13. Векторний простір. Базис та розмірність.

Векторным пр-вом над полем Р назыв. непустое мн-во , на котором задана бинарная алгебраическая операция (+) и для каждого и каждого однозначно опред.элем. так, что будет выполнятся аксиомы 1-8:

1. ; 2) 3) Существует элемент такой, что (𝜣- нуль-вектор); 4) (-против. вектор); 5) (); 6) ; 7) 8) .

Элементы множества наз. векторами, а элеме.поля Р-скалярами. Если Р есть множество вещ. чисел, то век.пр-во над R назыв. вещественным век.пр-вом.

Свойста векторных пр-в: 1)

Примеры: 1) обозначим ч/з совокупность всевозможных векторов на пл-ти, т.е направ.отрезков с общим началом в некоторой т.О. Определим сумму 2 любых векторов из обычным образом (по правилу параллелограмма). Определяем далее произведение любого вектора на любое произвольное вещественное число также обычным образом вектор, длина которого |=| , который имеет тоже самое направление, что и х, если и противополож. направл.,. Роль нуль вектора в данном случае будет играть отрезок, начало и конец которого совпад. в т.О. Будут выполняться аксиомы 1-8. Т.о. мн-во относительно естес. операц. над векторами образ. веществен. векторное пр-во. 2) -векторное ариф.пр-во на полем Р. Обознач. через совокуп.всевозможных матриц размера

с элем. из поля Р. Из св-в сложен.матриц и умнож.матриц на скаляры вытекает, что это мн-во матриц образ.век.пр-во над полем Р. Имеем, в частности оказ.,что .3) Обозначим через -мн-во всех многочленов с вещественным коэф., степень котор.меньше, включая нулевой многочлен. Каждый многочлен можно рассм. как функцию из (век.пр-во свех функций опред. на все числов.оси). Сумма 2 мн-нов, степень которых меньше n, будет сново мн-н, степень которого меньше будет сново многочленом степени <n. Если рассм. мн-н, как функцию, то и все аксиомы будут выполн, поэтому образ. веществен.век.пр-во многочленов степени меньше .

Пусть произвольная система век. из век.пр-ва . Система век. наз.линейно зависимой, если найдутся скаляры , среди которых по крайней мере 1 не равен 0 такие, что . Система векторов назыв.линейно независимой, если равенство (1) никогда не выполняется, кроме случая

Свойства: 1) Если система век. содержит 0-вектор, то она л/з. 2) Если некоторая подсистема системы век. л/з, то и вся система л/з. 3) Если система век. л/нз, то любая её подсистема также л/нз.

Теорема: Пусть ,в произвольной системе век. из . Если век. в линейно выражается через векторы , а система векторов -л/нз, то вектор в единственным образом линейно выражается ч/з векторы .

Пусть – век. пр-во над полем Р, упорядоченная система векторов наз. базисом век.пр-ва если выполняется след. условия:1) век. л/нз; 2) любой вектор век.пр-ва линейно выражается через .

Теорема (о числе векторов): Пусть – век. пр-во над полем Р, -базис в , тогда любой базис век.пр-ва будет состоять также из -векторов.(фактически означает, что все базисы в век.пр-ве должны сост. из одного числа векторов).

Век. пр-во над полем Р наз.конечномерным, а целое неотрицательное число него размерностью, если выполн.условия:1)в век.пр-ве найдется л/нз сис.состоящ. из векторов.2)любая сист.вект.из содерж.более чем векторов уже л/з. Обозначается размерность .

Теорема (о связи размерности ):Пусть – век. пр-во над полем Р. Линейно независ. система вект. будет образов.базис вект.пр-ва когда число вект.в этой сист.=размерности этого вект.пр-ва,т.е.когда .

Док-во:=> Пусть вект.л/нз сист.вект.и док-м, что -базис век.пр-ва . Пусть b –произв.вект V , рассм.сист.век. b,по опред. размерн.она будет л/з. По теореме1 о л/з системе (Пусть -л/нз система векторов из и произвольный вектор b . Если система век. b,уже л/з, то вектор b линейно выраж.через вект.) вект. b линейно выраж.через вект.=> вект образуют базис .

<=Пусть -базис вект.пр-ва . Док,что Предположим, что ; по опред. размерности в век.пр-ве найд. л/нз сист.вект.сост.из m-вект., пусть это будут век. - л/нз, по первой части этой теоремы век.теореме о числе векторов в базисе m=n и следовательно .