теплофизика задачник

Теплоемкость воздуха находим по приложению Б (табл. Б.5):

С′ = 1,3289 кДж/(м3 K).

р

Количество тепла на основании формулы (74) равно:

Qp = 0,8 1,3289 (0 − 400) = − 425 кДж.

Количество тепла можно определить не только по объему воз-

духа, но и по его массе. Масса воздуха определяется из характери-

стического уравнения (15):

		P V		5 10	5 0,4
	m =	1 1	=			= 1,035 кг.
		R T1		287 673

Теплоемкость воздуха находим по приложению Б:

Ср = 1,0283 кДж /(кг K ) .

Следовательно,

Qp = 1,035 1,0283 (0 − 400) = − 425 кДж.

Конечный объем определяется из уравнения (72):

V2 = V1 T2 = 0,4 273 = 0,1622 м3 .

T1 673

Изменение внутренней энергии определяем по уравнению (53),

данные по объемной теплоемкости взяты из приложения Б:

U = 0,8 0,9579 (0 − 400) = − 306,5 кДж.

Работа, затраченная на сжатие, по формуле (73)

L = 5 105 (0,1622 − 0,4) = − 118,9 кДж.

32 Определить, какая часть тепла, подводимого к газу в изо-

барном процессе, расходуется на работу и какая — на изменение внутренней энергии.

61

Решение:

Аналитическое выражение первого закона термодинамики (50)

может быть представлено в виде

du + dl = 1. dq dq

Величина

dl = 1 − du dq dq

определяет ту долю от всего подводимого к газу тепла, которая пре-

вращается в работу расширения. Для идеального газа в изобарном процессе du определяется по уравнению (52) , dq – по уравнению (74),

тогда, принимая k = 1,4, получаем:

dl = 1 − 1 = 0,285. dq 1,4

Следовательно, в изобарном процессе только 28,5% тепла,

подводимого к газу, превращается в работу. Все остальное тепло

(71,5%) расходуется на увеличение внутренней энергии.

33 К газообразным продуктам сгорания, находящимся в цилин-

дре двигателя внутреннего сгорания, подводится при постоянном дав-

лении столько тепла, что температура смеси поднимается с 500 до

1900°С. Массовый состав газовой смеси следующий: СО2 = 15%; О2 = 5%; Н2О = 6%; N2 = 74%. Определить количество тепла, подведенное к

1 кг газообразных продуктов сгорания, считая теплоемкость нелиней-

но зависящей от температуры.

Решение:

Количество тепла, участвующее в изобарном процессе, опре-

деляется на основании формулы (74), оно равно разности энтальпий

62

конечного и начального состояний или произведению теплоемкости газовой смеси на разность температур. Следовательно,

n		n
q = ∑(		p 2 i g i ) t 2 − ∑(		p 1 i g i ) t1 .
	С		С
i =1		i=1

На основании табл. Б.3 получаем: Qp=(1,2259·0,15+1,0940·0,05+2,4166·0,06+1,1857·0,74)·1900 –

- (1,0828·0,15+0,9793·0,05+1,9778·0,06+1,0660·0,74)·500=1836 кДж/кг.

34 1 кг воздуха при температуре 30°С и начальном давлении

1бар сжимается изотермически до конечного давления 10 бар. Опре-

делить конечный объем, затрачиваемую работу и количество тепла,

отводимого от газа.

Решение:

Определяем начальный удельный объем воздуха из уравнения состояния (15):

	v 1	=	R T1	=	287 303	= 0,87 м3 / кг.
			Р1		1 10 5

Исходя из зависимости между параметрами в изотермическом процессе (75), определяем конечный объем:

v 2	= v1	Р1	= 0,87	1	= 0,087 м3 / кг.
		Р2
			10

Работа, затрачиваемая на сжатие 1 кг воздуха, по уравнению (76)

l = R T ln	Р1	= 2,303 287 303 lg	1	= − 200 кДж / кг .
	Р2	10

Количество тепла, отводимого от газа в изотермическом про-

цессе, равно работе, затраченной на сжатие.

63

35 Как будут соотноситься между собой значения работы изо-

термического сжатия, вычисленные для равной массы различных га-

зов, при прочих одинаковых условиях?

Решение:

Значения работы изотермического сжатия для 1 кг различных газов при одинаковых условиях выражаются следующими уравнения-

ми (76):

l

= R

T ln

Р2

;

l

= R

T ln

P2

;

l

= R

T ln

P2

и так далее ,

1

2

3

1

Р1

2

P1

3

P1

поэтому

l1 : l 2 : l 3 = R1 : R 2 : R 3 ,

т.е. работа изотермического сжатия пропорциональна газовой посто-

янной.

36 1 кг воздуха при начальной температуре 30°С и давлении

1 бар сжимается адиабатно до конечного давления 10 бар. Опреде-

лить затрачиваемую работу, конечные объем и температуру.

Решение:

Из соотношения параметров в адиабатном процессе по уравне-

нию (78) находим:

						K −1
			Р
				2		K
T	= T				.
2	1		Р
				1

Принимая k = 1,4, получаем:

1,4−1

T

= 303

10 1, 4 = 303 10 0 , 286 = 585 K; t

2

= 312o C.

2

Затраченная работа по уравнению (80)

l =

R

(T

− T )=

287

(303 − 585) = − 202 кДж/ кг.

k − 1

1

2

1.4 − 1

64

Конечный объем определяется из уравнения состояния (16):

v		=	R T2		=	287 585	= 0,168 м3 / кг .
	2
			Р			10 105
				2

37 В двигателе смесь газа и воздуха адиабатно сжимается так,

что к концу сжатия ее температура оказывается на 200°С ниже темпе-

ратуры самовоспламенения газа. В начале сжатия Р1= 0,9 бар и t1 =

=70°С. Показатель адиабаты k = 1,36, R = 314 Дж/(кг·К), температура самовоспламенения равна 650°С. Определить величину работы сжа-

тия и степень сжатия.

Решение:

Из уравнения (78) имеем:

						1						1
	v		Т				К−1			723
		1			2							0.36
ε =			=						=			= 2.108		2.776 = 7,29.
	v 2			Т					343
					1

Работа сжатия по уравнению (80)

l =	R	(T	− T	) =	314	(343 − 723) = − 331,4 кДж / кг.
	k − 1	1	2	0,36

38 Адиабатным сжатием повысили температуру воздуха в дви-

гателе так, что она стала равной температуре воспламенения нефти;

объем при этом уменьшился в 14 раз.

Определить конечную температуру и конечное давление воз-

духа, если начальные параметры Р1 = 1 бар и t1 = 100°С.

Решение:

Конечная температура определяется по формуле (78), отсюда

	v		1	k −1		0 , 4
T2					= 373 14		= 1067 K .
	= T1
	v		2

Конечное давление определяется соответственно (78):

65

							k
				T						1067
							k −1
Р		= Р			2			= 1
	2		1
										373
				T1

1,4

0.4

= 40 бар .

39 В баллоне емкостью 100 л находится воздух при давлении

50 бар и температуре 20°С. Давление окружающей среды 1 бар. Оп-

ределить работу, которая может быть произведена содержащимся в баллоне воздухом при расширении его до давления окружающей сре-

ды по изотерме и по адиабате. Определить также минимальную тем-

пературу, которую будет иметь воздух в баллоне, если открыть вен-

тиль и выпускать воздух из баллона до тех пор, пока давление в нем не станет равным давлению окружающей среды, и при условии, что

теплообмен воздуха с окружающей средой будет отсутствовать.

Решение:

Работа изотермического расширения определяется по уравне-

нию (76):

	Р					5 0.1 lg 50 = 1956 кДж .
L = Р V ln	1	= 2.303 50 10
1 1	Р2
Конечный объем воздуха (75)
		V		= V	Р1	= 0.1 50 = 5 м3 .
			2	1	Р2

Для преодоления атмосферного давления должна быть затра-

чена работа

P2 (V2 -V1)=105 · (5 - 0,1) = 490 кДж.

Таким образом, полезная работа воздуха составит:

1956 – 490 = 1466 кДж.

Работа адиабатного расширения определяется по формуле

66

		Р V			Р			К−1		50		0.1 10 5		1			1, 4−1
			1			2		К					1				1, 4
L	ад =	1 1		−						=				−					= 840 кДж.
		k − 1			Р1							0,4		50

Конечный объем воздуха (78)

			Р				1
							К		1
V		= V			1			= 0,1 50 1.4 = 1,636 м3 .
	2
		1		Р
					2

Для преодоления атмосферного давления должна быть затра-

чена работа

P2 (V2 - V1)=105 · 1,536=153.6 кДж.

Полезная работа воздуха составит:

840 - 153,6 = 686,4 кДж.

Минимальная температура определяется из соотношения па-

раметров адиабатного процесса (78):

					V	K −1
Т		= Т			1		= 98 K;	t		= − 177 o C.
	2		1						2
				V2

40 Из сосуда, содержащего углекислоту при давлении 12 бар и

температуре 20°С, вытекает 2/3 содержимого. Определить конечное давление и температуру, если в процессе истечения не происходит теплообмена со средой (k принять равным 1,28).

Решение:

Если из сосуда вытекает 2/3 содержимого, то удельный объем оставшейся в сосуде углекислоты возрастает втрое. Поэтому

T	v		2		К−1
1	=				= 30, 28 = 1,36.
T2
	v		1

Следовательно,

67

T	=	T1	=	293	= 215,4 K; t		= 57,6 o C.
						2
2		1,36	1,36

Конечное давление

		v		1	K		12
P	= P					=		= 2,94 бар.
2	1						4,081
		v		2

41 Воздушный буфер состоит из цилиндра, плотно закрытого подвижным поршнем. Длина цилиндра 50 см, а диаметр 20 см. Пара-

метры воздуха, находящегося в цилиндре, соответствуют параметрам

окружающей среды: Р1= 1 бар и t1= 20°С.

Определить энергию, которую может принять воздушный буфер при адиабатном сжатии воздуха, если движущийся без трения пор-

шень продвинется на 40 см. Определить также конечное давление и

конечную температуру воздуха.

Решение:

Начальный объем воздуха

V

=

π d 3

l =

3,14 0,22

0,5 = 0,0157 м3 ,

1

4

4

а конечный объем

V

=

1

V = 0,00314 м3 .

2

5

1

На адиабатное сжатие воздуха, находящегося в цилиндре, бу-

дет затрачена работа

Р V

V

k −1

1 10

5 0,0157

(1 − 0,50 , 4 ) = −

L =

1 1

1 −

1

=

3570 Дж.

k − 1

0,4

V2

Затрата работы для преодоления атмосферного давления со-

ставит:

68

Р1 (V2 − V1 ) = 10	5		4
		−		0,9157	= 1256 Дж.
			5

Следовательно, аккумулированная в воздушном буфере энер-

гия составит:

3570 — 1256 = 2314 Дж.

Температура и давление в конце процесса определяются из со-

отношения параметров адиабатного процесса (78):

V

k −1

V

k

1.4

1

1

T2

= T1

= 293 1,91 = 558 K;

Р2

= Р

1

= 1.5

= 9,52 барa.

V2

V2

42 1 кг воздуха при давлении 5 бар и температуре 111°С рас-

ширяется политропно до давления 1 бар. Определить конечное со-

стояние воздуха, изменение внутренней энергии, количество подве-

денного тепла и полученную работу, если показатель политропы ра-

вен 1,2.

Решение:

Определяем начальный объем воздуха:

v		=	R T1		=	287 384	= 0.22 м3 / кг.
	1
			Р			5 105
				1

Конечный объем воздуха находим из уравнения (83):

		Р			1
					n				1
				1							3
									1.2
v 2	= v	1			= 0.22			5		= 0,84 м		/ кг.
			Р2

Конечную температуру проще всего найти из характеристиче-

ского уравнения (16):

		P	v	2		1 10	5 0,84
T	=	2			=			= 293 K.
2		R				287

Величину работы находим из уравнения (84):

69

l =	R	(T	− T )	=		287	(384 − 293) = 130600 Дж / кг.
	n − 1	1	2	0.2
Изменение внутренней энергии
u = Cv (T2 − T1 ) =				287				(293 − 384) = − 65,8 кДж / кг.
					1,4 − 1

Количество тепла, сообщенного воздуху, по уравнению (85)

	q = С		n − k	(t		− t		) = 0.72		1,2 − 1,4	(20 − 111) = 65.8 кДж / кг.
		v	n − 1		2		1			1.2 − 1

Нетрудно видеть, что в этом процессе внешняя работа совер-

шается за счет подведенного тепла и уменьшения внутренней энер-

гии. Исходя из этого можно проверить полученные результаты сле-

дующим образом:

q = u + l; l = q − u = 65,8 − (−65,8) = 131,6 кДж/ кг.

43 1,5 кг воздуха сжимают политропно от Р1=0,9 бар и t1=18°С

до Р2=10 бар; температура при этом повышается до t2=125°С. Опре-

делить показатель политропы, конечный объем, затраченную работу и

количество отведенного тепла.

Решение:

Из соотношения между параметрами политропного процесса

(83) можно получить:

lg

T2

398

n − 1

T1

lg

291

0,13,

=

=

=

P2

10

n

lg

lg

P1

0,9

отсюда

1

n =

= 1,149 .

1 − 0,13

70