Математика-1 курс / С.А. Парыгина и др Математика -Часть 3

4	x dx		2		t					2 t2dt				2				1
								2t dt 2					2 t 1							dt
	x 1				1													t 1
0			0 t							0 t 1				0
			2		t2				t ln		t 1				2	2ln 3.
						2									0

О т в е т : 2ln3.

Задание 11. Вычислите площадь фигуры, ограниченной данными линиями.

11.1.

11.2.

1) 4х = у2, 4у = х2;

1) y = x2 – 3 x, y + 3x – 4 = 0;

2) xy 3cossin t;t,

2) xy 4cossin t;t,

3) r 2(1 cos 2 )

3) r 2cos2

11.3.

11.4.

1) y = x2, y = 2 – x2;

1) y = 2x – x2, x + y = 0;

2) x 2cos33 t (астроида);

2) xy 3cos8sin tt;,

y 2sin

t

3) r 2cos3 ,

3) r sin 2 , 0;

;

2

6

6

11.5.

11.6.

1) y = cosx, y = sinx;

2

x3

2)одной аркой циклоиды

1) y = x , y =

;

3

x 5(t sin t)

x 2cost

и осью OX ;

y 5(1 cost) и осью OX ;

2) y

3sin t

3) r 2 cos , 0;2

3) r tg , 0;

4

11.7.

11.8.

1) y2 = 2x + 1, x – y – 1 = 0;

1) y = x2 + 1, x + y = 3;

x cost

и осью OY;

3

(астроида);

2) y 2sin t

2) x cos3 t

3) r 3sin 3

y sin t

;

3) r 1 sin ,

4

4

11.9.

11.10.

2

x2

1) y = (x – 1)2, y2 = x – 1;

1) y = x , y =

, y = 2x;

2

61

2)однойаркой циклоиды

2)

x

2 cost,

x 2(t sin t)

и осью OX ;

2 sin t;

y 2(1 cost)

y 2

3) r 3(1 cos )

3) r 4cos 4

11.11.

1

11.12.

, y = 0, x 0; 2 ;

y 4 x2 ,

1) y =

x

1

1)

2

2x;

x x

x 16cos3 t

(астроида);

x t

2

,

2)

3

2)

y sin t

t;

y t3

3) r sin 6

3) r cos

11.13.

11.14.

1) y 4 x2 , y 0,

1) y = (x – 2)3, y = 4x – 8;

x 0,

x 1;

2)

x

2 cost,

2) одной аркой циклоиды

2 sin t;

y 4

x 8(t sin t)

и осью ОХ;

3) r sin ,r 2sin

y 8(1 cost)

;

3) r ctg ,

6

3

11.15.

11.16.

1) y = (x + 1)2, y2 = x + 1;

1) y = 2x2, y = -x3;

x 2 cost,

x

3cost

,

2) y

3 sin t;

2) y

8sin t;

3) r 4sin 3

3) r 4sin ,

0;

3

11.17.

11.18.

1) y = -x2 – 2x, y = x;

1) y

1 (x2 6x), y x ;

x 2sin t,

3

2) y

2cost;

2)одной аркой циклоиды

3) r 2(1 cos )

x 5(t sin t)

y 5(1 cost)иосьюОХ;

3) r 3sin 2

11.19.

11.20.

1) y = 2x – x2 + 3, y = x2 – 4x + 3;

1)

y

5

; y x

6

x 9cost,

х

2) y

4sin t;

3

cos

3

t

3) r 4cos 2

2)

x

(астроида);

4

3

t

y 3sin

3) r 3tg , 0;

4

62

11.21.			11.22.
1) y = 4 – x2, y = x2 – x;			1) y = -2x2, y = 1 – 3x2;
x 8cost,			x 2cost,
2) y	3sin t;		2) y 6sin t;
3) r 2 cos
			3) r cos , r sin , 0;				2
11.23.			11.24.
1) y = x3, y = 2x, y = x;			1) y = ex, y = e-x, x = 1;
		3	x 7cost,
2) x cos		3t (астроида);	2) y 7sin t;
y sin		t	3) r sin ,t 4sin
3) r 6sin , r 4sin
11.25.			11.26.
1) y = (x + 1)2, y = 5 – x, y = 0;			1) y x2 , y	x	2	, x 2 ;
x 3cost,
			4
2) y 3sin t;
			2) одной аркой циклоиды
3) r sin2
			x 3(t sin t)		и осью ОХ		;
			y 3(1 cost)
			3) r 1 sin
11.27.			11.28.
1) y = 2x, y = e-x, y = 3;			1) y = 3x2 + 1, y = 3x + 7;
		3	x 4cost
2) x	2cos3 t (астроида);		2) y 4sin t , x 0, y 0;
y 2sin t			3) r 2a cos
3) r 1 cos
11.29.			11.30.
1) y2 = 4 + x, x + 3y = 0;			1) y = 3x2 – 2x + 7, y = x + 13;
x 3cost			x cost		0;
2) y	9sin t , y 0;		2) y 2sin t , x
3) r 2a sin			3) r a(1 cos )

Образец выполнения задания 11

Вычислите площадь фигуры, ограниченной данными линиями: 1) y = -x2 + 4x – 3, y = x – 1;

2) xy 4cos6sin tt , y 0;

3) r 5(1 cos ), 0;

Р е ш е н и е .

1)y = -x2 + 4x – 3, y = x – 1.

63

2)Найдем точки пересечения графиков функций y = -x2 +4x – 3,

y = x – 1.

-x2 + 4x – 3 = x – 1

x2	– 3x + 2 = 0
x1	= 1, x2 = 2, следовательно y1 = 1 – 1 = 0, y2 = 2 – 1 = 1.

Координаты точек пересечения А(1; 0), В(2; 1) Построим графики функций y = -x2 + 4x - 3, y = x – 1.

								у
	3												y = x – 1
	2
	1							B
							0	A					х
	-1 -2 -3							1 2
													y = -x2 + 4x – 3

Для нахождения площади полученной фигуры воспользуемся формулой:

b

S ( f (x) g(x))dx

a	2																			2
	(( x2					4x 3) (x 1))dx ( x2 3x 2)dx
	1																			1
								x3			3x2						2			8				3 4
													2x													2		2
								3				2					1			3				2
		1			3 1				2					8		6								1		3		2			1	ед2.
		3			2									3				4						3		2					2
О т в е т :			1	ед2.
			2

64

2) xy 4cos6sin tt , y 0

	Заметим,			что дано параметрическое уравнение
x2		y2		в этом легко убедиться, подставив xy 4cos6sin tt
			1,
16		36

ложенное уравнение.

Для нахождения площади воспользуемся формулой:

эллипса: в пред-

S y(t) x '(t) dt .

a

Найдем x'(t):

x'(t) = (4cost)' = -4sint

Так как y 0, то sin t 0, t 0; , ,но х изменяется от 4; 4 , следовательно t изменяется от П до 0.

						0						0
				S 6sin t ( 4sin t) dt 24 sin2 tdt
Используем формулу понижения степени: sin2 t 1 cos 2t
																		2
24	0	1 cos 2t dt					12		0	(1	cos 2t)dt 12			0	dt	0	cos 2tdt
			2
12					0	1	0					12 (0 )	1 sin 2t						0
			t					cos 2td 2t
						2								2

12(( ) 12 (sin 0 sin 2 )) 12 ед2.

От в е т : 12 ед2 .

3) r 5(1 cos ), 0;

Для нахождения площади фигуры воспользуемся формулой:

65

					1
			S			r2 ( ) d .
					2	a
	1			1
S		(5(1	cos ))2 d		25 (1 2cos cos2 )d исполь-
	2	0		2		0

зуем формулу понижения степени: cos2 1 cos 2 и приведем к
общему знаменателю																						2
	25								1 cos 2								25
			1 2cos										d							(2		4cos 1	cos 2 )d
	2									2							2 2
25			0									25							0		cos d 1
		(3 4cos cos 2 )d														3	d 4
																								cos 2 d(2 )
4													4									2
	0			25												0				0			0
							3( 0) 4(sin sin 0)													1	(sin 2 sin 0)
				4							25			3			75			22		.
											4						4		ед
					75
О т в е т :								ед	2	.
				4

Задание 12. Найдите длину дуги кривой.

12.1.

12.2.

1) y ln cos x,

;

1)

y ln sin x,

x

;

;

x 0;

3

2) r 1 cos

4

4

2)

x 3cos3 t

,

t

3

t

0;

2

y 3sin

12.3.

12.4.

1) y

2 x

2

, x 1;1 ;

1)

y ln x,

;

x

3; 8

2) r 2(1 cos )

x t sin t

t 0;2

2) y 1 cost ,

66

12.5. 1)		y				(x 3)					3	,		x 4;6 ;						12.6. 1)				y	2				3									4
																										x					, x 0;							3		;
2) r 1
																					x 4cos3 t
		sin ,												2	;					2)																;
																		6									3	t	, t								4
																					y 4sin												6
12.7.								, x 1;8 ;												12.8.
1)	y	(x 1)					3													1)	y ln sin x,														;				;
																														x						2
	x 5(t				sin t)				,	t 0;																						3
2) y		5(1			cost)															2)	r 4(1 sin ),
																																				0;				6
12.9.																				12.10.
1)	y ln cos x, x 0;																	;		1)	y 1 x2 ,						x 0;4 ;
																					8
														3
	x 3(t sin t)																							, 0;2
									,											2)	r e
2) y		3(1			cost)					t 0;							4
12.11.					2															12.12.
1)	y ln(x					1), x 2;3 ;
																				1)	y 1 ln cos x,											x 0;										;
	x 5(t sin t)
									,	t 0;																															3
2) y		5(1			cost)															2)
																					r 5(1 cos ),																	4			; 0
12.13.																				12.14.				x, x 0;4 ;
1)	y	(x 1)3 , x 2;4 ;																		1)	y 2
	x 6(cost t sin t)												, t 0; .							2)	r 6(1 sin ),
2) y		6(sin t t cost)																																				2			;0 .
12.15.																				12.16.
1)	y 0,5x2 , x 1;1 ;																			1)	y ln cos x 2,											x
																																				0;			6			;
2)	x 8cos3 t							t
	y	8sin3 t					,			0;				6												,								;
																				2) r 2e5												2
																																			2
12.17.			2																	12.18.
1)	y 3х			, х 1;4 ;																										3
																				1)	y		(x				2)				, x 4;6 ;
	x cost t sin t												0;2							2) r 1 cos ,														0;
2) y sin t						t cost , t

67

12.19.														1					1										12.20.
					2																								1)	y		1 x					2	,		x					0;1 ;
1)	y 1 x , x																;				;
														2					2
																														r 3 ,											4
	x	4cos3 t
2)								, t																					2)						0;						3
		4sin		3			t				0;						2
	y
12.21.																													12.22.
1)	y ln(x2 2), x 3;4 ;																												1)	9 y2 4x3,междуточками
	x 3cost																													О(0;0), А(3;2												3);
2)	y 3sin t					,		t					4			;																	0,75
																		6											2)	r 3e							,								2			;	2
12.23.															2														12.24.			x2
1)	y ln sin x,							x						;									;						1)	y						1		ln x, x
										3							3															4				2												1;2					;
	x et (cost sin t)																																12
2)																										;			2)	r 6e																;
		t	(cost sin t)												, t										6		4								5 ,								2
	y e																																															2
12.25.																													12.26.
1)	y	9 x				2			x																				1)	y 6x2 , x 3;2 ;
							,
												1;1 ;
2)	x 1 cost							,	t 0; 3																				2)	r 3(1 cos ),
																																																	0;
	y 2 sin t																		2																																	2
12.27.												x 3;4 ;																	12.28.			x2
1)	y 1 ln(x2							1),																												ln x
2)	x 2,5(t sin t)													t															1)	y		4					4			,	x						1;2				;
	y 2,5(t				cost),																	2		;					2)				5												;
																														r 5e12 ,												2					2
12.29.															3														12.30.
1)	y ln sin x,							x						;									;						1)	y		(x					3)		3	,	x 4;5 ;
											2						4
																														r 7(1 sin ),
	x 2cos3 t
2)								, t																					2)																					6		;		6
		2sin		3			t				0;						4
	y

Образец выполнения задания 12

Найдите длину дуги кривой: 1) y (2 x)3 , x 2;1

68

	x 2(t sin t)		,	t 0;
	2) y 2(1 cost)
	Р е ш е н и е .
	1) y	(2 x)3 , x
						2;1 .

Для нахождения длины дуги кривой воспользуемся формулой:

														b
											l					1 ( y '(x))2 dx .
														a
Найдем производную функции y																									(2 x)3 :
y '					(2 x)3 3																			1											3
																(2 x)2 ( 1)																				2 x .
													2																						2
		1							3								2							1								9
l				1					2			2	x						dx									1				4	(2 x)dx
		2																						2
														введемзамену
															11						9	х t
																2					4
														11 9 x								t2
	1			11			9							2					4				4
																		22
				2			4 xdx							x					9				9 t2
	2																			22					4			t	2							8	tdt
														dx							9				9						dt					9
														приx 2,t																10
														приx 1,t															13 / 2
								13																			t3					13
								2					8											8
									t				9		t	dt								9				3				2
								10																								10
	8					13		3									3							8			13 13
													10																						10 10
	27					2																		27								8

69

	8 13	13	8 10	10	80 10		13 13	80	10 13 13 .
	27 8		27		27		27		27

О т в е т : 80 10 13 13 ед. 27

3) x 2(t sin t) , t 0; . y 2(1 cost)

Для нахождения длину дуги кривой, воспользуемся формулой:

		l		(x '(t))2 ( y '(t))2 dt .
		a
	Найдем производные:
		x '(t) (2(t sin t))' 2(1 cost),
		y '(t) (2(1 cost))' 2sin t.
	l	(2(1 cost))2 (2sin t)2 dt					4(1 2cost cos2 t sin2 t)dt
	0					0
		2 1 2cost 1dt	2			2 2costdt 2		2(1 cost)dt
		0	0				0
	Воспользуемся формулой понижения степени sin2 t									1 cos 2t .
				t	1 cost				t	2
	4) В нашем случае sin2						, 1 cost 2sin2			и t 0; ,
			2			2		2

sin 2t 0.

			2 t					t				t		t				t
2		2 2sin			dt 4		sin		dt 4 2		sin		d		8		cos
																					0
			2					2				2		2				2
	0					0				0

8 cos cos0 8(0 1) 8 ед.

2

От в е т : 8 ед.

70