−

2.2.ДВИЖЕНИЕ ГАЗОВЫХ МОЛЕКУЛ

2.2.1.Скорость теплового движения молекул

Средняя скорость молекул в газе обычно характеризуется среднеквадра-

тичной или тепловой скоростью V			=	V2 . Из (2.1.2) следует, что
		T
V =	2kT =	3RT ,			(2.2.1)
T	m	μ
так как	kNA = R, NA m = μ,		а	m – масса молекулы. Из	(2.2.1) можно
подсчитать, что для водорода при			T = 300 K, V = 2 103 м/с,		для кислорода
				T

VT = 500 м/с и т.д.

Однако молекулы даже одного сорта газа при одних и тех же условиях имеют неодинаковые скорости. Это связано с тем, что для молекул, совершающих беспорядочное движение, все направления равноправны, и абсолютные значения скоростей поэтому не могут быть одинаковыми. Даже если они случайно в какой-то момент времени скорости и оказались бы одинаковыми, то в дальнейшем такое состояние быстро бы нарушилось из-за столкновений между собой.

Благодаря беспорядочному движению и взаимным столкновениям молекулы газа распределяются по скоростям так, что среди них имеются как очень быстрые, так и очень медленные молекулы (0 < V < ∞). Такое распределение, как показывает опыт, является не случайным, а вполне определенным, На его характер не влияют ни столкновения молекул, ни внешние воздействия.

Таким образом, скорости молекул неодинаковы и подчиняются определенным закономерностям, имеющим статистический характер.

2.2.2. Распределение молекул по скоростям (закон Максвелла)

Поскольку значение скоростей молекул может быть бесконечно большое, а само число ограниченно, то находят не число молекул, обладающих той или иной скоростью, а число молекул или их часть, обладающих скоростями, ле-

жащими в некотором интервале V						вблизи заданной скорости V. Например,
число молекул, скорости которых лежат в пределах									f(V)
от 500 до 510 м/с (V = 500,					V = 10 м/с).
Относительное число молекул						N	,	скорости
						N
которых лежат в интервале от					V до V +			V, зави-
сит от скорости			V	и тем больше, чем больше V,					V
т.е.									dV V0
	N	= f (V)	V .					(2.2.2)	Рис. 2.2.1
	N
Функция f(V)				называется функцией распре-

			−
	деления. При V = 1 f (V)=	N	, т.е. f(V) равна доле молекул, скорости ко-
		N
				N
	торых заключены в единичном интервале скоростей V. Так как				имеет
				N

смысл вероятности, то f(V) – вероятность того, что молекула газа имеет ско-

	рость, заключенную в единичном интервале вблизи			V.	Можно графически
	представить зависимость f (V) =	N	от скорости	V.	Число молекул	N,
		N V
	имеющих скорости V→0 и V→∞,		равны нулю. Поэтому искомая зависи-
	мость, как следует из математики, должна иметь максимум при V = V0					и

асимптотически приближаться к оси абсцисс при V→0 и V→∞ (рис. 2.2.1). Аналитический вид ее для одинаковых молекул был рассчитан Максвеллом и носит название закона распределения скоростей Максвелла:

f (V) =	N	=	4		m 3/ 2		−	mV2		(2.2.3)
						V2 exp			.
	N V		π 2kT					2kT

Максимум этой функции при V = V0 означает, что наибольшая доля всех молекул движется со скоростями, близкими к V0. Поэтому данную скорость называют наивероятнейшей скоростью. Пользуясь кривой распределения, мож-

но найти долю молекул		N	, имеющих скорость в заданном интервале V.
		N			T1
Она равна площади заштрихованной полосы. Вся				f(V)
же площадь под кривой дает полное число моле-
кул в данном объеме. С повышением температуры					T2
скорости молекул возрастают, и кривая смещается					T3
в сторону больших скоростей (рис. 2.2.2). Поль-
зуясь (2.2.3),	можно вычислить среднюю ариф-				V
метическую	V и наивероятнейшую скорость				Рис. 2.2.2

	V0. Вычисления дают
	V =	8kT =	8RT				(2.2.4)
		2m	πμ
	V =	2kT =	2RT				(2.2.5)
	0	m	μ
	Для решения практических задач удобно закон Максвелла (2.2.3) записы-
	вать через относительную скорость				U =	V	. Из (2.2.5) и (2.2.3) можно полу-
						V
	чить					0
		N =	4 e−U2
	f (U)=			U2 .			(2.2.6)
		N U	π

−

В таком виде обычно пользуются законом Максвелла для решения задач, связанных с распределением молекул по скоростям. Экспериментальная проверка формулы распределения Максвелла впервые была проведена О.Штерном

в1920 г.

2.2.3.Закон распределения Больцмана

Рассмотрим теперь влияние внешнего силового поля, например, силы тяжести на поведение молекул идеального газа. Если бы отсутствовало тепловое движение, то все молекулы под действием силы тяжести скопились бы у поверхности Земли, и, наоборот, в отсутствие силы тяжести все молекулы разлетелись бы по всему пространству. Одновременное действие обоих процессов и приводит к установлению определенного распределения молекул по высоте, соответственно чему распределяется и давление газа. Рассмотрим вертикаль-

ный столб газа (рис. 2.2.3). При изменении высоты на dz

давление меняется на

dp. На некоторой высоте оно равно давлению столба газа:

dp = −ρg dz ,

2.2.7)

где

ρ = mn − плотность газа,

m – масса молекулы,

n – концентрация мо-

лекул.

Из формулы

(2.1.10) находим n =

P

и ρ =

mP

.

Подставив это в

kT

(2.2.7),

получим

kT

dP = −

mg

Pdz , откуда находим

Z

kT

P - dP

−

mg

Z

dz

P(z)= P e kT .

(2.2.8)

P

0

μ

z

Так как m =

, kNA = R ,

то вместо (2.2.8)

NA

P0

Z = 0

получим

μg

P(z)= P e−kT Z .

(2.2.9)

Рис. 2.2.3

0

Формулы (2.2.8)

и (2.2.9),

устанавливающие

закон убывания давления с высотой, называют барометрической формулой.

Так как давление газа пропорционально числу молекул, то			(2.2.8) и
(2.2.9) выражают также и закон убывания концентрации молекул с высотой
−	mg	Z
n = n0e kT .			(2.2.10)

Эта формула была использована Перреном (1909 г.) для опытной проверки барометрической формулы и числа Авогадро. В формуле (2.2.10) mgz есть потенциальная энергия молекулы на высоте, то WP (z) = mg z при нулевом уров-

не потенциальной энергии.

Если газ находится в другом силовом поле, так что его потенциальная энергия WP (z), то число частиц с такой энергией определится формулой