теплофизика задачник

β =

P2

P ;

(111)

1

T

− T

1

η t

= 1 −

4

1

= 1

−

.

(112)

k −1

T3

− T2

β k

Цикл газотурбинной установки со сгоранием топлива при V = const (рис. 8) состоит из двух адиабат, одной изохоры и одной изоба-

ры. Основными характеристиками цикла являются: степень повыше-

ния давления в компрессоре β , степень добавочного повышения дав-

ления λ и термический КПД:

β =

P2

; λ =

P3

;

(113)

P1

P2

1

T

− T

k

λk − 1

η t

= 1 − k

4

1

= 1 −

,

(114)

T

− T

ε

k −1

λ − 1

3

2

где к – показатель адиабаты.

P

3

q1

P3	2

P2

		1
	P1	4
		q2

V

Рисунок 8 – PV-диаграмма цикла ГТУ с подводом теплоты при постоянном объеме

101

Процессы, протекающие в идеальном компрессоре, также яв-

ляются циклическими. Работа, расходуемая на сжатие 1 кг газа в од-

ноступенчатом компрессоре, Дж/кг, определяется в зависимости от характера процесса сжатия по формулам:

при изотермном сжатии -

l 0

= p1

v1 ln

P2

= R T ln

P2

;

(115)

P1

P1

при политропном сжатии -

n−1

n−1

n

P

n

P

n

n

2

2

l

=

P v

− 1

=

R T

− 1

;

(116)

n − 1

n − 1

0

1

1 P

1

P

1

1

при адиабатном сжатии -

k −1

k −1

k

P

k

k

P

k

2

1

1

l

=

P v

−

=

P

v

−

1

(117)

0

2

2

− 1

1

1

k − 1

k

P1

P2

или

P

k

k

k −1

l

=

R T

1

−

1 .

(118)

0

k − 1

1

P

2

Работа, затрачиваемая на сжатие 1 м3 газа начального состоя-

ния в одноступенчатом компрессоре, Дж/м3, в случае политропного сжатия определяется по формуле

n−1

n

P

n

2

L

=

P

− 1

(119)

0

n − 1

1

P

.

1

Мощность, расходуемая на сжатие газа в компрессоре, кВт

N =	L	0 V	=	l	0	G
							,	(120)
	3600 1000
				3600 1000

где V – объемная производительность компрессора, м3/ч;

102

G – массовая производительность компрессора, кг/ч.

Теоретическая производительность компрессора, м3/мин,

VT = F S n0 ,

(121)

где F - площадь поршня, м2;

S - ход поршня, м;

n0 - число оборотов вала компрессора в минуту.

Объемный коэффициент полезного действия, учитывающий влияние относительного объема вредного пространства на произво-

дительность компрессора,

				P		n
						1
λ		= 1 − a			2		− 1	(122)
	v		0
					P1		,

где а0 — относительный объем вредного пространства (отношение объема вредного пространства V0 к объему, описываемому поршнем, Vоп);

п — показатель политропы расширения газа вредного пространства.

Для получения газа высокого давления применяются многосту-

пенчатые компрессоры. В этом случае допустимая степень повыше-

ния давления газа в одной ступени

	λ = z	Pz
		P	,	(123)
	1

где z - необходимое число ступеней многоступенчатого компрессора;

Рz - конечное давление газа за компрессором;

Р1 - начальное давление газа перед компрессором.

Конечные давления по ступеням (давления нагнетания) опреде-

ляются следующим образом:

PI = λ P1 ;

103

PII = λ PI = λ2 P ;
1
P z = λ P z−1 = λz P1 .	(133)

Полная работа многоступенчатого компрессора равна сумме работ, затраченных во всех ступенях компрессора.

При промежуточном охлаждении газа после каждой ступени до начальной температуры всасываемого газа (для 3-ступенчатого ком-

прессора - T1=Т2=T5 ) при равенстве допустимой степени повышения давления λ и показателя политропы сжатия п по ступеням (Т2=Т4=Т6) в

каждой ступени будет расходоваться на сжатие газа одинаковая рабо-

та и работа многоступенчатого компрессора будет равна работе одной

ступени, умноженной на число ступеней:

n−1

n

P

n

2

l

= z

P

v

− 1 .

(125)

0

1

n − 1

1

P

1

Количество тепла, отводимого водой рубашки от 1 кг газа при его

политропном сжатии в цилиндре компрессора,
q = Cn	(t 2 − t 1 ) = c v	n − k	(t	2 − t	1 ) .	(126)
		n − 1

Количество тепла, отводимого от 1 кг сжатого газа при его охла-

ждении при Р=const в холодильнике (промежуточном или концевом),

q = Cp (t 2 − t1 ) .

(127)

Примеры решения задач

52 1 кг воздуха совершает цикл Карно (см. рис. 2) в пределах температур t1 = 627°С и t2 = 27oС, причем наивысшее давление со-

ставляет 60 бар, а наинизшее — 1 бар.

104

Определить параметры состояния воздуха в характерных точ-

ках цикла, работу, термический КПД цикла и количество подведенного и отведенного тепла.

Решение:

Точка 1: Р1 = 60 бар; Т1 = 900 К. Удельный объем газа опреде-

ляем из характеристического уравнения (16):

v		=	R T1	=	287 900	= 0,043 м3 / кг .
	1
			P		60 105
		1

Точка 2: Т2 = 900 К. Давление находим из уравнения адиабаты

(процесс 2-3):

k

1, 4

P2

T2

k −1

900

1,4−1

= 46,8 ;

2

3

= 46,8 1 = 46,8 бар .

=

=

P

= 46,8 P

P3

T3

300

Удельный объем находим из уравнения изотермы (процесс 1-2):

P

v

= P

v

;

v

=

P1 v1

=

60 0,043

= 0,055м3 / кг .

1

2

2

1

2

P2

46,8

Точка 3: Р3 = 1 бар; Т3 = 300 К;

v 3 = R T3 = 287 300 = 0,861 м3 / кг . P3 1 105

Точка 4: Т4 = 300 К. Давление воздуха находим из уравнения адиабаты (процесс 4 - 1), удельный объем – из уравнения изотермы

(процесс 3 - 4):

k

P

T

k −1

P

P

v

1 0,861

1

=

1

= 46,8; P

=

1

= 1,284

бар;

3

v 4

=

3

3

=

= 0,671 м

/ кг.

P4

4

46,8

P4

T4

1,284

Термический КПД цикла

η

=

T1 − T2

=

900 − 300

= 0,667.

t

T1

900

Подведенное количество тепла

105

q		= R T ln	v 2	= 287 900 ln	0,055	= 63,6 кДж/ кг .
	1
		1	v1	0,043

Отведенное количество тепла

q		= R T ln	v 3	= 287 300 ln	0,861		= 21,5 кДж/ кг .
	2
		2	v 4	0,671

Работа цикла

l 0 = q1 − q 2 = 69,6 − 21,5 = 42,1 кДж/ кг.

Для проверки можно воспользоваться формулой (102):

η		=	l 0	=	42,1	= 0,662.
	t
			q1	63,6

53 Для идеального цикла поршневого ДВС с подводом тепла при V = const определить параметры в характерных точках, получен-

ную работу, термический КПД, количество подведенного и отведенно-

го тепла, если: Р1=1 бар; t1=20оC, ε = 3,6; λ = 3,33; k = 1,4. Рабочее тело - воздух. Теплоемкость принять постоянной.

Решение:

Расчет ведем для 1 кг воздуха.

Точка 1: P1=1бар; t1=20oС. Удельный объем определяем из

уравнения состояния (15):

v1 = R T1 = 287 293 = 0,84 м3 / кг . P1 1 105

Точка 2: Удельный объем находим исходя из степени сжатия:

v		=	v1	=	0,84	= 0,233 м3 / кг.
	2		ε
				3,6

Температура в конце адиабатного сжатия определяется из соотноше-

ния

106

		v		1	k −1
T	= T					= 293 3,60 ,4 = 489 K;	t		= 216 o C.
								2
2	1
		v		2

Давление в конце адиабатного сжатия определяем по характеристи-

ческому уравнению (15):

Р		=	R T2		=	287	489	= 6,02 бар .
	2						105
			v			0,233
				2

Точка 3: Удельный объем v3=v2=0,233 м3/кг. Из соотношения

параметров в изохорном процессе (линия 2-3) получаем:

P3 = T3 = λ = 3,33.

P2 T2

Следовательно,

P3 = P2 λ = 6,02 3,33 = 20 бар; T3 = T2 λ = 489 3,33 = 1628 K; t 3 = 1355o C.

Точка 4: Удельный объем v4=v1=0,84 м3/кг. Температура в конце адиабатного расширения – уравнение (78):

	v		3	k −1	0,233		0, 4
T4					= 1628			= 976 K .
	= T3
	v		4			0,84

Давление в конце адиабатного расширения определяем из соотноше-

ния параметров в изохорном процессе (линия 4-1):

P4 = P1 T2 = 1 976 = 3,33 бар.

T1 293

Определяем количество подведенного и отведенного тепла:

q1	= Cv (T3 − T2 ) =	287		(1628 − 489)			= 825	кДж / кг;
		1,4 − 1
q 2	= Cv (T4 − T1 ) =	287			(976	− 293)	= 495	кДж / кг;
			1,4 − 1

Термический КПД цикла определяем по формуле (102):

ηt = 825 − 495 = 0,4 825

107

или по формуле (106)

ηt	= 1 −	1	= 1	−	1		= 0,4 .
		εk −1			3,60 ,4
Работа цикла
	l o = q1 − q2			= 330		кДж/ кг.

54 В идеальном одноступенчатом компрессоре массовой про-

изводительностью G=180 кг/ч сжимается воздух до давления 4,9 бар.

Определить теоретически необходимую мощность электродвигателя компрессора, отведенное в рубашку цилиндра компрессора тепло и расход охлаждающей воды, если сжатие происходит политропно

(п=1,3), а охлаждающая вода нагревается на 25°С. Начальное давле-

ние воздуха Р1=0,98 бар и температура t1=0°С.

Решение:

Работа, расходуемая на сжатие 1 кг газа в одноступенчатом компрессоре при политермическом режиме, определяется по фор-

муле (116):

n−1

n

P

n

1,3

287

0 , 231

2

l

=

RT

− 1

=

273 (5

− 1)

= 153 кДж / кг.

0

n − 1

1

P

0,3

1,4 − 1

1

Мощность, расходуемая на сжатие газа в компрессоре, опреде-

ляем по формуле (120)

	l o	G		153000 180
N =			=		= 7,63 кВт .
	3600 1000			3600000

Удельное количество отведенной теплоты определяем по фор-

муле (85)

q = c		n − k	(T	− T ) = 0,17		287		1,3 − 1,4	(396 − 273) = −29,1 кДж / кг.
	v	n − 1	2	1		1,4 − 1		1,3 − 1

108

Температуру в конце политропного сжатия определяем из соот-

ношения (83):

					n−1
		P			n
T	= T		2			= 273 50 , 231 = 396 K .
2	1
		Pс

Определяем полное количество отведенной теплоты:

Q = q G = − 29,1 180 = − 1,46 кДж / с .

3600

Расход охлаждающей воды составляет:

G		=	Q		=	1,46	= 139	10−4 кг / с.
	воды
			C			4,18 25
				t

55 Определить расход воды на охлаждение воздуха в рубашке двухступенчатого компрессора производительностью 10 м3/мин в про-

межуточном и концевом холодильниках, если в холодильниках воздух охлаждается до начальной температуры, а вода нагревается на 15°С.

Воздух перед компрессором имеет давление Р1=0,98 бар и темпера-

туру t1=10°С, сжатие воздуха в компрессоре происходит политропно

(п=1,3) до конечного давления Р2=8,8 бар.

Решение:

Количество тепла, отводимого в рубашке компрессора :

от 1 кг воздуха -

n − k

q = C (t 2 − t1 ) = c v n − 1 (t 2 − t1 ) ;

от G кг воздуха -

Q = q G .

Количество тепла, отводимого в промежуточном и концевом хо-

лодильниках: от 1 кг воздуха -

qхол = Cp (t 2 − t1 ) ;

109

от G кг воздуха -

Qхол = qхол G .

Массовую производительность компрессора определяем из ха-

рактеристического уравнения (15):

G =	P V	=		1	10	4 10		= 12,05 кг / мин .
	R T			287			283
				1,4	− 1

Промежуточное давление – уравнения (123) и (124):

P '	= λ P	=	P2	P	= 2,94 бар .
2	1		1
			P1

Температура в конце сжатия – уравнение (83):

		P2			n−1
					n z		9
2	1					= 283
T	= T						1
		P1

1, 3−1,4

1, 3 2

= 283 9 0,115 = 365 K .

Количество тепла, отводимого в рубашке компрессора,

Q = 12,05	287			1,3	− 1,4	(92 − 15) = − 220 кДж / мин .
	1,4 − 1		1,3		− 1,0

Количество тепла, отводимого в промежуточном и концевом хо-

лодильниках,

Qхол = 12,05 287 1,4 (92 − 15) = 932 кДж / мин.

1,4 − 1

Расход охлаждающей воды

		2 (Q + Q	хол )		2 ( 220 + 932)
G воды	=			=		= 36,7 кг / мин .
		C t			4,19 15

Задачи

181 Определить термический КПД цикла Карно (см. рис. 2),

давление, объем и температуру во всех точках, работу цикла, количе-

110