9.9 ,

-1/3 U_BA + 21/30 U_DA – 1/5 U_CA = - 0.4 .

21

Решением уравнений относительно искомых узловых напряжений может быть найдено с помощью определителей.

Определяем определитель системы:

Определяем алгебраические дополнения:

Определяем узловые напряжения:

U_BA = ₁ / = - 1.252 / 0.179 = 7.0 B ,

U_CA = ₂ / = 1.268 / 0.179 = 7.084 B ,

U_DA = ₃ / = - 0.336 / 0.179 = - 1.877 B.

4. Определяем токи в ветвях схемы:

I₁ = (E₁ + U_BA – U_DA) / r₁ = (9 – 7 + 1.877) / 3 = 1.294 A ;

I₂ = (U_CA – U_BA – E₂) / r₂ = (7.084 + 7 - 13) / 2 = 0.549 A.

I₃ = (E₃ – U_CA + U_DA) / r₃ = (17 – 7.084 – 1.877) / 5 = 1.607 A,

I₄ = 7.084 / 7 = 1.012 A,

I₅ = - U_DA / r₅ = 1.877 / 6 = 0.313 A,

I₆ = - U_BA / r₆ = 7 / 10 = 0.7 A.

4. Произведем проверку решения подсчетом балансов мощностей:

P = E₁I₁ + E₃I₃ – E₂I₂ = 91.294 + 171.607 - 130.549 = 31.828 Вт,

P_п = r₁I₁² + r₂I₂² + r₃I₃² + r₄I₄² + r₅I₅² + r₆I₆² =

= 31.294² +20.549² + 51.607² + 71.012² + 60.313² + 100.7² = 31.18 Вт.