теплофизика задачник

Q* =	2π λ L (t	′	− t	″ )
		ст		ст	,
	ln	d2				(196)
		d1

где d – диаметр трубы, м; L – длина трубы, м.

Для многослойной цилиндрической стенки уравнение для опре-

деления теплового потока будет иметь следующий вид:

*

2

π L (t

′

− t

ст

″ )

Q

=

cт

.

n

1

di+1

(197)

∑=

ln

λ

i

d

i

i 1

Теплопроводность через плоскую стенку при стационарном ре-

жиме и граничных условиях 3-го рода

Q* =		F (t1 − t 2 )						,	(198)
		1	+	δ	+	1
		α1		λ		α 2

где t1 и t2 – температуры горячего и холодного теплоносителей, К.

Коэффициент теплопередачи k показывает количество тепло-

ты, проходящей через единицу поверхности стенки в единицу времени от горячего к холодному теплоносителю при разности температур ме-

жду ними в 1 градус, Вт/(м2·К):

k =				1				.
				δ
		1	+		+	1
		α1		λ		α2

Уравнение для теплового потока (198) через произвольную пло-

скую стенку называют уравнением теплопередачи -

Q* = F k (t	1	− t	2	) ,	(199)

181

где k – коэффициент теплопередачи произвольной плоской стенки, Вт/(м2·К),

k =

1

.

.

(200)

1

n

δi

1

+ ∑

+

α1 i−1

λi

α2

Теплопроводность через цилиндрическую стенку при стацио-

нарном режиме и граничных условиях 3-го рода

Q* =

π L (t1 − t 2 )

.

(201)

1

1

d 2

1

+

ln

+

α1 d1 2λ d1

α 2 d 2

Коэффициент теплопередачи для цилиндрической стенки или

линейный коэффициент теплопередачи, Вт/(м·К),

k ц =

1

.

d 2

1

+

1

ln

+

1

α1 d1

2λ d1

α 2 d 2

В общем случае для многослойной цилиндрической стенки,

имеющей n слоев,

k ц =

1

.

(202)

n

di+1

1

+ ∑

1

ln

+

1

α1 d1

i=1

2λ i

di

α 2 d 2

Уравнение для теплового потока -

Q* = k

ц

π L (t

1

− t

2

) .

(203)

Величину, обратную линейному коэффициенту теплопередачи,

называют общим тепловым сопротивлением цилиндрической стен-

ки:

1

1

n

1

di +1

1

R ц

=

=

+ ∑

ln

+

.

α

2 λ

α

k

ц

1

d

1

=

i

d

i

2

d

2

i 1

182

Критический диаметр изоляции можно определить из уравне-

ния

dкр = dиз	=	2 λиз	,	(204)
		α2

где λкр - коэффициент теплопроводности изоляции, Вт/(м·К);

α 2 - коэффициент теплоотдачи от наружной поверхности изоля-

ции к окружающей среде, Вт/(м2·К);

dиз - наружный диаметр слоя изоляции, м.

Более точное выражение уравнения теплопередачи (199) име-

ет вид

Q* = F k t	СР	,	(205)

где t СР - средняя разность температур между двумя теплоно-

сителями или средний температурный напор, К.

Средний температурный напор определяется следующим обра-

зом:

t =	t Б −		t М		,	(206)
СР		t
	ln		Б

t М

где t Б и t М - большая и меньшая разности температур на кон-

цах поверхности теплообмена.

Если отношение большей разности температур к меньшей не превышает двух, то с достаточной точностью вместо уравнения (206)

можно применять приближенное уравнение

	t		=	t Б + t М	.
		СР		2

Формулы (206) и (207) применяются при условии, что в тепло-

обменнике значение коэффициента теплопередачи и произведение

183

массового расхода на теплоемкость для каждого теплоносителя мож-

но считать постоянной по всей поверхности теплообмена.

При расчете теплообменного оборудования наряду с уравнени-

ем теплопередачи (205) используется уравнение теплового баланса:

G1 C1 t1 = G2 C2 t 2 ,

(207)

где G1, G2 – массовый расход теплоносителей, кг/с;

С1, С2 – теплоемкость теплоносителей, Дж/(кг·К);

t 1 и t 2 - перепад температуры теплоносителей, К.

Расчет процесса теплопроводности при нестационарном режи-

ме мы не рассматриваем. Методики расчета приведены в специаль-

ной литературе [2, 3].

Примеры решения задач

81 Определить толщину тепловой изоляции, выполненной из шлаковой ваты. Удельные потери теплоты через изоляционный слой составляют 523 Вт/м2, температуры его поверхностей 700 и 40оС. Ко-

эффициент теплопроводности шлаковой ваты

λ = 0,058 + 0,000145 t .

Решение:

Определим средний коэффициент теплопроводности шлаковой

ваты:

λ СР	= 0,058 + 0,000145	700 + 40	= 0,1102 Вт ( м К) .
	2

Из уравнения (194) определяем толщину слоя изоляции

δ =	λ	СР	t	=	0,1102 (700 − 40)	= 0,139 м .
		q			523

184

82 Определить тепловой поток, проходящий через единицу длины стенки камеры сгорания диаметром 180 мм, если толщина стенки 2,5 мм, коэффициент теплопроводности материала стенки

34,9 Вт/(м·К). Температуры на поверхностях стенки поддерживаются постоянными и равными соответственно 1200 и 600оС.

Решение:

Из условия задачи следует, что протекает процесс теплопро-

водности через цилиндрическую стенку, поэтому используем уравне-

ние (196)

q		=	2 3,14 34,9 1 (1200 − 600)			= 4,815 10 6	Вт/ м.
	l
				0,18 + 2 0,0025
			ln
				0,18

83 Определить температуры на поверхностях соприкосновения слоев стенки камеры сгорания и на внешней поверхности, если диа-

метр камеры 190 мм, толщина защитного покрытия 1 мм и его коэф-

фициент теплопроводности 1,15 Вт/(м·К), а толщина основной стенки

2 мм и ее коэффициент теплопроводности 372 Вт/(м·К). Тепловой по-

ток, приходящийся на единицу длины, составляет 40750 Вт/м, темпе-

ратура на поверхности покрытия со стороны камеры 1200оС.

Решение:

Запишем уравнение для теплового потока через каждый слой двухслойной цилиндрической стенки (197):

Q* =

2

π L λ

П

(t ′

− t

СЛ

)

; Q* =

2 π

L λ

СТ

(t

СЛ

− t ′′

)

СТ

СТ

.

ln

d

+ 2 δП

ln

d + 2 δП + 2

δСТ

d

d + 2 δП

Выразим из полученных уравнений температуры на поверхно-

сти соприкосновения слоев стенки камеры сгорания и на внешней по-

верхности

185

t

= t′

−

ql

ln

d + 2 δП

= 1200 −

40750

ln

0,19 + 2 0,001

= 609o C .

СЛ

СТ

2

π λ П

d

2 3,14 1,15

0,19

t ′′

= t

−

q l

ln

d + 2 δП + 2 δСТ

=

СЛ

СТ

2

π λ СТ

d + 2 δ П

= 609 −

40750

ln

0,192 + 2 0,002

= 608,6 o C .

2 3,14 372

0,192

84 По неизолированному трубопроводу диаметром 170/185 мм,

проложенному на открытом воздухе, протекает вода со средней тем-

пературой 95оС, температура окружающего воздуха – 18оС. Опреде-

лить потери теплоты с 1 м трубопровода и температуры внутренней и внешней поверхностей этого трубопровода, если коэффициент тепло-

проводности материала трубы равен 58,15 Вт/(м·К), коэффициент те-

плоотдачи воды стенке трубы - 1395 Вт/(м2·К) и трубы окружающему воздуху - 14 Вт/(м2·К).

Решение:

Тепловой поток рассчитаем по уравнению (201)

Q* =			3,14 1 [95			− (−18)]					= 907 Вт .
		1		+	1	ln	185	+	1
		1395			2 58,15				14 0,185
			0,17			170

Температуры внутренней и внешней поверхностей трубопрово-

да определим из уравнений для теплового потока для каждой стадии

теплопередачи:

t ′	= t		−	Q*		1		= 95 −	907	1			= 93,8 o C ,
		1
СТ				π L α1			d1		3,14 1 1395			0,17

t′′

= t

+

Q*

1

= − 18 −

907

1

= 93,5o C .

2

СТ

π L α2

d 2

3,14 1 14 0,185

186

85 Алюминиевый провод диаметром 3 мм покрыт резиновой изоляцией толщиной 1,2 мм. Определить допустимую силу тока для этого провода при условии, что температура на внешней стороне изо-

ляции 45оС, а максимальная температура на внутренней стороне изо-

ляции не должна превышать 65оС. Коэффициент теплопроводности резины 0,175 Вт/(м·К); электрическое сопротивление алюминиевого провода составляет 0,00397 Ом/м.

Решение:

По формуле (197) определяем тепловой поток, проходящий че-

рез 1 м изоляции:

q l	=		2 3,14 (65 −					45)			= 37,3 Вт/ м.
		1				ln	3 + 2 1,2
		0,175			3
Из формулы Q=I2 R находим допустимую силу тока:
		I =			37,3				= 96,95 A.
					0,00397

86 Для уменьшения тепловых потерь в окружающую среду не-

обходимо изолировать паропровод диаметром 44/50 мм. Целесооб-

разно ли применять в качестве изоляции асбест, имеющий коэффи-

циент теплопроводности 0,14 Вт/(м·К), если коэффициент теплоотда-

чи с внешней стороны изоляции в окружающую среду составляет

11,63 Вт/(м2·К)?

Решение:

По формуле (204) определим критический диаметр изоляции

d КР = 2 0,14 = 0,024 м.

11,63

Условие целесообразности применения изоляции при заданном диаметре трубы и заданном коэффициенте теплоотдачи

187

A КР = dКР ≤ 1

d 2

в нашем случае выполняется, т.к. Акр=0,48<1.

87 Выяснить ошибку в определении поверхности нагрева газо-

водяного противоточного подогревателя от применения средней арифметической разности температур вместо более точной средней логарифмической. Газы в подогревателе охлаждаются от 500 до

200°С, вода нагревается от 20 до 80°С.

Решить ту же задачу для прямоточного подогревателя при тех же значениях температур газов и воды.

Решение:

Для противоточного подогревателя

ГАЗЫ

500°C → 200°C;

ВОДА

80°C ← 20°C.

Определим разности температур на концах поверхности тепло-

обмена:

t	Б	= 420о С;	t	М	= 180О С.

Тогда среднеарифметический температурный напор

t СР = 420 + 180 = 300 о С. 2

Среднелогарифмический температурный напор (206):

t ′ = 420 − 180 = 283°C.

	СР	420
	ln
		180

При расчете по приближенной формуле поверхность подогре-

вателя будет занижена на

188

	F			t	′			283
1 −			= 1 −		CР	= 1	−		= 0,056 ;
	F′
				t СР				300

т. е. на 5,6%.

Для прямоточного подогревателя

ГАЗЫ

500°C → 200°C;

ВОДА

20°C → 80°C.

Определим разности температур на концах поверхности тепло-

обмена:

t	Б	= 480о С;	t	М	= 120О С.

Тогда среднеарифметический температурный напор:

t СР = 480 + 120 = 300 о С. 2

Среднелогарифмический температурный напор (206):

t ′ = 480 − 120 = 260°C.

	СР	480
	ln
		120

При расчете по приближенной формуле поверхность подогре-

вателя будет занижена на

	F		t	′			260
1 −		= 1 −		CР	= 1	−		= 0,133 ;
	F′
			t СР				300

т. е. на 13,3%.

Задачи

289 Определить количество тепла, теряемое трубой за час, ес-

ли внутри трубы протекает газ, а снаружи труба омывается воздухом.

Средняя температура газа 800°С, воздуха - 15°С. Коэффициент теп-

лоотдачи от газа к стенке трубы 35 Вт/(м2·К), от стенки к воздуху -

189

5,8 Вт/(м2·К). Каковы температуры внутренней и наружной поверхно-

сти трубы, а также слоя, расположенного в 40 мм от оси трубы? Влия-

нием торцов трубы пренебречь. Труба стальная с коэффициентом те-

плопроводности 46,5 Вт/(м·К).

Ответ: Q =2860 Вт;

температуры: 591°С, 590°С, 585°С. 290 Определить часовую потерю тепла паропроводом длиной

50 м. Паропровод покрыт слоем изоляции толщиной 80 мм. По паро-

проводу протекает насыщенный пар, давление которого 30 ат. Внут-

ренний диаметр паропровода 100 мм, наружный 108 мм. Температура окружающего воздуха 35°С. Коэффициент теплоотдачи от пара к стенке 465 Вт/(м2·К), от слоя изоляции к воздуху - 5,8 Вт/(м2·К). Коэф-

фициент теплопроводности стали 52 Вт/(м·К), изоляции-0,058 Вт/(м·К).

Определить также температуру наружного слоя изоляции. Лучеиспус-

канием трубопровода пренебречь.

Ответ: Q = 3680 Вт; t = 50°С.

291 Стальная труба диаметром 100/110 мм покрыта слоем ас-

фальтовой изоляции. Найти критическую толщину слоя асфальта и соответствующую максимальную отдачу тепла с 3 погонных метров трубы, если по трубе протекает вода, температура 80оС, коэффициент теплоотдачи 2093 Вт/(м2·К), снаружи труба омывается воздухом, тем-

пература 15оС, коэффициент теплоотдачи от поверхности трубы к воздуху 10,5 Вт/(м2·К). Коэффициент теплопроводности стали

46,5 Вт/(м·К), асфальта - 0,66 Вт/(м·К).

Ответ: dкр=0,1265 м; qmax=710 Вт.

292 Гладкая стальная труба воздухоподогревателя с внутрен-

ней стороны омывается дымовыми газами со средней температурой

190