- •Міністерство освіти і науки України
- •Приклади:
- •§2. Відкриті множини метричних просторів та їх властивості
- •§3. Топологія. Топологічні простори. Приклади
- •§4. Замкнені підмножини топологічного простору
- •§5. Внутрішні точки. Внутрішність підмножини топологічного простору
- •§6. Точки дотику. Замикання підмножин топологічного простору
- •§7. Ізольовані, граничні, межові точки
- •§8. База топологічного простору. Введення топології за допомогою бази
- •§9. Неперервне відображення топологічних просторів. Гомеоморфізми
- •§10. Компактні топологічні простори
- •Список використаної літератури.
§10. Компактні топологічні простори
Нехай X – топологічний простір. Деяка сукупність підмножин називаєтьсяпокриттям простору X, якщо .
Якщо , то система підмножинназиваєтьсяпокриттям множини А, якщо .
Якщо всі - відкриті, то покриття називаєтьсявідкритим. Підпокриттям називається деяка сукупність множин з покриття. Топологічний простір X називається компактним, якщо з будь-якого відкритого його покриття можна виділити скінченне підпокриття.
Приклади:
Числова пряма не є компактним простором, оскільки з його покриття інтервали вигляду неможливо виділити скінченне підпокриття.
Скінченний відкритий інтервал (0, 2) не є компактним простором, оскільки з його покриття інтервали вигляду неможливо виділити скінченне підпокриття.
Замкнений інтервал є компактним простором, що доводиться в лемі Гейне-Бореля.
Нехай Х – деяка множина, - деяка система підмножин з множини Х.називаєтьсяцентрованою, коли кожна скінченна підсистема підмножин з має непустий перетин.
Твердження 1 (критерій компактності простору):
Топологічний простір Х є компактним тоді і тільки тоді, коли кожна центрована система його замкнених підмножин має непустий перетин.
Доведення: Припустимо, що простір Х – компактний і в ньому існує центрована система замкнених підмножин , яка має пустий перетин, тобто, тоді простір. Оскільки- замкнені, то- відкриті, а з рівностівипливає, що підмножиниутворюють відкрите покриття простору Х.
Оскільки простір – компактний, то це покриття містить скінченне підпокриття, тобто існують підмножини , а це протирічить тому, що системає центрованою.
Припустимо,що простір Х задовольняє умову критерію і покажемо, що Х є компактним. Нехай - деяке відкрите покриття простору Х, тобто, тоді. Оскільки- відкриті, то- замкнені. А оскільки, то згідно умові критеріюне може бути центрованою. Тоді існує скінченна сукупність підмножин, тобтопідмножиниутворюють скінченне відкрите підпокриття простору Х. Х є компактним. Що і треба було довести.
Підмножина А топологічного простору Х називається компактною, якщо підпростір є компактним.
Твердження 2: Підмножина А топологічного простору Х є компактною тоді і тільки тоді, коли з кожного покриття множини А відкритими в Х підмножинами можна виділити скінченне підпокриття.
Доведення: Припустимо, що підмножина А є компактною. Нехай - деяке покриття множини А відкритими в просторі Х підмножинами, тобто- відкриті. Тоді
За означенням :
Таким чином, підмножина утворює відкрите покриття підпростору.
Оскільки множина А – компактна, то і - компактний, і значить з його відкритого покриття можна виділити скінченне підпокриття:утворюють скінченне підпокриття множини А відкритими у просторі Х підмножинами, тобто А задовольняє умовам твердження.
Навпаки: припустимо тепер, що А задовольняє умову твердження, тобто покажемо, що А – компактна.
Нехай - довільне покриття відкритими підмножинами простору, тобто. За означенням
Таким чином, утворюють покриття множини А відкритими в Х підмножинами. За умовою твердження з цього покриття можна виділити скінченне підпокриття, тобтоутворюють скінченне відкрите підпокриття підпростору.- компактний, а А – компактна в Х. Все доведено.
Твердження 3: Всяка замкнена підмножина А топологічного простору Х є компактною множиною цього простору.
Доведення: За означенням компактної множини, нам треба довести, що підпростір є компактним. Нехай- деяка центрована система замкнених в просторіпідмножин. За властивістю замкнених підмножин підпростору.
А оскільки підмножина А також замкнена в усьому просторі Х, то показує, що підмножини- замкнені в просторі Х.є і центрованою системою підмножин замкнених в просторі Х. Оскільки Х є компактним, ця система має непустий перетин. Отже, ми довели, що довільна центрована системазамкнених підмножин підпросторумає непустий перетин. За твердженням 1 цей підпростір є компактним. І все доведено.