Математика-1 курс / С.А. Парыгина и др Математика -Часть 3
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«ЧЕРЕПОВЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Факультет общих математических и естественнонаучных дисциплин
Кафедра математики
МАТЕМАТИКА
Часть 3
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Учебно-методическое пособие
Череповец
2012
Рассмотрено на заседании кафедры математики, протокол № 10 от 22.05.12 г. Одобрено редакционно-издательской комиссией Факультета общих математи-
ческих и естественнонаучных дисциплин ЧГУ, протокол № 3 от 29.05.12 г.
Составители: Т.В. Гордобаева, Г.А. Киселева, С.А. Парыгина, Н.В. Плотникова, И.А. Сенатова
Рецензенты: О.А. Кашинцева, канд. техн. наук, доцент (ЧГУ); В.А. Окунева, канд. физ.-мат. наук, доцент (ЧГУ)
Научный редактор: А.В. Толстиков, канд. физ.-мат. наук, проф.
© Коллектив авторов, 2012 © ФГБОУ ВПО «Череповецкий госу-
дарственный университет», 2012
2
Введение
Настоящее учебно-методическое пособие подготовлено для студентов первого курса различных направлений подготовки бакалавриата и специалитета. Пособие состоит из трех частей, охватывающих такие разделы дисциплины «Математика», как «Введение в дискретную математику», «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» и «Введение в математический анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной».
Учебно-методическое пособие предназначено для организации самостоятельной работы студентов по указанным разделам дисциплины «Математика» и рекомендуется для использования в рейтинговой оценке успеваемости студентов.
Пособие «Введение в математический анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной» состоит из трех тем: «Введение в математический анализ», «Дифференциальное исчисление функций одной переменной» и «Интегральное исчисление функций одной переменной». По каждой из этих тем студентам предлагается ряд заданий для самостоятельной работы, для каждого типа задач, после приведенных вариантов заданий, предложен образец решения задачи.
3
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Задание 1. Найдите область определения функции.
1.1. y |
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1 |
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1.2. y |
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5x |
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ln(x 3) |
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ln (4 x) |
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4x2 |
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3x 1 |
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1.3. y |
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3 x |
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ln(x 2) |
1.4. y (4 x |
2 |
) |
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1 |
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2 x |
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(x 2)3 |
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x 2 |
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9 x2 |
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1.5. y ln |
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1.6. y |
5 x |
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2 |
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x |
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x |
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1.7. y |
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x |
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x x2 |
1.8 . y |
3x2 |
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2x 1 ln(25 x2 ) |
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x |
2 |
3x 2 |
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1.9. y |
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1 |
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ln(2x2 |
3x 1) |
1.10. y |
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1 |
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ln(x2 3x 2) |
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x2 4 |
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3 2x x2 |
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1.11. y |
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x |
2 |
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4x 5 |
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7 |
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1.12. y |
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x 5 |
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12 |
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2x 1 |
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ln(9 x) |
x 4 |
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2 |
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1.14. y |
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x |
1 |
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1.13. y |
3 1 x |
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ln(7 x) |
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ln |
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x 5 |
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x2 |
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3x |
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x |
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4 |
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1.15 . y ln |
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1.16. y e |
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4x |
2 |
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x |
2 |
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3 |
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2 x |
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x |
5 |
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4 |
x |
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1.17. y |
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1 x |
2 |
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x |
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1.18. y |
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x |
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1 |
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4 2x 3 |
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5x2 4x 1 |
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x 2 |
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1.19. y |
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1 |
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ln(x 2) |
1.20. y |
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1 |
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e |
3x 1 |
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x |
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1 x |
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7x |
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2 1 |
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2 6x 1 |
|
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2 |
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1.22. y ln(x |
2 |
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x 6) |
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1 |
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1.21. y |
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ln |
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7x |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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(x 2) |
2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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x 3 |
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1.23. y |
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|
1 |
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ln(8 x) |
|
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|
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|
3 |
|
|
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|
|
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|
2 |
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|
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|||||||||||||||||||
|
|
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|
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|
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|
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|
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1.24. y ln |
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
x |
|
|
|
x |
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|
|||||||||||||||||||||||||
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|
|
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|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 4 2 |
|
|
|
3 |
|
|
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|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4
|
5 4x x |
2 |
|
|
x3 27 |
|
|
1.25. y |
|
e |
2 x |
1.26. y ln |
|
|
|
|
x 2 |
||||||
x 5 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1.27. y |
ln(3 2x x2 ) |
|
|
|
1.28. y |
|
4 x |
|
|
|
||||
|
x 2 |
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.29. y |
x |
4 |
x |
ln(9 |
x |
2 |
) |
1.30. y ln(5x |
2 |
8x 4) |
|
1 |
|
|
|
|
|
x2 1 |
|
||||||||||
x 5 |
|
|
|
Образец выполнения задания 1
Найдите область определения функции
|
7x2 |
x 2 |
|
|
y |
8x 1 ln |
|
. |
|
|
||||
|
|
x 3 |
|
Р е ш е н и е.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7x2 |
8x 1 0, |
|||||
Очевидно, функция определена если: |
Dy |
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||
: x |
0. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
|
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|
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3 |
||||
Решим неравенства: |
|
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|
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|
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|
|
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|
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|
x |
|
||||||||||
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|
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|
|
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||||||
7х2 8х 1 0 , |
|
7x2 – 8 x + 1 = 0, |
x1 = 1, |
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x2 = 1/7 . |
||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
х |
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|||||
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1 |
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|||
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1 |
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
||||||||||
|
x 2 |
0 , |
|
|
|
|
|
7 |
|
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|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
х |
|
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||
Получим |
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1 |
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|
-2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
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|
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||||||
|
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||||||||||||||
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||||
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||||
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||||
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|
x |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
7 |
|
1; |
|
x ( ; 2) (3; ) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
; 2 (3; |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О т в е т : x ( ; 2) (3; ) .
5
Задание 2. Вычислите пределы, не используя правило Лопита-
ля.
2.1. |
2.2. |
1) |
lim |
|
|
|
n2 |
10n n |
|
; |
|
|
1) |
lim |
|
|
((n 2) (n 5) |
n); |
||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
x4 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2) |
lim |
|
|
|
|
|
x |
2 |
1 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
2) |
lim |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x4 x2 |
1 |
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2x |
2 |
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 16x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
3) |
lim |
|
|
|
|
1 2x 3 |
|
; |
|
|
|
|
|
3) |
lim |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 x |
2x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
arcsin 3x |
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||
4) lim |
|
|
|
sin 7x |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 3 |
n 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
5) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2.3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1) lim ( |
|
n(n 2) |
|
n2 |
2n 3); |
1) |
lim ( |
|
n2 5n |
|
|
|
|
n2 |
5n); |
|||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2) lim |
|
|
x2 2x 1 |
; |
|
|
|
|
|
2) |
lim |
|
|
x2 2x 1 |
|
|
|
; |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
2x2 x 1 |
|
|
|
|
|
x3 x2 x |
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
3) |
lim |
|
|
|
2 x |
|
3x 2 |
; |
3) |
lim |
|
|
x 6 2 |
|
x 1 |
; |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6x |
|
|
|
|
|
x2 9 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4) |
lim |
3x2 5x ; |
|
|
|
|
|
|
|
4) |
lim |
cos 2x cos x ; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
sin 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
1 cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) lim |
|
|
2n 3 |
n 1 |
|
|
|
|
|
5) |
lim |
|
10n 3 |
5n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
2n |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
10n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1) lim ( |
|
|
n2 2n 1 |
|
n2 2n 1) ; |
1) |
lim( |
(n 2) (n 3) |
n); |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
3 |
64 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2) |
lim |
x2 12x 20 |
; |
|
|
|
|
2) |
lim |
|
x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 4 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3) |
lim |
|
|
|
|
x 1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
lim |
|
|
1 2x x2 (1 x) |
; |
||||||||||||||||||||
|
|
x2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4) lim |
sin10x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
lim |
|
|
arctg3x |
|
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x |
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
5) lim |
n 1 |
n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 10 |
3n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6
2.7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1) |
lim (n( |
|
|
|
n2 1 n)) ; |
|
|
|
|
|
|
|
1) |
lim ( |
|
|
|
n(n 2) |
n); |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
x4 16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2) |
lim |
|
|
|
x |
3 |
|
8 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
lim |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
7x |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
x |
2 5x |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
3) |
lim |
|
|
|
|
x 1 1 x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
3) |
lim |
|
|
1 2x 3x2 (1 x) |
; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
sin |
7 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
4) |
lim |
|
|
5 x |
|
|
|
5 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
lim |
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2 |
3x |
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x 0 |
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arcsin 5x |
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x 0 |
x |
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2n 1 n 1 |
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3n |
1 |
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2n 3 |
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5) |
lim |
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5) |
lim |
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n |
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2n 1 |
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3n 1 |
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n |
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2.9. |
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2.10. |
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1) |
lim ( |
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9 6n n2 |
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9 6n n2 ) ; |
1) |
lim ( |
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n( |
3n 1 |
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3n 1)); |
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n |
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n |
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x4 16 |
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2) |
lim |
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x |
2 |
4x 3 |
; |
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2) |
lim |
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; |
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x |
2 |
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7x |
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x 1 |
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x2 x |
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x 2 |
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3) |
lim |
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9 2x 5 |
; |
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3) |
lim |
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3 x 1 |
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1 x |
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3 |
1 x |
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x 8 |
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3 |
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x |
2 |
4 |
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x 1 |
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4) |
lim |
x |
2 |
13x |
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4) |
lim |
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3x2 |
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1 cos x |
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sin11x |
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x 0 |
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x 0 |
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5) |
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3n 1 2n 3 |
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5) |
lim |
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2n 1 n 1 |
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lim |
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2n 1 |
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3n |
1 |
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|
n |
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n |
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2.11. |
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2.12 |
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1) |
lim |
|
n |
|
n 1 |
|
n |
; |
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|
1) |
lim |
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n2 |
n 1 |
|
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n2 n 1 |
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
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n |
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|||||||||||
2) |
lim |
|
x2 x 12 |
|
; |
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2) |
lim |
|
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2x 6 |
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; |
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|
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2x2 7x |
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3 |
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|||||||||||||||||||||
|
x 3 2x2 9x 9 |
|
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|
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x 3 |
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|
2 |
|
|
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|
|
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|
|
2 |
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
3 |
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|
|
|
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|
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3) |
lim |
x 1 |
|
x 1 |
|
; |
|
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|
3) |
lim |
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x |
|
|
|
|
x |
; |
|
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4x x |
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2 |
x |
1 |
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
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|
|
2 |
|
|
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|
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|
x |
x |
|
|
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4) |
lim 1 |
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|
cos x ; |
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4) |
lim |
cos 5x cos 3x |
; |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
xsin x |
|
|
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|
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|
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|
|
x 0 |
|
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||||||||||||||||||
5) |
|
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4n 1 3n 2 |
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|
5) |
lim |
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n 7 2n 4 |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
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|||||||||||||||
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|
4n 3 |
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|||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
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|
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|
n n 5 |
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
2.13. |
|
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2.14. |
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||
1) |
lim ( |
|
n |
2 |
|
3n |
|
|
1 |
|
n |
2 |
|
3n |
|
1); |
1) |
lim |
|
|
|
|
n 1 |
|
|
n 3 |
n ; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||
|
x |
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7
2) |
lim |
x3 x2 x 1 |
; |
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|
|
|
2) |
lim |
|
|
x2 49 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2x2 |
3x 1 |
|
|
|
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|
x2 8x 7 |
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) |
lim |
|
|
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|
1 x |
|
|
3x 1 |
; |
|
3) |
lim |
|
|
|
x2 5 3 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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|
6x |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||||||||
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x 0 |
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x 2 |
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|
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|
|
x 2 |
|
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||||||||||||||||||||
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n |
n |
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2.15. |
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n n 4 ; |
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1) |
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x 2 |
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3n 2 |
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2n 1 |
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3n 4 |
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1) |
lim |
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n2 |
3n 1 |
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1) |
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2) |
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2x 1 ; |
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4 2n n2 ; |
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2 |
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n |
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2 |
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3) |
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x 1 |
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2 x x |
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4 x |
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x2 x |
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x 1 |
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x 1 |
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4) |
lim |
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1 cos 4x |
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4) |
lim |
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4 sin 2x |
4 sin 2x |
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x 0 |
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sin2 x |
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x |
2 |
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x |
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n 4 9n 6 |
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x 0 |
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5) |
lim |
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3n 4 |
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n 3 |
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5) |
lim |
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n |
n |
5 |
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3n 5 |
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n |
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2.21. |
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2.22. |
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n 2 n 5 |
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1) |
lim |
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3n |
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9n2 1 3n |
; |
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1) |
lim |
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n |
; |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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n |
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n |
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x2 5x |
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2) |
lim |
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2x |
2 |
7x 15 |
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2) |
lim |
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3x |
2 |
11x |
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20 |
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x 5 |
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x2 2x 15 |
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x 5 |
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3) lim |
3x2 x 5 |
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3) |
lim |
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x 8 12 x |
; |
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3x ; |
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x 10 |
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x |
1 |
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x 10 |
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|
x |
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4) |
lim |
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x tg 3x |
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; |
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4) |
lim |
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; |
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x 0 |
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cos 6x |
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x 0 1 |
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2n 1 |
|
n |
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5) |
lim |
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3n 1 |
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n 1 |
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5) |
lim |
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2n 3 |
x |
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|
n |
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n n 5 |
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2.23. |
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2.24. |
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1) lim |
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n |
9n 1 |
|
9n 1 |
; |
1) |
lim |
|
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|
|
n |
n2 |
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5n 8 |
; |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
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n |
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||||||||||||||||||
2) |
lim |
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x2 4x 3 |
; |
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2) |
lim |
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x2 9 |
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|
; |
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|||||||||||||||||||||||||
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9x 9 |
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2x2 |
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3x 9 |
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x 3 2x2 |
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x 3 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) lim |
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x 5 |
|
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|
9 x |
; |
|
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|
3) |
lim |
|
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|
2x 1 3 |
; |
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x 2 |
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x 4 |
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x 2 |
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|
x |
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x 4 |
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2 |
|
x |
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|
2 |
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sin 3x tg 2x |
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4) |
lim |
1 cos |
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ctg |
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; |
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4) |
lim |
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; |
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||||||||||||||||
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4 |
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2x2 x3 |
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x 0 |
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2 |
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x 0 |
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||||||||||||||||||||||||
5) |
lim |
n 5 |
2n 3 |
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|
5) |
lim |
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n 7 3n 2 |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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8 |
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n |
n |
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|
n |
|
n 5 |
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|||||||||||||||||||||||||||
2.25. |
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2.26 |
|
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n n 5 |
|
|
|
n n 5 |
|
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||||||||||||||||||||||||||
1) |
lim |
|
3n2 |
n |
|
|
3n2 n |
; |
|
1) |
lim |
|
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|
|
|
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
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|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
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|
|
n |
|
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|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|||||||||||||||||||||
2) |
lim |
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|
2x |
2 |
7x 5 |
; |
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|
2) |
lim |
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|
; |
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2 |
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5x |
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|||||||||||||||||||||||||||||
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x3 |
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1 |
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x 2 2x |
|
2 |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 1 |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) |
lim |
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|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
3) |
lim |
|
|
|
x3 1 |
; |
|
|
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|||||||||||||||
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x 1 |
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x 1 |
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x 7 |
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7 x |
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x 0 |
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1 |
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4) |
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lim |
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4) |
lim |
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5) |
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1 2n |
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x 0 |
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n |
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5) |
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n |
2 |
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1 |
2n2 3 |
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lim |
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n n2 |
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2 |
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2.27. |
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2.28. |
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2n 3 |
2n 5 2n |
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1) |
lim |
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n2 1 |
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n2 12n 5 |
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1) |
lim |
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; |
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n |
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n |
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2) |
lim |
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2 |
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2) |
lim |
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2 |
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x2 4x 3 |
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x 1 |
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3) |
lim |
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3) |
lim |
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x4 |
x2 1 |
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2 8 x |
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x |
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x 4 |
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x 0 |
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lim |
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4) |
lim |
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x ; |
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5) |
lim |
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2 |
3n |
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2 |
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5) |
lim |
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n |
n |
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1 |
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n |
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n |
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2.29. |
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2.30. |
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1) |
lim |
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n2 6n n |
; |
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1) |
lim |
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9n2 3n |
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9n2 3n |
; |
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|||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
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|
n |
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2) |
lim |
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x 2 |
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|
; |
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|
2) |
lim |
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x2 4x |
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; |
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2x2 5x |
2 |
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2x2 |
7x |
4 |
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x 2 |
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x 4 |
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3) |
lim |
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x2 9 |
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|
; |
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3) |
lim |
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x 4 |
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; |
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||||||||||||
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2x |
3 3 |
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8 x |
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x 3 |
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x 4 2 |
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4) |
lim |
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3x sin 3x |
; |
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4) |
lim |
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cos 2x cos |
3 |
2x |
; |
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1 cos |
2 |
x |
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2 |
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|||||||||||||||||||||||
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x 0 |
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x 0 |
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1 |
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1 x |
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||||||||||||||||||||
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n 3 |
2n 1 |
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|||||||||||||||||||||||
5) |
lim |
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5) |
lim |
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4n 1 3n 2 |
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1 |
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||||||||||||
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4n |
3 |
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|||||||||||||||||||||
|
n |
n |
|
|
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|
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|
x |
|
|
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Образец выполнения задания 2
Вычислите пределы, не используя правило Лопиталя.
1) lim |
n2 5n |
n2 1 ; |
|
n |
|
|
|
2) lim |
|
x3 x 2 |
; |
|
x2 1 |
||
x 1 |
|
|
10