13
b
m (b a) f (x) dx M (b a) .	(2.4)

a

Доказательство. Докажем первое свойство. Остальные доказываются аналогично.

a		n		n
f (x) dx lim		f ( i ) xi	lim 0 xi		0
b	0	i 1	0	i 1
5. Теорема о среднем значении.				Пусть функция интегрируема на отрезке		и
m f (x) M		x [a, b]. Тогда
			b
			f (x) dx (b a) ,			(2.5)

a

где m M .

Доказательство.

1 b

m b a a f (x) dx

называется средним значением функции			на отрезке	.
По свойству 4 выполняются неравенства			(2.4). Следовательно,
	1	b
M . Обозначив		f (x) dx , получим (2.5)
	b a
		a

Следствие. Если функция непрерывна на отрезке				, то существует хотя бы одна
			b
точка [a,b] :			f (x) dx f ( ) (b a) .
			a
Пример. Найти среднее значение функции				на отрезке	.
►			◄

2.3.Определенный интеграл как функция верхнего предела

Если функция f (x) интегрируема на промежутке						, то она интегрируема и на
любом промежутке [a, x] , где a x b . Интеграл						является функцией, завися-
щей от	. Обозначим
				x
		(x) f (t) dt .
				a
Теорема 1 (о непрерывности интеграла с переменным верхним пределом). Если
функция	интегрируема на отрезке			, то функция (x) будет непрерывной функ-
цией на этом отрезке.
Доказательство. Придадим			точке	x0 [a, b]		приращение x так, чтобы
				x0	x	x0	x0	x
x0 x [a, b]. Тогда (x0 ) (x0			x) (x0 )		f	(t) dt	f (t) dt	f (t) dt .
					a	a		x0
По лемме об интегрируемой функции из п. 2.1 функция							ограничена на отрезке
:		. По теореме о среднем значении из п. 2.2.2 существует
	x0	x
такое ,	что	f (t) dt x . Следовательно, lim (x0 ) lim x 0
		x0		x 0		x 0

						14
Теорема 2 (Барроу). Если функция				непрерывна, то		:
				.		(2.6)
Следствие. Если функция		непрерывна на отрезке			, то для нее всегда сущест-
вует первообразная.
Теорема (формула Ньютона-Лейбница). Если функция						непрерывна на отрезке
, то верна формула:
		b
		f (t) dt F (b) F (a) .				(2.7)
		a
Доказательство. Пусть функция				непрерывна на отрезке		. Тогда по теореме
Барроу функция	является первообразной для функции					. Пусть F(x) - также
первообразная для	функции	.	Тогда по теореме о		первообразной из п. 1.1
				x
(x) F(x) C . Следовательно,			(x) f (t) dt F (x) C .			При

a
x
C F(a) . Тогда f (t) dt F (x) F (a) . При	x b получаем
a
формулу (2.7)

Формулу (2.7) называют также основной формулой интегрального исчисления. Разность в правой части формулы обозначают таким образом: F (x) ba .

a

f (x) dx F (b) F (a) F (x) ba .

b

3

dx

1

3

1

ln 9 ln 5 ln

Пример.

ln

2 x 3

9 / 5

◄

2 x 3

1

2

1

2

Замечание.

Формулу Ньютона-Лейбница можно применять при вычислении инте-

грала

только тогда,

когда подынтегральная функция непрерывна на отрезке

. Нельзя применить формулу Ньютона-Лейбница, например, при вычислении инте-

3

dx

1

грала

,

т.к. подынтегральная функция

терпит разрыв в точке

2 x 3

2 x 3

3

.

2.4.

Замена переменной в определенном интеграле

СР

Определение. Функция,

имеющая непрерывную производную, называется непре-

рывно-дифференцируемой.

Теорема.

Пусть функция

непрерывна на отрезке

, функция x (t) не-

прерывно дифференцируема на отрезке [ , ] . Причем, ( ) a, ( ) b . Пусть, кроме

того, функция (t) отображает отрезок [ , ] на отрезок

. Тогда верна формула