4. Метод Ньютонадля решения нелинейных уравнений
Построим эффективный алгоритм вычисления корней уравнения. Пусть задано начальное приближение . Вычислим в этой точке значение функциии её производной. Рассмотрим графическую иллюстрацию метода:
.
Далее получим следующее приближение в точке , проводя касательную из точки () до пересечения с осью абсцисс:
Продолжая этот процесс, получим известную формулу Ньютона:
(3.10)
x
Рис. 3.3.Графическая иллюстрация метода Ньютона
Рассмотрим решение нелинейного уравнения методом Ньютона в пакетеExcel. В качестве начального значения взято=3, которое удовлетворяет условию>0. Заданная точность. Дальнейшие вычисления приведем в виде таблицы (таб.3.2.).
Таблица 3.2.Вспомогательная таблица для вычисления корней нелинейного уравненияметодом Ньютона
k |
xk |
f(xk) |
f|(xk) |
(xk+1 - xk)<eps |
0 |
3 |
16,0000000 |
25 |
- |
1 |
2,36 |
3,4242560 |
14,7088 |
нет |
2 |
2,127197 |
0,3710998 |
11,5749 |
нет |
3 |
2,095136 |
0,0065266 |
11,16879 |
нет |
4 |
2,094552 |
0,0000021 |
11,16144 |
нет |
5 |
2,094551 |
0,0000000 |
11,16144 |
да |
В пакете Mathcad для решения уравнения методом Ньютона используется ряд формул:
Корень уравнения равен 2,094551 и достигнут за 17 шагов.
Метод Ньютона (касательных) характеризуется квадратичной скоростью сходимости, т.е. на каждой итерации удваивается число верных знаков. Однако этот метод не всегда приводит к нужному результату. Рассмотрим этот вопрос подробнее.
Преобразуем уравнение (3.1) к эквивалентному уравнению вида:
x=g(x) (3.11)
В случае метода касательных . Если известно начальное приближение к корнюx=x0, то следующее приближение найдем из уравненияx1=g(x0), далееx2=g(x1),... Продолжая этот процесс, получим рекуррентную формулу метода простой итерации
xk+1=g(xk) (3.12)
Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будут выполнены условия (3.5-3.7).
Всегда ли описанный вычислительный процесс приводит к искомому решению? При каких условиях он будет сходящимся? Для ответа на эти вопросы опять обратимся к геометрической иллюстрации метода.
Корень уравнения представляется точкой пересечения функций y=xиy=g(x). Как видно из рис. 3а, если выполняется условие, то процесс сходится, иначе – расходится (рис3.4б).
(a) (б)
Рис. 3.4. Сходимость итерационных методов: а) процесс сходится;
б) процесс расходится.
Изучая самостоятельно условия сходимости, убедитесь, что интервал более предпочтителен, чем, поскольку на нем наблюдается двухсторонняя сходимость к корню.
Итак, для того чтобы итерационный процесс был сходящимся и приводил к искомому результату, требуется выполнение условия:
(3.13)
Переход от уравнения f(x)=0 к уравнению х=g(x) можно осуществлять различными способами. При этом важно, чтобы выбранная функцияg(x) удовлетворяла условию (3.13). К примеру, если функциюf(x) умножить на произвольную константуqи добавим к обеим частям уравнения (3.1) переменную х, тоg(x)=q*f(x)+x. Выберем константуqтакой, чтобы скорость сходимости алгоритма была самой высокой. Если 1<g’(x)<0, то сходимость итерационного процесса будет двусторонней. Производная по х от этой функции:. Наибольшую сходимость получим приg’(x)=0, тогдаи формула (3.12) переходит в формулу Ньютона (3.10).
Метод Ньютона обладает высокой скоростью сходимости, однако он не всегда сходится. Условие сходимости , гдеg(x) =x–f(x)/f’(x), сводится к требованию.
В практических расчетах важно выбирать начальное значение как можно ближе к искомому значению, а в программе устанавливать «предохранитель от зацикливания».
Недостатком метода является и то, что на каждом шаге необходимо вычислять не только функцию, но и ее производную. Это не всегда удобно. Одна из модификаций метода Ньютона - вычисление производной только на первой итерации:
(3.14)
Другой метод модификации – замена производной конечной разностью
(3.15)
тогда
(3.16)
Геометрический смысл такого изменения алгоритма Ньютона состоит в том, что от касательной мы приходим к секущей. Метод секущих уступает методу Ньютона в скорости сходимости, но не требует вычисления производной. Заметим, что этот метод близок к методу хорд (3.9), однако, в отличие от него, начальные приближения в методе секущих могут располагаться как с разных сторон от корня, так и с одной стороны.
Дополнительное задание:основываясь на алгоритме Горнера, составьте программу табуляции и решения алгебраических уравнений.