Математика-1 курс / С.А. Парыгина и др Математика -Часть 3

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Задание 4. Найдите производную функции.

4.1.

4.2.

3x4 2x 7

1)

y

(8x 1)

2 x3

;

1)

y

;

4x5

2x 5

2)

y (x2 )cos x ;

2)

y (5x) ln x ;

3)

y ctg

2

1 tg2 4x ;

3)

y arctg3

1

cos

5x

;

7

2

4x

x t tg t,

4 sin 9x

x 1 sint,

sin

4)

(Найдите y'(x) и

4)

(Найдите y'(x) и y''(x))

y 1 ctg t.

y t tgt.

y''(x))

4.3.

4.4.

1)

y 2x7 14x3 5x 1 ;

1)

y (4x 5)

5x2 1 ;

3x 1

3x2

2)

y (sin x)ln x ;

cos2 10x

2)

y (cos x) ln x;

3)

y arccos 4

1

;

3)

y arcsin 2

1

tg3x

;

11

sin 3x

5

cos2 4x

4)

x tg t,

(Найдите y'(x) и

4)

x 1 ctg t,

(Найдите y'(x) и y''(x))

y 1 sin t.

y cost.

y''(x))

4.5.

4.6.

1)

(5x 4)

4 x4

;

1)

y 12x3 5x7 4x2 1;

2x7

3x 2

2)

y (tg x)ln x ;

2)

y (ctgx)ln x ;

3)

y sin

1

1

tg2 4x

;

3)

y cos

1

ctg2 7x

;

15

3

cos7x

14

2

cos5x

4)

x 2 sin t,

(Найдите y'(x) и

4)

x 5t sin t,

(Найдите y'(x) и

y 3 cost.

y 2 cost.

y''(x))

y''(x))

4.7.

4.8.

1)

y (2x 3) 5 x3

;

1)

y 12x5 3x4 2x3 5

;

3x2

4x 1

2)

y (x) x ;

2)

y ( 3 x2 )x ;

cos 2x

3)

y ctg

1 sin3 4x

;

3)

y tg

1

;

7

3

8

2

cos 2x

2

sin 5x

21

4)

x t2

t,

(Найдите y'(x) и y''(x))

4)

x t

3

t,

(Найдите y'(x) и y''(x))

y

sin t.

y

cost.

4.9.

10x7

2x5 4x 1

4.10.

2x 1 (x2 3)

1)

y

;

1)

y

;

x 15

3x4

2)

y (2x)3 x

;

2)

y ( 3 x )x ;

tg4x

tg2 3x

y cos 3

1

3)

y sin

1

2

;

3)

;

sin2 5x

5

7

8

3

cos4x

4)

x cost 2,

(Найдите y'(x) и

x tgt 1,

4)

(Найдите y'(x) и

y t

2

.

y t3

4t.

y''(x))

y''(x))

4.11.

2x2

x 1

4.12.

2 3x3 4x2 x 2

1) y

;

1)

y

;

3 2 4x

15 1 x

2)

y xtg x ;

1

sin2 3x

2)

y tg x x ;

y sin

1

cos

2

4x

3)

3

3

cos 6x

;

3)

y ctg

3 5

;

x t sin t,

8

sin 8x

4)

(Найдите y'(x) и y''(x)

4)

x cos3 t,

(Найдите y'(x) и y''(x))

y

1 cost.

3

t.

y sin

4.13.

2x2 1

4.14.

1 x8

1)

y

1 x2

;

1)

y

1 x8

;

12x12

y xctg x ;

3x3

2)

cos2 3x ;

2)

y ctg x x

;

3)

y cos ln 2 1

3)

y

cos sin 5 sin2 2x

;

x 2cost,

3

sin 6x

2cos 4x

4)

(Найдите y'(x) и y''(x))

4)

3

(Найдите y'(x) и y''(x))

y

sin t.

x

4cos3 t,

y 4sin

t.

4.15.

x4 8x2

4.16.

x2

1)

y

;

1)

y

;

2 x2 4

2 1 3x4

2)

y xarctg x ;

2)

y arctg x x ;

y tg ln

1

1

sin2 4x

3)

y

sin cos 3 cos2 2x

;

3)

3

4

cos 8x ;

4sin 4x

3

x 2cost,

4)

x 2cos3 t,

(Найдите y'(x) и y''(x))

4)

y

3sin t.

(Найдите y'(x) и y''(x))

y 2sin

t.

22

4.17.

4.18.

x2 2

x2 6

4 x2 3

y

4 x2

1)

y

;

1)

;

120x

5

24x3

sin x

2)

y xarcsin x ;

2) y x

;

y ln sin 1

1

cos2 12x ;

3) y

cos ln 7 sin2 7x

;

3)

7cos14x

2

24

sin 24x

x 3

t sin t ,

4)

x 5cost,

(Найдите y'(x) и y''(x))

4)

(Найдите y'(x) и

y

3sin t.

y 3 1 cost .

y''(x))

4.19.

x2 8

x2 8

4.20.

1 x2

1)

y

;

1)

y

;

6x3

2

1 2x

2

2)

y arcsin x x ;

2)

y arctg x x

;

sin2 5x

1

cos2 8x

y 8sin ctg 3

1

3)

y cos ctg2

sin16x ;

3)

5

cos10x ;

16

x 3cost,

(Найдите y'(x) и y''(x))

4)

x 5 cost,

(Найдите y'(x) и y''(x))

4) y

4sin t.

y sin t.

4.21.

4.22.

x 1 3x 2

1)

y

;

y xarcctg x

2)

;

4x2

3) y ctg cos 2

1

cos2 6x

2)

y arcctg x x ;

6 sin12x

;

3)

y

cos ctg 3 cos2 14x

;

x 3cost,

28sin 28x

4) y

sin t.

(Найдите y'(x) и y''(x))

4)

x 4cost,

(Найдите y'(x) и y''(x))

y sin t.

4.23.

4.24.

3

2

1 x

2

3

1)

y

3 1 x4

;

1)

y

;

3

3x

2) y cos x

x2

;

2)

y sin x x3

;

1

3) y 3

ctg2

1

cos

2

10x

;

cos tg

sin

2

15x

y

3

20

sin 20x

3)

;

15cos30x

x t cost,

(Найдите y'(x) и

x sin3 t,

4) y

1 sin t.

4)

(Найдите y'(x) и y''(x))

3

y''(x))

y cos

t.

23

4.25.

x6 x3 2

4.26.

x6 8x3

1)

y

;

1)

y

128

;

1 x3

8 x3

2)

y tg x x5

;

2)

y ctg x x4

;

1

1

1

sin2 10x

1

cos

2

16x

3)

y

3 cos tg

cos 20x

;

sin tg 7

2

10

y

4)

x 2sin

3

t,

(Найдите y'(x) и

3)

32sin32x

;

x 4cost,

3

t.

4)

y 5cos

y

2sin t. (Найдите y'(x) и y''(x))

y''(x))

4.27.

2x 3 x 2

4.28.

2x2 3

1)

y

;

1)

y

x2 3

x2

3

;

9x

2) y arcsin x x3 ;

2)

y arccos x x2 ;

1

2

15x

tg ln 2 sin

2

19x

y

ctgsin 3 sin

3)

y

;

3)

;

19cos38x

17cos34x

4)

x 2cost, (Найдите y'(x) и y''(x))

4)

x 2

t sin t

,

(Найдите y'(x) и

y sin t.

y 5

1 cost .

y''(x))

4.29.

4.30.

x 1

1)

y 1 x2 5 x3 1x ;

1)

y

;

x2 5

x2 5

2) y arctg x x5 ;

2)

y arcctg x

x7

;

5

ctg 2 cos2 18x

3)

y

;

3)

y ctg cos 5

1

cos2 20x

;

36sin 36x

sin 40x

40

4)

x 2sin t,

(Найдите y'(x) и y''(x))

4)

x 3sin t,

y cost.

y

2 cost. (Найдите y'(x) и y''(x))

Образец выполнения задания 4

Найдите производную функции.

1) y 5(4x7 2x3 4x 8) ; 3 2 x

2) y = x 2 x;

24

3)	y tg5	1		cos2	4x	;
		4		sin 7x
							x cos3 t,
4)	Найдите		y x ,			y x , если
								3	t.
							y sin

Р е ш е н и е .

		1) y						5(4x7 2x3 4x																8)
																3				2 x
																							5		4x7 2x3 4x 8
																					y
																							3					2 x
		5		(4x					7			2x					3		4x 8)						2	x (4x			7	2x	3		4x 8)
																																					( 2 x)
		3																								(	2 x)2
								6								2											7		3							1
	5		(28x											6x				4)				2 x				(4x		2x		4x		8)						(2 x)
																																		2 2			x
	3
																										2 x
						5						(28x6 6x2										4) 2				x (4x7				2x3 4x 8) ( 1)
																														2			2 x
						3																				2 x
				5			(28x6 6x2 4)																		2 x 2			2 x (4x7 2x3								4x 8)
																										2		2 x
				3
																										2 x
										5					2 (2 x)							(28x6 6x2						4) 4x7 2x3 4x									8
										3															2	2 x (2 x)
					5				2[56x6 12x2														8 28x7				6x3 4x 2x7 x3									x 4]
					3																				2	2 x (2 x)
																			5		26x7				56x6 5x3 12x2 3x 4										.
																			3							2 x (2 x)

25

2) y = x 2 x.

Если основание и показатель степени зависят от x, то для нахождения производной такой функции логарифмируем левую и правую части равенства y = f (x), применяем свойства логарифма и находим производную обеих частей.

Прологарифмируем обе части равенства: ln y = ln (x 2 x),

ln y = 2 x ln x,

																		ln y 2 x ln x ,
																	1							1
																			y 2ln x 2 x x								,
																		y
																				y	2ln x 2,
																				y
																		y 2ln x 2 x2 x .
3) y tg 5							1		cos2 4x
							4			sin 7x
													1		cos2 4x									1			cos2 4x
	y
							tg5															(tg5)
													4			sin 7x								4			sin 7x
				0					1		(cos					2							2
																	4x) sin 7x cos							4x (sin 7x)
									4													(sin 7x)2
			1																			sin 7x cos			2		4x 7 cos 7x
						2 cos 4x (cos 4x)
			4																		sin2 7x
	1					2cos 4x ( sin 4x) 4 sin 7x 7 cos2 4x cos 7x
	4																				sin2 7x
						1 8cos 4x sin 4x sin 7x 7 cos2																					4x cos 7x
						4															sin2 7x
										1			4sin 8x sin 7x 7 cos2											4x cos 7x				.
										4												sin2 7x

26

x t ,y ψ t ,

4) Если функция задана параметрически: то ее про-

изводные первого и второго порядка вычисляются по формулам:

t

y

x

t

y

t x t

t y

x x t

;

y

x

.

y

x

t

3

Сначала найдем x t ,

y t ,

x t ,

y t :

x t 3cos2 t sin t

x t 6cost sin2 t 3cos3 t ;

y t 3sin2 t cost

y t 6sin t cos2 t 3sin3 t .

Тогда

3sin2 t cost

sin t

x 3cos2 t sin t cost tgt ;

y

y x

6sin t cos2 t 3sin3 t 3cos2 t sin t 6cost sin2 t 3cos3 t 3sin

2 t cost

=

3cos2 t sin t 3

=

3sin t 2cos2 t sin2 t 3cos2 t sin t 3cost 2sin2 t cos2 t 3sin2 t cost

=

27cos6 t sin3 t

=

9sin2 t

cos2 t sin2 t 2cos2 t 2sin2 t cos2 t

=

sin

2 t cos2 t

=

27cos6 t sin3 t

3cos4 t sint

=

sin2 t cos2 t

=

1

.

3cos4 t sint

3cos4 t sin t

27

Задание 5. Напишите уравнения касательной и нормали к кривой в точке с абсциссой хо.

5.1.	y				8 x2 , x										2					5.2. y		4x,						x0				1
													0
5.3. y 2x 1,												x 1								5.4. y		1				,				x			1
						x							0				2				7x 1									0						7
5.5. y			x2			4x 5								,		x0 1				5.6. y 12 x2 ,															x		3
								x2
																																				0
5.7. y ln(x 1),													x			0				5.8. y 1 sin 2x,												x
														0							2												0				2
5.9. y 2e						x		,	x0 0											5.10. y x2			8							x 30, x									4
						2
																																					0
5.11.	y			1 5x2									x				1			5.12. y		4x				2				,			x0 1
												,
								x						0												x
5.13. y						x 33 x,											x 64			5.14. y			1							,		x					2
																		0				3x 2											0
5.15.	y				x3			2			,		x0		2					5.16. y x						x3 , x										1
					x3				2
																																		0
5.17.	y							x			,		x0 2							5.18. y		1 3x2								,		x					1
					x2				1													3 x2
																																	0
5.19. y 3						x2			20, x0									8		5.20. y x2			8							x 32, x0								4
5.21. y					x2			1			,		x	1						5.22. y 3(3				x 2										x), x				1
					x3			1					0																								0
5.23. y ln(x 1),														x0				2		5.24. y		12x,											x			3
																																	0
5.25. y 1 (3x 2x3 ), x																			1	5.26. y e3x 1, x												1
				3														0												0
5.27. y						5 x,							x		1					5.28. y		x2						, x						2
																						x3 1
													0																			0
5.29. y 84								x 70, x										16		5.30. y 2cos										x	,			x		.
																0
																														2					0
.

28

Образец выполнения задания 5

Напишите уравнения касательной и нормали к кривой

	y	x2 2x	в точке с абсциссой х0 = 1.
		x2

Р е ш е н и е .

Уравнение касательной к кривой имеет вид: y – y0 = y'(x0) (x – x0). Уравнение нормали к кривой имеет вид:

у у0 у 1х0 х х0 .

Для нахождения уравнений касательной и нормали найдем производную функции, а так же значение функции и значение ее производной в точке х0:

y '	x2					2x '				(2x 2)x2		(x2	2x)2x		2x2		2	,
				x2								x4			x4		x2
y(x	) y(1)							12	2 1		1,
0										12
				2
y '(1)					2.
				2
			1

Подставим значения функции и ее производной в уравнения касательной и нормали к кривой.

Уравнение касательной:

y – (-1) = 2(x – 1), y + 1 = 2x – 2, y = 2x – 3.

Уравнение нормали:

y ( 1)	1	( x 1),	y 1	1 x	1	,	y	1 x	1 .
	2			2	2			2	2

О т в е т : Уравнение касательной: у = 2х – 3. Уравнение норма-

ли: y 12 x 12 .

29

Задание 6. Найдите предел, используя правило Лопиталя.

6.1. lim

ln x

6.2. lim

x 4x2

3 x

x

x x3 2x

6.3. lim

8x3 x 4

6.4. lim

x 3

3x x

x

3 2x2

x 3

6.5.

lim

1

5

6.6. lim

x2 9 3

2

x

2 x 6

x 2

x

x 0

x

2

25 5

lim

1 3x 1

6.8. lim

1 3 x

3

5

6.7. x 0

x x

x 1 1

x

6.9.

lim xe x

6.10. lim

2x

x

x x 1

6.11.

lim

x2 1

6.12. lim

1

x 3

x3 2x2 2x 1

2 x

x 1

x 4

6.13. lim

3x 15

6.14.

lim

e

x

2x 6 4

x 5

x x3

6.15.

lim

ln x

6.16. lim

ex

2x 3

x

x x2

6.17.

lim

3x 14x2

6.18.

lim

ln x

7x3 2x 1

x2

x

x

6.19.

lim

2x 5

6.20.

lim e3x 4

x

ln x

x x 3

6.21. lim

ex 5

6.22. lim

5x 2 x3

x2

3x2 1

x

x

6.23. lim

ln x

6.24. lim

2

5 x

x

3 x

x 1

3 8 x

6.25.

lim

x sin x

6.26. lim

x2 1

x3

x 0

x x3 1

30