- •Глава 6. Неопределённый интеграл
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6.5 Интегрирование простейших функций, содержащих квадратный трехчлен.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6.6. Рациональные дроби
- •6.7 Интегрирование простейших рациональных дробей
- •6.8 Интегрирование рациональных дробей
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6.9 Интегрирование некоторых тригонометрических функций.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6.10 Интегрирование некоторых иррациональных функций.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы к задачам главы 6:
Задачи для самостоятельного решения
61.62.. 63.. 64.. 65.. 66.. 67.. 68.. 69.. 70.. 71..
6.6. Рациональные дроби
Функция называется дробно-рациональнойилирациональнойдробью, если она представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой стоят многочлены степениmиnсоответственно, Для такой функции используют обозначение:
. (6.1)
Если , дробь (6.1) называетсяправильной, если же - дробь (6.1)неправильная.
Если дробь (6.1) неправильная, то в этой дроби можно выделить целую часть, т.е. представить её в виде:
, (6.2)
где и- многочлены, причем , а значит дробь- правильная Выделение целой части производится делением числителяна знаменатель“уголком”.
Пример. Выделить целую часть дроби.
Разделим “уголком” числитель на знаменатель
Целая часть
. Итак,. #
Дроби вида , (6.3)
,, называютсяпростейшимиилиэлементарными.
Правильную рациональную дробь можно разложить на сумму простейших дробей указанных четырёх типов (6.3). Это разложение зависит от разложения на множители.
Пусть, (6.4)
где соответствует действительному корнюкратности , а- паре комплексных сопряженных корнейкратности.
В разложении на элементарные дроби сомножителюиз (6.4) будет соответствовать суммаkдробей вида, а сомножителюиз (6.4) – сумма дробей.
О нахождении коэффициентов – в разделе 6.8
Пример.Не определяя коэффициентов, записать разложение правильной дробно-рациональной функциина элементарные дроби.
В разложении знаменателя на множителисоответствует действительному корнюкратности 3,– действительному простому корню,– паре простых комплексных сопряженных корней;– паре комплексных сопряженных корнейкратности 2.
Тогда разложение на элементарные дроби будет выглядеть так:
. #
6.7 Интегрирование простейших рациональных дробей
Рассмотрим интегрирование каждой из простейших дробей (6.3).
Дробь Iтипа..
Дробь IIтипа..
Дробь IIIтипа..
Создадим в числителе дифференциал знаменателя, т.е. выражение .
===
==
==
+.
Дробь IVтипа. Интегрирование этих дробей после выделения в числителе дифференциала квадратного трехчленаи выделения полного квадрата в этом трехчлене сводится в вычислению двух интегралов
1);
2). (Предварительно сделана замена переменной). Этот интеграл вычисляется по рекуррентной формуле:.
6.8 Интегрирование рациональных дробей
-правильная рациональная дробь. Чтобы её проинтегрировать, нужноразложить на сумму элементарных дробей, результат интегрирования которых выражается элементарными функциями (логарифм, степенная, арктангенс).
Если -неправильная рациональная дробь, то деля числитель на знаменатель, выделяем целую часть, которая является многочленом. Таким образом,можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби, об интегрировании которых говорилось выше.
Пример.Найти интеграл.
Под интегралом стоит правильная рациональная дробь. Знаменатель её имеет действительные простые корни . Разложим подынтегральную дробь на элементарные:
. (8.1)
Приведя к целому виду обе части этого тождества, получим
Полагая постепенно, получим систему уравнений
=#
Пример.Найти интеграл.
Под интегралом – правильная рациональная дробь. Разложение на элементарные дроби имеет вид:
, (8.2)
.
Коэффициентыможно найти, приравнивая в этом тождестве коэффициенты при одинаковых степеняхмногочленов, стоящих справа и слева в (8.2)
Решив систему уравнений, получим ,
.#