математика / Мет_ряды

Т. Н. Алексеева

Ряды

г. Коломна, 2009 г.

§ 1. Числовые ряды. Основные понятия

Определение.Числовым рядом называется выражение вида

a1 a2	a3	... an	... an ,
			n 1

где a1 ,a2 ,a3 ,...,an - члены ряда; an - общий или n-ый член ряда.

Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм

S1 a1;

S2 a1 a2 ;

S3 a1 a2 a3 ;

Sn a1 a2 a3 ... an

при n имеет конечный предел lim	S n S . Этот предел называется
n
суммой сходящегося ряда. Если lim Sn	не существует или бесконечен, то ряд
n
называется расходящимся.

Пример 1.

Написать три первых члена ряда, если n-ый член имеет вид

										a		n					( 1 ) n 1
																				2 n		1
Ответ:
n=1: a				( 1)1 1									( 1) 2
	1																		1;
					2 1		1							1
n=2: a						( 1) 2 1									( 1) 3							1
		2																					;
						2 2		1						3								3
n=3: a	3				( 1)		3 1							( 1)		4					1	;
						2 3	1							5							5

Пример 2.

2

Написать n-ый член ряда по данным первым его членам:

				2			3			4	...
			1 2				1 2 3			1 2 3 4
Ответ:
a	n	( 1) n 1	n 1
			( n 1)!

Пример 3.

Найти сумму ряда

	1		1			1			1			1
n 1										...			...
	n ( n 1 )			1 2		2	3		3 4			n ( n 1 )

Решение :

Представим общий член в виде

a		n										1									1							1				,	тогда частичная сумма S									n	равна:
							n ( n									1 )					n					n				1
S								1								1			1			1					1							1		1			1
		n		1																										...								1			.
								2								2			3			3														n 1			n 1
																											4						n
По определению суммы ряда
S				lim S												lim									1
											n		=								1
																								n
			n													n												1
Дробь						1						является бесконечно малой функцией при n , поэтому
					n 1
lim										1						1 S 1
				1
								n		1
n
Пример 4. Найти сумму ряда
																												n 0
1		1				1									1		...								1				...
2 n						2									4								2 n

Решение :

3

Ряд представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрес-

сию с первым членом b1 1и знаменателем q 12 :

			S			b1			1	2 .
				1		q			1
									1 2
			§ 2. Свойства сходящихся рядов
1. Если ряд a n		a1 a 2 a3 ... a n								... сходится и имеет сум-
	n 1
му S,то ряд a1	a	2	a3 ... an					... an			также сходится и
										n 1
имеет сумму S .
2. Если ряды a n			a1 a 2 a3 ... a n ...								и
	n 1
bn b1 b2	b3	... bn ...				сходятся и их суммы соответственно рав-

n 1

ны S1 и S2 , то и ряд, представляющий собой сумму данных рядов

(a1 b1) (a2 b2 ) (an bn ) ... (an bn )

n 1

также сходится, и его сумма равна S1 S2 .

Определение. Ряд, полученный из исходного отбрасывания конечного числа первых его членов, называется остатком ряда

an 1

an 2

...

an m ... - n-ый остаток ряда, полученный отбра-

сыванием первых n членов.

3. Теорема. Если ряд сходится, то сходится и любой его остаток и, наоборот, если сходится какой-либо остаток ряда, то и сам ряд сходится.

Таким образом, на сходимость ряда не влияет любое конечное число его первых членов.

4

§ 3. Необходимый признак сходимости рядов

Теорема. Если ряд сходится, то предел его общего члена при n равен 0,

т.е.

lim an 0 .

n

Замечание .

1. Обратное утверждение неверно. Если предел общего члена равен 0, то ряд

необязательно сходится. Например, 1 - гармонический ряд, но, несмотря n 1 n

на то, что lim	a	n	= lim	1	=0 , известно, что ряд расходится.
n			n	n
2. Если предел общего члена при n не равен 0, т.е. lim an						0 , то ряд
					n

расходится. Это достаточный признак расходимости ряда.

Пример. Пользуясь необходимым признаком сходимости, доказать расходимость рядов

а)

n

2

; б) n!n .

n 1

n 1

2

4 n 5

n

2

а)

4 n 5

n 1

Решение:

lim

a

=

lim

n2

=

= lim

1

1

n

4n 5

4

5

0

n

n

n

n

n 2

Т.о.,

lim an 0 , поэтому ряд расходится по необходимому признаку.

n

б)

n!

2n

n 1

5

Решение:

lim

a

n

= lim

n!

= lim

1

2

3 ...

n

, т. к. числитель возрас-

2n

2

2

2 ...

2

n

n

n

тает быстрее знаменателя

Т. о., lim an 0 , поэтому ряд расходится по необходимому признаку.

n

6

§4. Ряды с положительными членами

§4.1. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами. Признаки сравнения

1.Теорема. Признак сравнения.

Если даны два ряда	a		(1) и	b		(2) с неотрицательными членами,
	n 1	n		n 1	n

причем члены первого ряда не превосходят члены второго ряда: 0 an bn , то

1.Из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1)

2.Из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2)

Замечание.

Для сравнения часто используются эталонные ряды:

1. n 1 b1 qn 1 , q < 1 – сходится (геометрическая прогрессия)

2. n 1 1n - гармонический, расходится

3. n 1 n1 - обобщенно-гармонический

1	сходится	(будет доказано позже)
	расходится
1

Пример 1.

Используя признак сравнения, исследовать на сходимость следующие ряды:

а)

1

; б)

n 1

; в)

sin n

.

n 1

n (n 5)

n 1 n 3

n 1

n 3

7

а)		1
	n 1	n (n 5)

Решение:

n (n 5) n2 n ;

				1			1	;
		n (n 5)					n
	(1)		1			1			(2)
			n		n (n 5)

Замечание.

Следует обратить внимание на знак неравенства. Он должен быть ≤ (<), как и в признаке сравнения.

Известно, что ряд (1) 1 - гармонический, расходящийся, поэтому из n 1 n

расходимости ряда (1) следует расходимость исходного ряда (2) по признаку сравнения.

б)

n 1

n 1

n 3

Решение:

n 1

>

n

=

n

1

1

;(1)

1

<

n 1

(2)

n 3

n 3

n 3 2

n

1 2

n

n

n 3

Ряд (1)

1

-

обобщенно гармонический с α =

1

< 1 , расходящийся. По

n

2

n 1

признаку сравнения из расходимости ряда (1) следует расходимость исходного ряда (2).

в)			sin n
	n 1		n 3

8

Решение.

	sin		n		1 ;
(1)			sin n				≤	1	(2)
			n 3					n3

Ряд (2) n 1 n13 - обобщенно-гармонический с α =3, сходящийся. По при-

знаку сравнения из сходимости ряда (2) следует сходимость исходного ряда (1)

2.Теорема. Предельный признак сравнения.

Если	a		и	b			- ряды с положительными членами и существует
	n 1	n		n 1		n
конечный предел			lim		an		= k ≠ 0 , то рассматриваемые ряды одновременно
					b
			n
					n

сходятся или расходятся.

Замечание.

	Данный признак удобно использовать, если
	1.	Общий член содержит тригонометрические функции, логарифмы и т.д.
	2.	Общий член имеет вид a		=	Pk	(n)	, где Pk	(n) - многочлен от n степе-
			n		Ql	(n)

ни k, и Ql (n) - многочлен от n степени l; тогда вопрос о сходимости такого ряда

полностью исчерпывается сравнением с рядом 1 , где α = l – k. n 1 n

Пример 2.

Исследовать на сходимость ряды

	а)	2 n 1
		n 2
	n 1

	; б)		( n 1) 3	; в) sin	1 .
			n 5 3n 2 2
		n 1		n 1	n

9

	а)	2 n 1
		n 2
	n 1

Решение:

Здесь в числителе многочлен степени k =1, степень знаменателя l=2, поэто-

му сравниваем данный ряд с рядом

1

=

1 - гармоничный, расхо-

n 1 n 2 1

n 1

n

дящийся

lim

an

= lim

(

2n 1

:

1

) =

lim

2n2

n

n

bn

n

2

n

2

n

n

n

Разделим числитель и знаменатель на n2 :

2

1

lim

n

= 2

= 1 ≠ 0 ≠ ∞.

1

n

1

Следовательно, оба ряда расходятся по предельному признаку сходимости.

	б)		( n 1) 3
			n 5 3n 2 2
		n 1

Решение:

В числителе многочлен степени 3, в знаменателе многочлен степени 5, по-

этому сравниваем с рядом

1

=

1

- обобщенногармонический с α

n 5

n2

n 1

3

n 1

= 2 > 1, сходящийся.

lim

an

(n 1)

3

:

1

lim

n 2 (n 1)3

= lim

)=

=

n

5

3n

2

2

n

2

n

5

3n

2

2

n bn

n

n

Наивысшая степень числителя – 5, наивысшая степень знаменателя – 5, поэтому ответом будет отношение коэффициентов при наивысших степенях числи-

теля и знаменателя, т.е. 11 = 0 ≠ ∞.

Следовательно, оба ряда сходятся по предельному признаку сравнения

10