−

6.2.КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦ

6.2.1.Уравнение Шредингера

Уравнение, описывающее движение микрочастиц, должно учитывать не только их корпускулярные, но и волновые свойства. Таким уравнением является уравнение Э.Шредингера, полученное им в 1926 г. Оно не сводится к какимлибо другим известным уравнениям физики потому, что содержит в себе принципиально новую идею о синтезе корпускулярных и волновых свойств частиц. Его нельзя вывести, однако, можно проследить его связь с другими уравнениями. Используя вид волновой функции для свободной частицы (6.1.2), найдем:

dψ

i

d2

ψ

i

2

2

2

dt

= −

Eψ;

dx2

= −

p

ψ

, откуда

h

h

1

dψ

(6.2.1)

E =

ih

ψ

dt

2

1

2 d2

ψ

p

= −

h

dx2

.

(6.2.2)

ψ

Энергия движущейся частицы характеризуется кинетической энергией

k =

mV2

=

p2

,

где р – импульс, и потенциальной энергией U. Так что

2

2m

p2

k = E − U

или

= E − U . Подставив сюда (6.2.1) и (6.2.2),

найдем

2m

h2

d2ψ

−

+ Uψ = ih

dψ

.

(6.2.3)

2m dx2

dt

Это и есть уравнение Шредингера для одномерного случая.

В общем случае ψ = ψ(x, y, z)

и уравнение будет

h2

d2ψ

d2ψ

d2ψ

dψ

−

+

+

+ Uψ = ih

(6.2.4)

2

2

2

2m

dy

dz

dt

dx

или

		h2	2		dψ	.
	−			ψ + Uψ = ih
		2m			dt

Если силовое поле не зависит от времени, т.е.

(6.2.5)

U = U(x, y, z), то представив

ψ в виде ψ (x, y, z) = ψ(x, y,z)e−hi E t , получим уравнение Шредингера для стационарных состояний:

2ψ + 2m (E − U)ψ = 0. (6.2.6) h2

Из физического смысла ψ следует, что она должна быть непрерывной, конечной и однозначной во всем рассматриваемом пространстве. Наложение

−

таких условий часто приводит к тому, что уравнение Шредингера имеет решение не при всех значениях полной энергии Е, а только для дискретного ряда

значений Е1, Е2, …, Еn, … которые называют собственными значениями, а функции ψ1, ψ2, …, ψn, …, являющиеся решениями уравнения (32.6) при

Е = Е1, Е = Е2, …, называют собственными функциями, принадлежащими собственным значениям.

6.2.2. Частица в потенциальной яме

В качестве примера рассмотрим решение уравнения Шредингера для частицы, находящейся в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками и движущейся вдоль оси 0Х. График потенциальной энергии U(x) представлен на рис. 6.2.1.

U

U = ∞ U = 0 U = ∞

2 1 3

0

U = 0 при 0 < x < l (1 область)

и

U = ∞ при x < 0 и x > l (2 и 3 области)

x

Рис. 6.2.1

Возрастание потенциальной энергии от 0 до ∞ соответствует тому, что при приближении частицы, находящейся внутри потенциальной ямы, к стенкам, возникают бесконечно большие силы, препятствующие движению частицы. В подобных условиях, например, находятся свободные электроны в металле. Рассматриваемый случай весьма идеализирован, однако очень нагляден.

При одномерном движении частицы ψ = ψ(х) и для 1-й области, где U = 0, уравнение Шредингера имеет вид

	d2ψ	+	2m	Eψ = 0 .	(6.2.7)
	dx2		h2
Это уравнение имеет решение					ψ(x)= Csin(βx + α),
ψ(x)= Asinβx + Bcosβx или

где β, с, α являются константами и находятся из граничных условий. Непрерывность ψ(х) требует, чтобы на границах области она принимала нулевые

значения:			откуда	α = 0
ψ(0) = сsinα = 0,
ψ(l)= сsinβl = 0,			откуда	βl = πn, где n =1,2,...
Таким образом, получаем набор волновых функций ψn(x):
ψn (x)= csin	πn	x .		(6.2.8)
	l

Коэффициент с находим из условия нормировки ψ(х).