математика / Мет_ряды

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный открытый университет им. В. С. Черномырдина

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

- обобщенно-гармонический с α = ⅓ < 1, расходится.

- обобщенно-гармонический с α = ⅓ < 1, расходится.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.03.2015

Размер:

293.01 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

1.Знакочередующийся ряд – частный случай знакопеременного ряда, поэтому к нему тоже можно применить признак сходимости знакопеременного ряда.

2.При исследовании знакопеременных рядов возможны три случая:

a)ряд сходится абсолютно (достаточно доказать сходимость ряда из абсолютных величин членов данного ряда);

b)ряд сходится условно (доказать сходимость самого ряда по признаку Лейбница и расходимость ряда, составленного из абсолютных величин членов данного ряда);

c)ряд расходится (по необходимому признаку сходимости).

Пример.

Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующие ряды:

sin

n 1

2n 1

n 2

; б)

( 1)

; в)

1 n

3n 2

n 1

г)

; д) sin

; е)

; ж)

( 1)

5n 2

n 1

n 2

n 1

Решение:

sin

- знакопеременный.

n 1

n 2

Исследуем ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:

		sin n


n 1		n 2

Применим признак сравнения: sin n 1 ;

(1)	sin n	≤	1	(2).


	n 2		n2


Т.к. ряд (2)		1	- обобщенно-гармонический, α = 2 > 1 - сходится, то по

	n 1 n2

признаку сравнения из сходимости ряда (2) следует сходимость исходного ряда

(1).

Т.о., ряд, составленный из абсолютных величин членов исходного ряда, сходится, поэтому исходный ряд сходится абсолютно.

Решение:

		(-1) n 1	1
б)					- знакочередующийся.

	n 1		3	n

1. Исследуем ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:

Следовательно, ряд, составленный из абсолютных величин членов исходного ряда, расходится.

2. Применим к исходному ряду признак Лейбница. Проверим оба условия признака Лейбница.

1) an	=	1		> an 1	=	1	- члены ряда убывают по абсолютной

	3		n			3 n 1

величине

2) lim an =	lim		1		=	1	= 0

		3
n	n			n

Оба условия признака Лейбница выполнены, поэтому исходный ряд сходится по признаку Лейбница.

Таким образом, исходный ряд сходится условно.

Решение:

Исследуем ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:

	2n 1	n

	3n 2
n 1	3n 2

Т. к. общий член содержит n-ную степень, то применим признак Коши:

		2 n 1 n		2 n
lim n an	= lim n		= lim		=
		3 n 2		3n 2
n	n		n

В результате деления числителя и знаменателя на n получаем

Следовательно, ряд, составленный из абсолютных величин членов исходного ряда, сходится по признаку Коши. Т. о., исходный ряд сходится абсолютно.

Решение:

	( 1)n
в)		n	- знакочередующийся.
в)		5n 2	- знакочередующийся.
n 1		5n 2

Данный ряд расходится, т.к. для него не выполняется необходимый признак

сходимости: lim a	n	=	lim ( 1)n	n	=	1	(в зависимости от
				5n 2		5
n			n

четности или нечетности n), а для существования предела необходимо, чтобы его значение было единственно.

Решение:

г) sin n - знакопеременный. n 1 3

Данный ряд расходится, т.к. для него не выполняется необходимый признак

сходимости: lim an			= lim sin n3 не существует.
	n		n
Решение:

д)	(-1) n	1	- знакочередующийся.
д)	(-1) n	ln n	- знакочередующийся.
n 2		ln n

1.Исследуем ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:

(2)

- используем признак сравнения и сравним с гармоническим

n 2

расходящимся рядом (1)

: (1)

(2), т. к. функция y=x возрастает

ln n

n 1

быстрее функции y=ln x, поэтому из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2) по призраку сравнения. Следовательно, ряд, составленный из абсолютных величин членов исходного ряда, расходится.

2. Применим к исходному ряду признак Лейбница. Проверим оба условия признака Лейбница.

1) an =

> an 1 =

- члены ряда убывают по абсолютной величине

ln n

2) lim

= lim

= 0

Оба условия признака Лейбница выполнены, поэтому исходный ряд сходится по признаку Лейбница.

Таким образом, исходный ряд сходится условно.

Решение:

	( 1)n	n
е)		n	- знакочередующийся.
е)		n!	- знакочередующийся.
n 1		n!

Данный ряд расходится, т.к. для него не выполняется необходимый признак

сходимости: lim	a	n	= lim ( 1)	n nn	= lim ( 1)	n n	n n ... n	- числитель
				n!		1 2 3 ... n
n			n		n

больше знаменателя, поэтому ответом будет служить в зависимости от

четности и нечетности n.

§ 7. Степенные ряды

Определение.

Ряд u1 (x) u2 (x) ... un (x) ... = n 1 un (x) , членами которого является

функция, называется функциональным.

При одних значениях х ряд может сходиться, а при других расходится. Функциональный ряд (1) называется сходящимся в точке х0 , если при х х0

он обращается в сходящийся числовой ряд; если же при х х0 получается расходящийся числовой ряд, то ряд называется расходящимся в точке х х0 .

Определение.

Совокупность значений х, при которых функциональный ряд сходится,

называется областью сходимости функционального ряда.

Из всех функциональных рядов наиболее распространенными являются степенные ряды вида

с	0	с	x c	2	x2	... c	n	xn	...,	(1)
	0	1		2			n

где числа с0 ,с1 ,c2 ,...cn ,...- коэффициенты степенного ряда.

Cтруктура области сходимости степенного ряда устанавливается с помощью теоремы Абеля.

Теорема Абеля.

1) Если степенной ряд сходится при значении х х0 ≠ 0, то он сходится,

причем абсолютно, при всех х, таких что x х0

2) Если степенной ряд расходится при значениях х х1 , то он расходится

при всех х, таких что x х1

Из теоремы Абеля следует, что существует такое число R ≥ 0, что на интервале (-R, R) ряд сходится, а вне отрезка (-R , R) ряд расходится. Число R

называется радиусом сходимости степенного ряда, а интервал (-R , R) – интервалом сходимости степенного ряда.

Возможны случаи, когда R = 0, тогда ряд сходится только в точке х = 0, или R = ∞, тогда ряд сходится на всей числовой оси.

На концах интервала сходимости, т.е. при х = R, х = - R ряд может как сходиться, так и расходиться.

Теорема.

Если все коэффициенты степенного ряда (1) с0 с1 х с2 х2 .... сn xn ..., начиная с некоторого номера, отличаются от 0, то радиус сходимости равен

R = lim

c n

lim

n 1

Для нахождения области сходимости необходимо:

1)Найти радиус сходимости R и интервал сходимости (-R , R)

2)Исследовать поведение ряда на границах интервала сходимости при х = R

их = -R (по признаку Лейбница для знакочередующихся рядов и по достаточным признакам сходимости рядов с положительными членами).

Пример.

Найти область сходимости степенных рядов

3 n 2

x n 2

( 1)n 1

; b)

( 1) n 1 n! x n

; c)

;

(2n)!

n 1

(x 1)n

( 1)n

n 1

n2n

			xn
a)		( 1)n 1	xn
a)		( 1)n 1	(2n)!
	n 1		(2n)!

Решение:

Найдем радиус сходимости

c	n	( 1) n 1	1	;
			( 2 n )!

cn 1 ( 1)n 2 (2n1 2)! ;

lim

c n

lim

(2n 2)!

R =

(2n)!

(2n

2)!

(2n)!

n 1

(2n)! 1 2 3... 2n

(2n 2)! 1

2 3... 2n (2n 1)(2n 2)

(2n 2)! (2n)!(2n 1)(2n 2)

lim	(2n 1)(2n	2)(2n)! =	lim (2n+1)(2n+2) = ∞
n	(2n)!		n
n			n

Следовательно, R= ∞, поэтому ряд сходится на всей числовой прямой.


b)		( 1) n 1 n! x n
	n 1

Решение:

Найдем радиус сходимости

( 1) n 1 n!;

c n 1

( 1) n 2 ( n 1)!

R =

lim

c n

lim

(n! :(n+1)!)= lim

(n 1)!

n 1

= lim

lim

= 0

n!(n 1)

n 1

Т.о. R = 0, при х=0 исходный ряд будет иметь вид 0 + 0 + 0 + 0 +……, откуда следует, что исходный ряд будет сходиться, только в одной точке х=0.

		3 n 2	x n 2
c)
	n 1

Решение:

К данному ряду нельзя применять формулу для нахождения R, т.к. исходный

ряд не является рядом вида (1) (содержит xn 2

, а не xn ).

Необходимо применить признак Коши

lim

u n

= lim

n 2

lim 3 n

Этот предел будет меньше единицы при тех х, для которых выполняется

неравенство 3 n

n 1 , т.е. при

1 или

т.е. интервал сходимости

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости

3 n

n 1

1= 1 + 1 + 1 +… n 1

Данный ряд расходится по необходимому признаку, т.к.

an	= lim 1 ≠ 0
	n
								n	2
2)	x	1	:		3 n	2	1	n	=		1 n	2	- ряд расходится по
		1				2	1
		3					3
		3		n 1			3			n 1

необходимому признаку, т. к. предел общего члена не существует (может принимать два значения 1,в зависимости от четности и нечетности n), а для существования предела необходимо, чтобы его значение было единственно.

	1	,	1
т.о. область сходимости имеет вид	3	,	3	.
	3		3

			(x 1)n
d)		( 1)n
			n2n
	n 1

Решение:

К данному ряду нельзя применить формулу для нахождения радиуса сходимости R, т.к. исходный ряд не является рядом вида (1) (содержит (x 1)n , а

не xn )

Воспользуемся признаком Даламбера

	un 1				x 1	n 1

lim			= lim
							:

	u					n 1
n	u	n	n	(n 1)2
		n

x 1n n2n =

lim

x 1

n 1 n 2 n

lim

x 1

lim

n 1

n ( n 1) 2

x 1

lim

Определим, при каких х значение предела будет меньше единицы:

	x 1	1	x 1	2 ;



2
2
-2 < x+1 < 2			-3 < x < 1 - интервал сходимости.

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости:

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке математика

#
19.03.201514.29 Кб11Вопр КТО 4 сем.docx
#
19.03.2015588.36 Кб11КР С 3 сем.pdf
#
19.03.2015293.01 Кб11Мет_ряды.pdf