Задание № 7-Аналитическая динамика

Исследование движения механической системы с двумя степенями свободы методами аналитической механики

Индивидуальное задание по теоретической механике

Задана механическая система с двумя степенями свободы, подчиненная идеальным удерживающим связям. Все нити являются нерастяжимыми, пружины линейно деформируемые. Качение цилиндров по рейкам и плоскостям происходит без проскальзывания. Движение системы происходит в однородном поле тяжести, сопротивления отсутствуют. Массами нитей и пружин пренебречь. Обобщенные координаты указаны на рисунке. Предполагается, что в положении устойчивого равновесия системы обобщенные координаты равны нулю.

1.Составить уравнения Лагранжа второго рода.

2.Составить канонические уравнения Гамильтона.

3.Определить собственные частоты колебаний системы около положения равновесия.

4.Определить коэффициенты формы и построить общее решение дифференциальных уравнений колебаний.

5.Определить закон движения системы в случае, когда в начальный момент времени обобщенные координаты получают заданные отклонения от нулевых значений, а скорости точек системы в начальный момент времени равны нулю.

1	φ
	x
c1	c2

3	2

Вариант № 1

Однородные цилиндры 2 и 3, соединенные спиральной пружиной, могут вращаться вокруг своей общей горизонтальной оси независимо друг от друга. Обобщенная координата x задает положение этой оси. Однородный цилиндр 1 радиуса R вращается около своей неподвижной горизонтальной оси. Обобщенная координата φ представляет собой угол поворота цилиндра 1.

Радиусы цилиндров 2 и 3 связаны соотношением

R3 = 2R2 .

Массы тел связаны равенствами m1 = m2 = 2m3 .

Жесткости пружин представить в виде

c =	1 m k 2			,	c		= m R2k 2			,
1	2	1	0			2	1	2	0

где k0 – заданная величина.

			Вариант № 2
			Цилиндры 1 и 2, соединенные спиральной
		φ1	пружиной, могут вращаться вокруг своей
			общей горизонтальной оси независимо друг от
	c1		друга.	Обощенные	координаты	φ1 ,φ2
		1	представляет собой углы поворота цилиндров
			1 и 2.
			Радиусы однородных цилиндров 1, 2 и 3
			связаны соотношениями
		2		R2 = R1 +2R3 , R2 =3R1 .
φ			Массы тел связаны равенствами
	2			m1 = m3 , m2 = 2m3 .
			Жесткости пружин представить в виде
		3		c1 = 1 m3R12k02 ,	c2 = m3k02 ,
			где k0	4
				– заданная величина.

c2

1 φ

c1

c2

2

x

Вариант № 3

Тело 2 является однородным цилиндром радиуса R. Обобщенная координата x задает положение его горизонтальной оси. Ступенчатый цилиндр 1 вращается около своей неподвижной горизонтальной оси, обощенная координата φ представляет собой его угол поворота.

Радиусы ступенчатого цилиндра 1 равны R и 3R, его радиус инерции относительно оси

вращения iω1 = 2R .

Массы тел связаны равенством m2 = 2m1 . Жесткости пружин представить в виде

c = m R2k 2			,	c		=	1 m k 2			,
1	1	0			2		8	1	0

где k0 – заданная величина.

			Вариант № 4
1			Однородные цилиндры 2 и 3, соединен-
c1			ные спиральной пружиной, могут вращаться
2			вокруг своей общей горизонтальной оси
			независимо друг от друга. Обобщенная
			координата x1 задает положение рейки 1, обоб-
x1			щенная координата x2 задает положение общей
			оси цилиндров.
c			Радиусы цилиндров 2 и 3 связаны соотно-
		3	шением R3 = 2R2 . Массы тел связаны равен-
2			ствами
x2
			m1 = m2 =3m3 .
			Жесткости пружин представить в виде
			c1 = m1k02 , c2 = m1R22k02 ,
	α
			где k0 – заданная величина.

			Вариант № 5
			Однородные цилиндры 1 и 2 катятся без
	c1		проскальзывания по наклонной плоскости. К
1			оси цилиндра 1 при помощи цилиндрического
	3	4	шарнира присоединена рейка 3, по которой
			скользит ползун	4,	шарнирно			связанный с
			осью цилиндра 2. Ползун 4 и цилиндр 2 соеди-
x			нены спиральной пружиной.
	2		Обобщенная координата x задает положе-
			ние оси цилиндра 1. Обобщенная координата s
			задает положение оси цилиндра 2 относи-
	c2		тельно рейки 3.
			Радиусы цилиндров 1 и 2 одинаковы и
	s		равны R. Массы тел связаны равенствами
			m = m ,		m = m =		1 m .
			1	2	3	4	2	1

αЖесткости пружин представить в виде

c1 = m1k02 , c2 = m1R2k02 ,

где k0 – заданная величина.

		Вариант № 6
	4	Однородный цилиндр 3, ось которого го-
x2		ризонтальна, зажат между рейками 1 и 2, дви-
	c	жущимися в наклонных направляющих. Обоб-
	2	щенные координаты x1, x2 задают положения
x1		реек. Однородный цилиндр 4 вращается
		вокруг своей неподвижной горизонтальной
		оси.
c1		Радиусы цилиндров 3 и 4 одинаковы и
	2	равны R. Массы тел связаны равенствами
		m1 = m2 , m3 =8m1 , m4 = 2m1 .
	3	Жесткости пружин представить в виде
1		c1 = 3m1k02 , c2 = 2m1R2k02 ,
	α	где k0 – заданная величина.

α

		Вариант № 7
	x1	Однородные цилиндры 3 и 4, соединен-
		ные спиральной пружиной, могут вращаться
	c1	вокруг своей общей оси независимо друг от
x2		друга. Рейки 1 и 2 движутся в наклонных на-
		правляющих. Обобщенные координаты x1, x2
	1	задают положения реек.
	4	Радиусы цилиндров 3 и 4 связаны соотно-
		шением R3 = 2R4 . Массы тел связаны равен-
2		ствами
	c2	m1 = m2 , m3 = m4 = 2m1 .
		Жесткости пружин представить в виде
		c = m k 2 ,			c	2	=8m R2k 2 ,
		1	1	0			1	4	0

3		α	где k0 – заданная величина.
	α	α

				Вариант № 8
	c1	2		Тело 2 является однородным цилиндром
				радиуса R. Радиусы ступенчатого цилиндра 3
	c2			равны a и 2a. Радиус инерции ступенчатого
				цилиндра 3 относительно его оси
					i		=		a .
					ω3				2
				Массы тел связаны равенствами
	1		y		m2 = 2m1 , m3 =3m1 .
3				Жесткости пружин представить в виде
				c = 2m k 2			, c	2	= m R2k 2 ,
				1	1	0			1	0
	x			где k0 – заданная величина.
				Обобщенная координата x задает положе-
				ние оси ступенчатого цилиндра 3, обобщенная
				координата y задает положение груза 1.

α

		Вариант № 9
	φ	Цилиндры 2 и 3, соединенные спиральной
c1	1	пружиной, могут вращаться независимо друг
		от друга вокруг своей общей оси, положение
		которой задается обобщенной координатой x.
		Обобщенная координата φ представляет собой
		угол поворота цилиндра 1.
2		Радиусы однородных цилиндров 1, 2 и 3
		задаются равенствами
3		R1 = R2 = R , R3 = 2R .
		Массы тел связаны соотношениями
c2		m1 = m2 , m3 = 2m1 .
		Жесткости пружин представить в виде
x		c1 = m1R2k02 , c2 = m1R2k02 ,
		где k0 – заданная величина.

α

φ

c2 1

	c1
3	x

Вариант № 10

Тело 1 является однородным цилиндром радиуса R. Радиусы ступенчатого цилиндра 2 равны 0,5R и 2R. Радиус инерции ступенчатого цилиндра 2 относительно его оси

iω2 = R2 .

Массы тел связаны соотношениями m1 = m2 , m1 = 2m3 .

Жесткости пружин представить в виде

	c = m k 2			, c	2	= 2m R2k 2		,
	1	1	0			1	0
2	где k0 – заданная величина.
	Обобщенная координата x задает положе-

ние оси ступенчатого цилиндра 2, обобщенная координата φ представляет собой угол поворота цилиндра 1.

	Вариант № 11
φ1	Цилиндры 1 и 2 вращаются вокруг общей
	неподвижной оси независимо друг от друга.
1	Обобщенные координаты ϕ1 , ϕ2 представляют
c2	собой углы поворота этих цилиндров.
	Радиусы однородных цилиндров 1, 2 и 3
	связаны соотношениями
2	R1 +R2 = 2R3 , R2 = 2R1 .
	Массы тел связаны равенствами
φ2	m2 =3m1 , m3 = 2m1 .
	Жесткости пружин представить в виде
	c =	1 m k 2			, c		= 1 m R2k 2 ,
	1	4	1	0		2	4	1	1	0

где k0 – заданная величина.

3

c1

Вариант № 12

x2

Однородные цилиндры 2 и 3, соединен-

c1

ные спиральной пружиной, могут вращаться

независимо друг от друга вокруг своей общей

c2

оси, положение которой относительно рейки 1

задается обобщенной координатой

x2 . Обоб-

щенная координата

x1

определяет положение

x1

рейки 1 на наклонной плоскости.

3

Радиусы цилиндров 2 и 3 связаны

соотношением

R3 = 2R2 .

Массы тел связаны соотношениями

2

1

m1 =3(m2 +m3 ).

Жесткости пружин представить в виде

c = (m +m )k 2 , c

2

= (m +m )R2k 2 ,

α

1

2

3

0

2

3

3

0

где k0 – заданная величина.

						Вариант № 13
						Рейка 1 зажата между однородными ци-
						линдрами 2 и 4. Ползун 3 соединен с цилинд-
						ром 2 при помощи цилиндрического шарнира.
c2	4		x1			Обобщенная координата						x1	определяет поло-
						жение	рейки	1,	обобщенная					координата x2
	3
						задает положение оси цилиндра 2.
						Радиус цилиндра 4 равен R. Массы тел
						связаны равенствами								1 m .
							m = m = m ,					m =
	2						1		2	4		3		2	1
						Жесткости пружин представить в виде
							c = m k 2 , c			2	=	1 m R2k 2 ,
	1					где k0	1	1	0			2	1		0
					x2		– заданная величина.

c1

				Вариант № 14
				Тела 1 и 2 являются однородными ци-
			c2	линдрами, положения осей которых задаются
				обобщенными координатами					x1 , x2 . Ползун 3
x2				соединен с цилиндром 2 при помощи
				цилиндрического шарнира.
				Массы тел связаны равенствами
				m = m		,	m =	1 m .
	2			1	2		3	2	1
				Жесткости пружин представить в виде
			x1		1	2			2
				c1 =	4 m1k0		, c2 = m1k0 ,
c1				где k0 – заданная величина.
	3	1

				Вариант № 15
				Цилиндры 2 и 3, соединенные спиральной
	1			пружиной, могут вращаться независимо друг
x2				от друга вокруг своей общей оси, положение
	c			которой задается обобщенной координатой x2 .
				Обобщенная координата x1 определяет поло-
	2			жение рейки 1.
				Радиусы однородных цилиндров 2 и 3
				связаны равенством R3 =3R2 . Массы тел

связаны соотношениями

m1 = m3 , m2 =3m3 .

Жесткости пружин представить в виде

2 3 x1 c1 = 12 m1k02 , c2 = 12 m1R32k02 ,

где k0 – заданная величина.

c1

Вариант № 16

Цилиндры 2 и 3, соединенные спиральной

2

x2

пружиной, могут вращаться независимо друг

c2

от друг вокруг своей общей оси, положение

которой задается обобщенной координатой x2 .

Обобщенная координата

x1 определяет поло-

жение рейки 1.

3

Радиусы однородных цилиндров 2 и 3

связаны равенством

R3

= 2R2 .

Массы тел

1

связаны соотношением

x1

m2 +m3

= 2m1 .

Жесткости пружин представить в виде

c = m k 2 ,

c

2

= 1 m R2k 2 ,

c1

1

1

0

9

1

3

0

где k0 – заданная величина.

x1	c2
	x
	2
	c1

1 3

2

Вариант № 17

Ступенчатый цилиндр 3 зажат между рейками 1 и 2, которые двигаются в вертикальных направляющих. Обобщенные координаты x1 , x2 задают подожения реек.

Радиусы ступенчатого цилиндра 3 равны a и 2a. Радиус инерции ступенчатого цилиндра 3 относительно его оси iω3 = a . Массы

тел связаны соотношениями

m1 =3m3 , m2 = m3 .

Жесткости пружин представить в виде

c1 = m3a2k02 , c2 = 91 m3k02 ,

где k0 – заданная величина.

2	φ2	φ1
		1
	c2	1

4

3

Вариант № 18

Цилиндры 1 и 2 вращаются около своих неподвижных горизонтальных осей. Обобщенные координаты ϕ1 , ϕ2 представляют собой

углы поворота этих цилиндров.

Радиусы однородных цилиндров 1, 2, 3 одинаковы и равны R. Массы тел связаны соотношениями

m1 = m2 = m4 , m3 = 2m1 .

Жесткости пружин представить в виде

c1 = m1k02 , c2 = 14 m1R2k02 ,

где k0 – заданная величина.

c1