Означення нормованого простору, властивості норми. Норма в просторі.

Означення. Якщо лінійний простір в той же час і метричний простір, то він називається лінійним метричним простором. Важливим класом лінійних метричних просторів є простори типу В (Банаха).

Множина Е називається лінійним метричним простором, якщо:

1. Е – лінійний простір з умноженням на дійсні (комплексні) числа.

2. Кожному елементу х лінійного простору Е ставиться у співвідношення комплексне число, яке називається нормою цього елементу і пишеться ||х||, до того ж виявляється що норма елемента задовольняє наступним умовам (аксіомам норми):

1) ||х||≥0, до того ж ||х||=0, тільки якщо х=0,

2)||х+y||≤||х||+||y||,

3)||λх||=|λ| ||х||.

В лінійному нормованому просторі можна ввести метрику слідством рівності

Ρ(х,y)=||х-y||

Не важко перевірити, що введена відстань задовольняє всім аксіомам метрики. Після введення метрики визначається збіжність послідовності елементів {хn} до х, а саме х= limхn або хn→х, якщо ||хn-х||→0 за n→∞.

Визначена таким чином схожість в лінійному нормованому просторі називається збіжність за нормою.

Якщо лінійний нормований простір є повним в сенсі збіжності по нормі, то він називатиметься простором Банаха, або простором типу В.

Відзначимо що зі співвідношень ǁ(хn+yn)-(х+y)ǁ≤ǁхn-хǁ+ǁyn-yǁ, ǁλnxn-λхǁ≤|λn|ǁхn-хǁ+|λn-λ|ǁхǁ виходить, що за хn→х, yn→y, λn→λ маемо хn+yn→х+y, λn хn→λх.

Далі ǁхǁ=ǁy+(х-y)ǁ≤ǁyǁ+ǁх-yǁ, або ǁхǁ-ǁyǁ≤ǁх-yǁ. Змінивши місцями х і y, отримаемо ǁyǁ-ǁхǁ≤ǁх-yǁ отже |ǁхǁ-ǁyǁ|≤ǁх-y. Звідси виходить , що якщо хn→х, тоді ǁхnǁ→ǁхǁ, і те що {ǁхnǁ} обмежена числова послідовність.

Так як лінійний нормований простір є метричним простором, тоді для такого простору мають сенс всі значення, що введені в метричних просторах (обмежена множина, сепарабельність і т. ін.), а також мають місце всі теореми, доведені для таких просторів.

Для просторів типу В буде справедливим все, що було раніше встановлено для повних метричних просторів.

Більшість елементів лінійного простору Е, мають вигляд y=tх, хєЕ, х≠0, -∞˂t˂+∞ називаеться прямою, визначеною даним елементом х, а більшість елементів виду y=(1-t)х1+tх2, х1, х2єЕ, 0≤t≤1, називаються відрізком що з’єднує точки х1 і х2. множина К простору Е називається випуклою, якщо відрізок, з’єднуючий дві будь які точки множини К, цілком знаходяться в цій множині.

Нехай М- деяка множина точок лінійного простору Е. множина елементів виду х+ɑ, де хєМ і а-фіксований елемент простору Е, називається зсувом множини М і визначаеться М+ɑ. Не складно перевірити, що якщо К-випукла множина, то її зсув – теж випукла множина.

Легко побачити, що в лінійному нормованому просторі куля (замкнута куля) є випуклою множиною. Насправді, нехай х1,х2єs(ɑ,r) тобто ǁх1-ɑǁ˂r, ǁх2-ɑǁ˂r. Візьмемо будь який елемент виду y=(1-t)х1+tх2, 0˂t˂1, маємо ǁy-ɑǁ=ǁ(1-t)х1+tх2-ɑǁ=ǁ(1-t)х1+tх2-(1-t)ɑ-tɑǁ ≤ ǁ(1-t)(х1-ɑ)ǁ+ǁt(х2-ɑ)ǁ=(1-t)ǁх1-ɑǁ+tǁх2-ɑǁ˂(1-t)r+tr=r.

Отже ǁy-ɑǁ˂r.

Відповідно yєs(ɑ,r).

Визначимо дві очевидні властивості кулі в банановому просторі: для будь якої точки х≠0 куля з центром на початку координат і радіусом r˃ǁхǁ містить цю точку, а куля з центром на початку координат і радіусом r´˂ǁхǁ не містить дану точку.

Так як лінійний нормований простір Е являється частковим випадком лінійного простору, тоді для Е мають сенс всі поняття, введення в лінійних просторах, так наприклад лінійна залежність і незалежність елементів, лінійна багатозначність, розкладання Е в пряму суму і т. ін.

Нехай L- лінійна багатозначність лінійного нормованого простору Е. Якщо L крім того є замкнутою множиною, тоді L називають підпростором.

Якщо L- кінцева лайна багатозначність лінійного нормованого простору, тоді нижче ми побачимо L=L. Для безкінечно значних лінійних нормованих просторів ця рівність може не мати місця.

Нехай, наприклад, Е=С[0,1] і L-лінійна багатозначність, що випливає з елементів х0=1, х1=t,…, хn = tn,…. Тоді L- множина всіх багаточленів, а L=С[0,1]≠L.

Нехай дано два лінійні нормовані простори Е1 і Е2. Надалі ми їх називатимемо ізоморфними, якщо існує взаємо однозначне і взаємо неперервне ізоморфне відображення Е1 і Е2. Має місце важлива теорема:

Теорема. Всі кінцевомірні лінійні нормовані простори даного числа виміру n ізоморфні евклідову n-мірному простору Еn і отже ізоморфні одне одному.

Нехай Е являється n-мірний лінійний нормований простір і х1,х2, … ,хn – базис цього простору. Тоді будь який елемент хєЕ однозначно покажемо у вигляді х=ξ1х1+ξ2х2+…+ξnхn. Поставимо елементу хєЕ у співвідношення елемент х={ξ1,ξ2,…, ξn}єЕn. Очевидно, що таким чином встановлене співвідношення між елементами х і х є взаємо однозначним. Крім того, це співвідношення є ізоморфізмом лінійних просторів Е і Еn. Покажемо, що воно взаємно неперервне.

Для будь якого хєЕ маємо

n n n n

ǁхǁ=ǁ Ʃ ξiхiǁ≤ Ʃ |ξі|ǁхіǁ≤( Ʃ ǁхіǁ²)½( Ʃ ξі)=ßǁхǁ. (1)

і=1 і=1 і=1 і=1

Частково, ǁх-yǁ≤ßǁх-yǁ, де ß не залежить від х і y. (2)

Встановимо тепер нерівність протилежного знаку.

n

На поверхні S одиничної кулі Ʃξ²i=1 простору Еn розглянемо функцію

і=1

ƒ(х)=ƒ(ξ1,ξ2,…,ξn)=ǁхǁ=ǁξ1х1+ξ2х2+…+ξnхnǁ. Так як на S всі ξі не можуть бути однозначно повернуті в нуль, тоді в силу лінійної незалежності х1,х2, …, хn маємо f(ξ1, ξ2,…, ξn˃0.

Нерівність |ƒ(ξ1,ξ2,…, ξn)-f(ɳ1,ɳ2,…,ɳn)|=|ǁхǁ-ǁyǁ|≤ǁх-yǁ≤ßǁх-yǁ показує, що ƒ(ξ1,ξ2,…,ξn) неперервна функція. За теоремою Вейерштрасса ця функція досягає на S свого мінімума ɑ. Легко побачити, що ɑ˃0. Отже, для хєS ƒ(х)=ǁхǁ≥ɑ, звідси для будь якого хєЕn знаходимо

n

ƒ( х)=ǁхǁ=ǁхǁǁ Ʃ ξіхі ǁ≥ɑǁхǁ (3)

і=1 n

√Ʃ ξ²ʀ

ʀ=1

З (1) і (3) випливає взаємна неперервність відображення Е на Еn.

З гомоморфізму Е і Еn випливає, що в кінцево значному банановому просторі збіжність за нормою зводиться до координатної збіжності і тому такий простір завжди повний.

Для підпростору лінійного нормованого простору має місце наступна важлива лема створена Ф. Ріссом:

Лема. Нехай L- підпростір лінійного нормованого простору Е, що не співпадає з Е. Тоді для будь якого заданого ԑ˃0 знайдеться в Е такий елемент y з нормою, рівній одиниці, що ǁх-yǁ˃1-ԑ для всіх хєL.

Справді, нехай y̥̥̥ₒ - будь який елементз Е, що належить L, і d=inf ǁyₒ-xǁ

хєL

Тоді d˃0, адже інакше yₒ був би кінцевим елементом для L і відповідно входив би до L, що за умовою неможливо. Для будь якого числа ԑ˃0 знайдеться такий елемент хₒєL, що d≤ǁyₒ-хₒǁ<d+dԑ.

уₒ-хₒ

Покладемо y=ǁyₒ-хₒǁ. Елемент уєL і ǁyǁ=1. Візьмемо будь який елемент х з L. Нехай ξ=хₒ+ǁyₒ-хₒǁх.

уₒ-хₒ 1 1 d ԑ

Тоді

ǁу-хǁ=ǁǁуₒ-хₒǁ-хǁ=ǁуₒ-хₒǁǁуₒ-ξǁ˃d+dԑǁуₒ-ξǁ≥d+dԑ=1- 1+ԑ˃1-ԑ,

що власне і потрібно було довести.

Нехай Е – лінійний нормований простір, Lₒ- його підпростір, Е/Lₒ – відповідний фактор простір. Е/Lₒ допускає наступне нормування: ǁLǁ= inf ǁхǁ для будь якого LєЕ/Lₒ.

хєL

Покажемо, що ǁLǁзадовільняє всім аксіомам норми.

1. Очевидно ǁLǁ≥0. Покажемо, що ǁLǁ=0, тоді і тільки тоді, коли L=Lₒ. Спочатку відзначимо що L це замкнута множина. Нехай {хn}- послідовність елементів з L, що сходиться до хєЕ. Для будь яких n і m xn-xmєLₒ. При m→∞ xn-xm→xn-x.

Так як Lₒ – замкнуте, то хn-хєL0. Тоді х входить разом з хn в L.

Нехай тепер ǁLǁ= inf ǁхǁ=0. Тоді в L існує послідовність {хn} така , що ǁхnǁ →0 тобто

хєL

хn→0. Внаслідок того що L замкнуте воно має містити і 0; але тоді L=Lₒ. Те що ǁLₒǁ=0 очевидно і перша аксіома доведена.

2. Нехай ԑ˃0. З визначення величини ǁL1ǁ і ǁL2ǁ випливає існування елементів х1єL1 і

ɛ ɛ

х2єL2 таких що ǁх1ǁ≤ǁL1ǁ+ 2 , ǁх2ǁ≤ǁL2ǁ+ 2 .

Звідси ǁх1+х2ǁ≤ǁх1ǁ+ǁх2ǁ≤ǁL1ǁ+ǁL2ǁ+ԑ. Тим більше inf ǁхǁ≤ inf

хєL1+L2 х1єL1,х2єL2

ǁх1+х2ǁ≤ǁL1ǁ+ǁL2ǁ+ɛ,

або ǁL1+L2ǁ≤ǁL1ǁ+ǁL2ǁ+ԑ. Враховуючи довільність величини ԑ, отримуємо ǁL1+L2ǁ≤ǁL1ǁ+ǁL2ǁ.

3. ǁλLǁ=ǀλǀǁLǁ. Справді, при λ≠0, ǁλLǁ=inf ǁλхǁ=ǀλǀ inf ǁхǁ=ǀλǀǁLǁ.

хєL хєL

якщо ж λ=0, тоді для будь якого L ǁλLǁ=ǁL0ǁ=0=ǀλǀǁLǁ, і третя аксіома цілком доведена.

Вставимо в завершення, що збіжність за введеною в просторі Е/Lₒ нормою послідовністю класів {Ln} до класу L еквівалентна умові, що існує послідовність елементів {хn}, хnєLn така, що хn→х, хєL.

Нехай ǁLn-Lǁ→0, тобто ǁLn-Lǁ=ԑn, ԑn→0.

Тоді Ln-L містить елемент уn-х такий, що уnєLn, хєL і ǁуn-хǁ<2ԑn.

При цьому в якості х можна взяти будь який фіксований елемент хₒєL.

Справді, якщо ǁуn-хǁ≤2ԑn, де уnєLn, хєL, тоді ǁ(уn-х+хₒ)-хₒǁ≤2ԑn, і так як хₒєL, хєL, тоді хₒ-хєLₒ і хn=уn-х+хₒєLn.

Отже, для елементу хₒєL збудована послідовність {хn}, хnєLn, така що хn→хₒ.

Нехай, знову існує послідовність {хn}, хnєLn, така що хn→х, хєL. Так як ǁLn-Lǁ= inf ǁуn- уǁ≤ǁхn-хǁ, тоді ǁLn-Lǁ→0, твердження доведено.

уnєLn,уєL

Нескладно показати, що якщо Е – повний простір, то Е/Lₒ також повне.

Нехай {Ln} – збіжна в собі послідовність класу просторів Е/Lₒ. Вибираючи в кожному класі Ln по елементу хn, так щоб ǁхn-хmǁ≤2ǁLn-Lmǁ, отримаємо збіжну в собі послідовність {хn} елементів з Е. Так як Е – повний простір, то існує елемент хєЕ такий, що хn→х. Але тоді Ln→L, де L – клас, що містить в собі елемент х, і повнота простору Е/Lₒ доведена.

Нарешті, відзначимо, що якщо Е1, Е2, …, Еn – лінійні нормовані простори і Е – пряма сума цих просторів, тоді Е також можна зробити нормованим.

Наприклад, покладемо для х={х1, х2, …, хn} ǁхǁ=ǁх1ǁ+ǁх2ǁ+…+ǁхǁ.

[Л. А. Люстерник В. И. Соболев. Элементы функционального анализа, с. 68-77].