mekhanika_i_molekulyarka

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации

Сибирская аэрокосмическая академия имени академика М.Ф.Решетнева

СЕМЕСТРОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МЕХАНИКЕ, МОЛЕКУЛЯРНОЙ

ФИЗИКЕ И ТЕРМОДИНАМИКЕ

Красноярск 1999

УДК 539.194

Семестровые задания по механике, молекулярной физике и термодинамике: Метод. указания для студентов I курса / Сост. Т.А.Слинкина, Л.И.Чернышова. – 2-е изд., перераб. и доп. – Красноярск: САА, 1999. – 96 с.

Методические указания составлены в соответствии с программой по физике для высших технических учебных заведений и предназначены для студентов I курса в каче- стве семестровых заданий.

Представлено 300 задач по десяти основным разделам механики, молекулярной физики и термодинамики для решения на практических занятиях. По каждой теме сна- чала приводятся основные законы и формулы, необходимые для решения задач, пояс- няется смысл величин, входящих в формулы, подробно разбираются типовые задачи; затем приводятся задачи, предназначенные для самостоятельного решения.

Рецензент д-р физ.-мат. наук, проф. Ю.Д.Тропин

Печатается по решению редакционно-издательского совета академии

Редактор Л.В.Звонарева Компьютерная верстка Д.В.Румянцева

Подп. в печать 31.05.99. Формат 60х84/16. Бумага офсетная. Печать плоская. Усл.п.л. 11,16. Уч.-изд.л. 12,0. Тираж 1000 экз.

Заказ С

Редакционно-издательский отдел САА.

660014, Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31.

Отпечатано ?

?

© Сибирская аэрокосмическая академия, 1999

2

ОГЛАВЛЕНИЕ

I. Кинематика…………………………………………………………………………………..			4
1.	Кинематика прямолинейного движения материальной точки………………….		4
2.	Кинематика равнопеременного прямолинейного движения…………………..		15
3.	Кинематика криволинейного движения. Движение тела,
	брошенного под углом к горизонту. Кинематика вращательного
	движения……………………………………………………………………………………		18
II. Динамика поступательного движения …………………………………………….			29
4.	Законы Ньютона. Динамика материальной точки,
	движущейся по окружности………………………………	……………………………	29
5.	Закон сохранения импульса. Работа, энергия, мощность.
	Закон сохранения механической энергии. Совместное применение
	законов сохранения………………………………………………………………...……..		40
III. Динамика вращательного движения твердого тела…………………………..			51

6.Момент инерции. Основное уравнение динамики вращательного движения. Закон сохранения момента

	импульса. Работа и энергия……………………………………………………………..	61
IV. Молекулярная физика и термодинамика…………………………………………		64
7.	Законы идеальных газов. Молекулярно-кинетическая
	теория газов…………………………………………………………………………………	64
8.	Элементы статистической физики……………………………………………….……	71
9.	Физические основы термодинамики………………………………………………….	78
	9. Внутренняя энергия. Молярная и удельная теплоемкости
	газов. Первое начало термодинамики……………………………………………..	86
	10. Круговые процессы. Цикл Карно. Изменение
	энтропии…………………………………………………………………………………	89
Литература……………………………………………………………………………………….		95
Приложение………………………………………………………………………………………		96

3

I.КИНЕМАТИКА

1.Кинематика прямолинейного движения материальной точки

Основные формулы

1. Положение материальной точки в пространстве описывается радиусом- вектором

				r		r	r
				r = x × i + y ×			j + zk ,
где i ,	j	и k – единичные векторы направлений;
x, y, k		– координаты точки.
2.	Абсолютное значение радиуса-вектора
				r =		x 2 + y 2 + z 2		.
3.			r	r	r
	Вектор перемещения		r	= r2	− r1 .

Путь S является скалярной вели- чиной, равной длине участка траектории, пройденного движущейся точкой за дан- ный промежуток времени t .

r

r

r

4. Средняя скорость

v

= Dt .

5. Средняя скорость

vS

=

S .

vS = v

Dt

Равенство

выполняется только при прямолинейном движении

точки без изменения направления движения,

так как в этом случае

r

= DS

Dr

(модуль перемещения равен пройденному пути).

6. Мгновенная скорость

r

r

r

r

dr

v = lim

Dt

=

,

t→0

dt

или

r

r

r

+ v z × k ,

v = v x

× i + v y

× j

где v x =

dx

; v y

=

dy

; v z

=

dz

.

dt

dt

dt

4

7.Абсолютное значение скорости

v= v2x + v2y + v2z .

8.Мгновенное ускорение

			r				r
	r		dv	r	r
	a	=		= ax × i	+ ay × j	+ az	× k .
			dt

9. Абсолютное значение ускорения

a = ax2 + a2y + az2 .

10. При равномерном прямолинейном движении а = 0, v = const . Уравне- ние равномерного движения вдоль оси ОХ

x = x0 ± v × t ,

где х0 – начальная координата; t – время движения.

11. Путь, пройденный точкой при равномерном прямолинейном движении за промежуток времени t:

S= v · t (формула пути).

12.Мгновенная скорость при равнопеременном прямолинейном движении

v = v0 ± at ,

где v0 – начальная скорость в момент начала отсчета времени (t = 0), a = const. 13.Среднее ускорение при переменном движении

					r
			r	=	v	,
			a		Dt
r r	r	–	изменение скорости материальной точки за промежуток вре-
где Dv = v2	- v1

мени Dt = t2 - t1 .

14. Уравнение координаты равнопеременного прямолинейного движения

вдоль оси ОХ:
x = x0	± v0t ±	at 2	.
	2

5

15. Путь, пройденный точкой за промежуток времени t при равноперемен- ном прямолинейном движении

S = v0t ±	at 2	(формула пути).
2

16.При свободном падении тела скорость тела в произвольный момент времени v = gt, где g – ускорение свободного падения; g = 9,8 м/с2.

17.Путь, пройденный телом в свободном падении, к моменту времени t

h = gt 2 . 2

18.Модуль скорости тела после прохождения в свободном падении пути h

v= 2gh .

Примеры решения задач

Задача 1. Материальная точка за промежуток времени Т совершает один полный оборот по окружности радиуса R. Определить среднюю скорость точки и среднюю путевую скорость за промежуток t = Т.

Д а н о:

t = Т

R

vS = ? v = ?

Р е ш е н и е

1. По определению средняя скорость

		r
r	=	r
v		,
		t

r = 0	r	= 0 .
	, v

	2. Средняя путевая скорость v						=	2πR	, т.е. отлична от нуля.
						S		T
				2πR
	r	= 0, vS	=
	О т в е т: v				.
				T

Задача 2. Кинематическое уравнение движения материальной точки по прямой имеет вид

x = A + Bt + Ct 3 ,

где А = 4 м; В = 2 м/с; С = 0,5 м/с3. Для момента времени t = 2 с определить: 1) мгновенную скорость v1; 2) мгновенное ускорение а1.

6

Да н о:

x= A + Bt + Ct 3

А= 4 м

В = 2 м/с С = 0,5 м/с3

t = 2 с

v1 = ? a1 = ?

Ре ш е н и е

1.Мгновенную скорость в произвольный момент времени найдем, продифференцировав координату х времени:

v= dx = B + 3Ct 2 = 2 + 1,5t 2 .

dt

В момент времени t1 = 2 c мгновенная скорость

v1 = 2 + 1,5 · 4 = 8 (м/с).

2. Мгновенное ускорение в произвольный момент времени найдем, взяв вторую производную от координаты х по времени:

a = d 2 x = dv = 6Ct . dt dt

В момент t1 = 2 c мгновенное ускорение а1 = 6С · t1, или а = 6 м/с2.

О т в е т: v1 = 8 м/с, а1 = 6 м/с2.

Задача 3. Тело движется вдоль оси ОХ так, что зависимость координаты от времени задана уравнением x = 6 − 3t + 2t 2 . Найти среднюю скорость и ускорение в промежутке времени от t1 = 1 с до t2 = 4 с. Построить графики зависимости переме- щения, скорости и ускорения от времени. Чему равен путь, пройденный телом за 4 с?

Да н о:

x= 6 − 3t + 2t 2

t1 = 1 c t2 = 4 c

v = ? a = ?

S = ?

Ре ш е н и е

1.По определению

v= dx = −3 + 4t , a = dv = 4 м/с2,

dt

dt

т.е. ускорение – величина постоянная, значит, тело движется по прямой вдоль оси ОХ равноускоренно.

График ускорения представляет собой пря- мую линию, параллельную оси абсцисс.

2. Скорость тела зависит от времени: v = –3 + 4 t. В начальный момент времени t = 0, v = v0 = –3 м/c. Составив таблицу значений v при разных значениях t, построим график v(t).

7

t,	c	0	3	4	1	2	3	4
v,	м/с	–3	0		1	5	9	13

График скорости представляет собой прямую линию:

3. Модуль средней скорости за интервал времени Dt = t2 - t1 равен

v =	r =	x2	− x1	,
	t t2		− t1

где х2 = 6 – 3 · 4 + 2 · 16 = 26 (м); х1 = 6 – 3 · 1 + 2 · 1 = 5 (м).

Таким образом,

v =	x =	21	= 7 (м/с).

t3

4.Модуль среднего ускорения за интервал времени Dt = t2 - t1 равен

a = v2 − v1 , t2 − t1

где v2 = -3 + 4t = -3 + 4 × 4 =13 (м/с),

v1 = -3 + 4 ×1 =1 (м/с),

a = 13 − 1 = 4 (м/с2), 4 − 1

т.е. среднее ускорение равно мгновенному ускорению.

5. Далее построим график зависимости координаты точки от времени (график движения). Найдем характерные точки – координаты х0, х1, х2, соответ-

8

ствующие моментам времени t = 0, t1, t2. Приравняв нулю первую производную
от координаты по времени, найдем координату точки, в которой скорость меняет
знак (точка начинает двигаться обратно): v = –3 + 4 t = 0, откуда
					t = 3 с,				x t = 3 = 6 - 3 × 3 + 2 9 = 4 7 (м).
						4				4		4	16	8
	Составив таблицу значений х									в интервале от t = 0 до t = 4 с, построим гра-
фик движения.
	t, c		0			3	4			1		2		3	4
	x, м		6			4 7				5		8		15	26
							8
	График		зависимости				координаты				от	времени
х = х(t) представляет собой кривую второго порядка.
Тело движется равноускоренно из положения с коор-
динатой		х0 = 6 м		в отрицательном направлении в
положение с координатой x = 4 7 ,										при этом скорость
								8
его изменяется от v0 = –3						м/с до v = 0.
	В момент времени t =						3		с	направление дви-
							4
жения изменяется на обратное.
Путь,	пройденный			телом			за		промежуток			времени
Dt = 3 с,		равен
4
			S = v02		= 9 =11 (м).
			1	2a	2 × 4				8
	Путь, пройденный телом за промежуток времени Dt = t - 3 , равен
															4
						a( Dt )			2			4(4 −	3	) 2
					2 =				,	т.е.	S2 =		4	1
				S			2					2		= 21	(м)
														8
	Весь пройденный путь

S = S1 + S2 = 11 + 211 = 22 1 (м). 8 8 4

От в е т: v = 7 м , а = а = 4 м .

сс2

9

Задача 4. Автомобиль движется прямолинейно со скоростью 80 км/ч. На пути его возникает препятствие и с этого момента скорость автомобиля изменя- ется по закону v = v0 − Ct 2 , где С = 2 м/с3. Через какое время после начала тор- можения автомобиль остановится и каков его тормозной путь?

Да н о:

v= 80 км/ч = 22,2 м/с

v = v0 – Ct2 C = 2 м/с3

v = 0

t = ? S = ?

Р е ш е н и е

Так как движение тела одномерно (вдоль оси х), то для нахождения закона его движения имеем одно дифференциальное уравнение dS = v × dt или

dS = (v0 − Ct 2 )dt

(1)

После интегрирования уравнения (1) получаем закон движения

S = v0t −	Ct 3	.	(2)
3

Время движения автомобиля определяется из условия равенства нулю его конечной скорости:

0 = v0 − Ct 2 , отсюда t =	v0	= 3,3 с.
	C
Тормозной путь S = 49 м.
О т в е т: t = 3,3 с; S = 49 м.

Задача 5. Закон движения материальной точки имеет вид

r		r	+	r
r	(t ) = (A + Ct 2 )i			(Bt + Dt 3 ) j ,
где А = 4 м; С = –1 м/с2; В = 16 м/с; D = –1		м/с3.

Построить траекторию движения точки в первые 5 с.

Р е ш е н и е

По условию задачи компоненты радиуса-вектора

x = A + Ct 2 = 4 − t 2 ,	(1)
y = Bt + Dt 3 = 16t − t 3 ,	(2)
z = 0,	(3)

10