Математика-1 курс / С.А. Парыгина и др Математика -Часть 3

4)				x x										dx		;				4)								dx												;
																							3	x			2
			1				3		x																			2
																																					x
5)	sin5 x dx ;																			5)	sin2 xcos2 x dx ;
6)			6x2 x 19																	6)						3x2 10
																	dx																								dx
			(x 1)2 (x 3)
																							x 3 4x2 5x
9.7.					dx															9.8.
1)														dx ;						1)	e7 x 4 dx ;
			4 9x								2
2)																				2)			ln		3		(x 2)										dx ;
	esin 3x cos3x dx ;
																										x 2
3)	x			2	e			x		dx ;										3)	x2arctgx dx ;
								2
																											x 5
4)			(x 1) dx ;																	4)																	dx ;
																							1					x 5
			x				x 2																				3
5)	(2 cos 4x)2 dx ;																			5)			sin x								dx ;
																							cos2 x
6)			5x 18											dx									5x2 4x 7
	x			3	6x															6)																								dx
																							(x					2)				2		(x 2)
9.9.					dx															9.10.						dx
1)														;						1)														;
			cos			2		8x														2		3 x						2
2)			e2 x dx									;								2)				x2					dx							;
			e	3x					3													1		x				6
3)	3x2e5x dx ;																			3)	(3 7x2 )cos 2x dx ;
4)											dx								;	4)							dx												;
											4					x 1						1		3x 1
				x 1
5)	sin2 8x dx ;																			5)	sin2 3xcos3 3x dx ;
6)											dx									6)			x2 3x 1																dx
			x3 x 5x2 5
																								x4 x2
9.11.					dx															9.12.
1)															;					1)				9 3x dx ;
		(5			x)							4
																				2)				x			2	dx								;
			arctg3x
2)														dx		;							(x			3	1)						2
			1 x						2											3)																2 x						;
3)												1) dx ;									(4 3x)e																		dx
	ln(4x								2

41

4)					x dx									;				4)				1							2x 1																;
																							2x 1 3 dx
			2 x 3
5)	sin5 xcos2 x dx ;																	5)	cos							2			3x							dx			;
6)						x dx																									2
																															x3 dx
			x	2	3x 2													6)
																						(x		2			4)(x											2				7)
9.13.					dx													9.14.																			dx ;
1)												;						1) (7										3x)								2
			4x		2				25
																		2)										dx															;
						dx
2)														;								x(ln						2			x				4)
			х	5	1 ln x
3)																		3) (x2 2)ex dx ;
	(x 2)2 cos3x dx ;																	4)						2x 1															dx ;
				x dx
4)										;										1									x 2
				x 2														5)																					x dx ;
																			cos							4			xsin								3
5)	(1 sin 3x)2 dx ;
																		6)									x 2																		dx
									dx
																											2
6)																						x(x								5x 6)
			x	3	8				x				2		2x
9.15.					3x dx ;													9.16.										dx
1)	sin																	1)																							;
																							9 25 x2
							2
2)				x2 dx									;					2)				3x dx														;
				2x3 3
																						2
3)	(4x x2 )e2 x dx ;																	3)					x						1
																			(2 x)2 sin 3x dx ;
4)		1 x 4 x												dx ;				4)								x								dx ;
				2						x
																				1									x
5)	sin2 xcos3 x dx ;																	5)
																			sin4 x dx ;
6)							3x 1									dx		6)				x 1											dx
			(x 1)2 (x 3)
																						x	3						8
9.17.																		9.18.					dx
1) 63 2x dx ;																		1)																;
																				8			3 x
2)			ctg x 1											;
			sin				2	x		dx								2)					cos x dx																		;
3)																							sin2 x 1
	(1 5x2 )cos x dx ;																	3)
																			xe1 x dx ;

42

4)						dx																			4)			x dx										;
		3	(x 2)2																									x 3
5)	sin2 xcos2 x dx ;																								5)	sin3 x cos x2 dx ;
						2x				2					4										6)		2x 1								dx
																												3
6) x3 x2 x 1dx																											x			1
9.19.			dx																						9.20.						dx
1)													;												1)																	;
			2 x																												2
		cos																										4x						9
									3
																									2) 7x2								1 x3 dx ;
			1
2)	exxdx2 ;																								3)	x2 sin								x				dx ;
																																		2
3)	arctg2xdx ;																								4)							dx											;
4)		3	x 1											dx ;													3						2x									3
																									5)	cos					4	x dx ;
		3
			x 1
5)	sin				2 x						dx ;														6)				(7x 5) dx
								2
																											x	3	x						2			2x 2
6)		4x2 7 2x																				dx
				x			3		7x
9.21.				dx																					9.22.
1)																;									1) 22 7 x dx ;
		(3 x)												5
																									2)			4x				4	dx									;
		ln2 (x 1)
2)																			dx ;									x10 16
				x 1																					3)
3)																										(x2					1)ln x dx ;
	arcsin 2x dx ;
																									4)		x dx										;
4)						dx												;
																											3
	4		x												x													x 1
																									5)	sin4 xcos3 x dx ;
5)	(sin 5x																3)			2	dx ;
																																	x			3			dx
6) x					x						4 12x 4 dx
																									6) (x 2)2 (x2 4)
			3								2
									x							16
9.23.			dx																						9.24.						dx
1)														;											1)															;
		5	2x																								(3 2x)												2
2)			x2dx												;										2) e5x4 x3 dx ;
			x			6																			3)	(2x 1)2 cos3x dx ;
								1

43

3)

(1 x)2

x

dx ;

4)

dx

;

4

x 3

x 3

4)

dx

;

cos

3

x

x

4

2

5)

dx ;

5)

sin2

x

cos2

x

dx ;

sin x

x3 9x2 21x 21

4

4

6)

dx

6)

2x

3

6x

2

7x

4 dx

(x

2)

2

(x

2

4)

2

(x 2)(x 1)

9.25.

9.26.

dx

1)

e

2 3x

dx ;

1)

;

5

4x

2

3

2)

tg

3x

dx ;

4 ctg2 x

cos

2

3x

2)

dx

;

3)

x

dx ;

sin

2

x

(3x

2

x

5)e

3)

arctg6x dx ;

4)

x 2

dx ;

dx

3x 1

4)

;

(x

1)(2 5

x 1)

5)

sin4 xcos3 x dx ;

5)

6)

4 x

dx

cos2 2xsin2 2x dx ;

8dx

x

4

x

3

x

2

6)

x

3

4x

2

4x

9.27.

dx

9.28.

dx

1)

;

1)

;

sin

2

(2x

5)

4

25 x

2

arctg x

dx

2)

1e

x2 dx

;

2)

;

x(ln2 x 6)

3)

arcsin 8x dx ;

3)

(2 3x2 )cos x dx ;

4)

x dx

;

4)

dx

;

(3x

1)

3x 1

(2x 1)(1

2x

1)

5)

sin

2 15x

dx ;

5)

3

dx ;

4

sin

2 x

dx

cos

x

3x 20

6) (x 1)2 (x2 2x 3)

6)

dx

x

3

4x

2

9.29.

dx

9.30.

dx

1)

;

1)

;

4

25x2

sin

2

(8x 3)

2)

3 arctg x dx

;

2)

earcsin x

dx ;

1 x

2

1 x

2

44

3)	(1 2x)3 x dx ;
4)			dx			;
		(1		x)	2

5)cos2 7x dx ;

2

6) 2x33 x 1 dx x (x 2)

3)	ln 22 x dx ;
		x
4)		5 2x					dx ;
		1 2x
5)		cos3 x				dx ;
		sin		2	x
						x2 dx
6)
		(x	2	6x 2)(x 1)

Образец выполнения задания 9

Найдите неопределенные интегралы:

1)				dx						;
				9 5x2
2)						dx									;
		(x 2)ln						2		(x		2)
3)	arcsin 7x dx ;
4)				(x 2)			dx ;
			x x 1
5)	(1 sin 2x)2 dx;
6)				(3x 1) dx										.
		(x 1)			2	(x			2			4)

Р е ш е н и е .

1) dx , сведем интеграл к табличному, внеся константу

9 5x2

под знак дифференциала.

dx

1

d( 5x)

1

5x

C .

5 arcsin

9 5x2

5

32 ( 5x)2

3

О т в е т :

1

arcsin

5x

C .

5

3

45

2) Сведем интеграл к табличному, используя метод внесения под знак дифференциала.

dx

d(ln(x 2))

(x 2)ln2 (x 2)

ln2 (x 2)

du2

u 2du

u 1 C

1

C

и ln(x 2),

u

1

u

1

C

ln(x 2)

О т в е т :

1

C.

ln(x 2)

3) Подынтегральное выражение содержит обратную тригонометрическую функцию. Для вычисления интеграла применим метод интегрирования по частям.

arcsin 7 xdx

udv uv vdu

u arcsin 7 x, dv dx

du

7

dx, v dx

x

1 49x2

x arcsin 7 x

7 x

dx x arcsin 7 x

1 49x2

7

d (1 49x2 )

1

(1 49x2 )

1

x arcsin 7 x

2 d (1 49x 2 )

2

49

14

1 49x2

1

arcsin 7 x

1 (1 49x2 ) 2

C x arcsin 7 x

1

1 49x2

C.

1

14

7

2

О т в е т : x arcsin 7x

1

1 49x2

C.

7

46

	4)	(x 2)	dx , подынтегральное выражение содержит иррацио-
		x x 1

нальную функцию, для вычисления интеграла применим метод замены переменной.

(x 2)

x 1 t2

(t2 1 2)2tdt

2

t2

1

dt 2

(t2

1) 2

dx

x t

2 1

dt

x x 1

(t

2

1)t

t

2

1

t

2

1

dx

2tdt

2

1

t 1

x 1 1

2

1

dt

2

t 2

ln

C 2

x

1 ln

C.

2

t

1

2 1

t 1

x 1 1

x

О т в е т :

x 1 ln

1 1

C.

2

x 1 1

5) (1 sin 2x)2 dx , для вычисления интеграла применим формулу

квадрата разности и формулу понижения степени sin2 2x

1 cos 4x .

2

(1 sin 2x)2 dx (1 2sin 2x sin2

2x)dx

(1 2sin 2x

1 cos 4x)dx (1

2sin 2x

1

1 cos 4x)dx

2

2

2

( 32 2sin 2x 12 cos 4x)dx 32 x 2 12 cos 2x 12 14 sin 4x C

32 x cos 2x 18 sin 4x C.

От в е т : 32 x cos 2x 18 sin 4x C.

6) (3x 2 1)2dx , подынтегральное выражение содержит дроб- (x 1) (x 4)

но-рациональную функцию, для вычисления интеграла разложим подынтегральную функцию на сумму элементарных дробей.

47

3x 1

A

B

Cx D

(3x 1)dx

(x 1)2 (x2

4)

x 1

(x 1)2

x2 4

A(x 1)(x2

4) B(x2

4) (Cx D)(x 1)2

(x 1)2 (x2 4)

;

(x 1)2 (x2

4)

приравняем числители дробей 3x – 1 = A(x2 + 4)(x + 1) + B(x2 + 4) + (Cx + D)(x + 1)2.

Для нахождения неопределенных коэффициентов используем

комбинацию методов:
1)	Подставим в равенство х = -1:		4 .
	3 (-1) – 1 = 0 + 5В + 0,	B
2)	Раскроем скобки в правой части равенства:		5

3x – 1 = A(x3 + 4x + x2 + 4) + B(x2 + 4) + Cx3 + Dx2 + 2Cx2 + 2Dx + Cx + D,

Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях:
При х3: 0 = А + С,
При х2: 0 = A + B + D + 2C
При х1: 3 = 4A + 2D + C
При х0: -1 = 4A + 4B + D, заметим, что B 4 .
						A C 0,														5
															4
																,
						A D 2C									5		решив которую, найдем:
Получим систему:
							4A 2D C 3,
									11
														,
						4A D 5
A	7	; C		7	; D 27				, следовательно
25		25					25
			3x 1						7							4				7	x	27
										25						5				25		25
			(x 2)2 (x2				4)		x 1					(x 1)2						x2 4

48

																																																										7							x				27
																			7 1														4			1																																	25			dx
											=																																																25
																				25 x 1															5 (x 1)2																									x2 4
							7								dx													4							dx												7											xdx											27							dx
						25								x								1						5				(x				1)			2							25											x	2		4									25					x	2		4
		7		d(x 1)															4			(x 1) 2 d (x																				1)											7 1												d		(x2 4)												27								dx
																																																																					2
		25		x 1															5																																		25 2															x				4							25							x	2	4
				7	ln				x 1										4 (x 1) 1																							7				ln						x2 4																	27				arctg								x				C
				25																		5								1									50																													25 2								x			2
							7					ln					x 1													4				1								7					ln					x2 4																27 arctg											C.
																														5 х 1
							25																																			50																									50								2					x
	О т в е т:										7				ln							x 1										4			1											7				ln							x2 4													27 arctg															C.
																																	5 х 1
							25																																			50																												50									2

Задание 10. Найдите определенные интегралы.

10.1.																10.2.
1)	2				x		4		2					4x		1)	2		3				x		3			2x
				7					x					7	dx;													7	dx;
																			x
	1																1
	3			х	3	dx											1		x	2
2)									;							2)					dx		;
						4												3x			3
	1		2 5x														0					4
											2
3) 1 cos x													dx;				6		1 sin x								2
	0															3)												dx;
																	4
	4
4) x 1 e										3x			dx;				1
																4) x 1 e								2 x		dx;
		2															0

49

	1												dx																		1							dx
5)																							;							5)																			;
							x				1 x 2																							x 3 x 4
	2																														2
	5										dx																				0					x 1
6)																														6)														dx
							3		5x 2																									4		2x				3
	2																														1
											2		5					2				12x					7										2					1					5			3		2x9
10.3. 1)																	x												dx;	10.4.					1)													x					dx;
																							13				x	2																3								3
												1																									1	x
	3						x		4																						1					10
2)										dx				;																2)				x dx								;
				2x						5																								11
	1											1																			0		2x				3
	3	x 2 ex dx;																													3
3)																														3)	xe2 x dx;
	0																														1
4) sin 3x cos5x dx;																															3
																														4)	sin 2xsin 3x dx;
	2
	1												dx																			6
5) 2																								;							1						dx
						x 5 x 7																								5)																	;
																																		x		2	7x 10
	2							x4dx																							2
																															3
6)																														6)												dx
				7 x5 1
																															1 x 2													x2 x 2
	0
10.5.																														10.6.
	4						3														5x										0				5											3x2
1)												23					x								dx;					1)										x5											dx;
										4												7																									4
	3	x																													1			x
	2							x		2																					2					6
2)										dx						;														2)				x dx					;
										3																								7
	1						3x					5																			0		2x				1
3) 3 sin xsin 6x dx;																														3)	4 cos 2x cos x dx;
	0
	3																														6
4) x 2 ln x dx;																															3
																														4) x 3 ln x dx;
	1
	3											dx																			2
5) 0																				;											1							dx
				x2 7x 12																										5)																		;
																																		x 5 x												1
	2															dx															2
6) 0																															2
				x 1													x2 x 1													6)					9 x2dx
																															1

50