matphy_mech_mod1

11

Определение 2.1. Характеристиками линейного уравнения второго порядка (2.1) называются интегральные кривые (2.19) или (2.20).

Разрешим уравнение характеристик (2.19) относительно производной:

dy		a		a122		a11a22
	=		12 ¨ pa11		¡		.	(2.21)
dx

В зависимости от знака дискриминанта D = a212 ¡ a11a22, отнес¨ем уравнение (2.1) к одному из типов, согласно табл. 2.1.

Табл. 2.1. Тип линейного уравнения второго порядка

D = a122 ¡ a11a22	число и тип интегралов (2.21)	тип уравнения (2.1)
D > 0	два действительных	H) гиперболический
D = 0	один действительный	P) параболический
D < 0	два комплексно-сопряж¨енных	E) эллиптический

Отметим без вывода следующий результат:

	= D J2 ;		= a122 ¡ a11a22 ;	(2.22)
D		D

который означает, что при невырожденном преобразовании независимых переменных тип уравнения второго порядка не меняется, т. е. тип уравнения (2.1) есть его инвариантное свойство.

В области гиперболичности D = a212 ¡ a11a22 > 0, поэтому уравнение (2.21) имеет два действительных интеграла '1(x; y) = C1, '2(x; y) = C2. Проделав обратные преобразования, от (2.20) к (2.16), убеждаемся, что функции '1(x; y) = C, '2(x; y) = C суть частные решения уравнения (2.16), следовательно обращают в нуль коэффициенты a11, a22. Отсюда заключаем, что задача обращения в нуль коэффициентов a11, a22 решается пут¨ем введения новых независимых переменных с помощью интегралов '1(x; y) = C1, '2(x; y) = C2:

» = '1(x; y), ´ = '2(x; y) = C.

От старших членов уравнения (2.8) остается только вторая смешанная производная:

	@2u				@u @u
		= © µ»; ´; u;						¶:
2 a12						,			(2.23)
	@»@´				@»		@´

Разделив обе части уравнения на 2 a12 =6 0, приведем уравнение к первой канонической

форме в области гиперболичности:

@2u

µ»; ´; u;

¶;

@u @u

©

= ©H0

,

©H0 =

.

(2.24)

@»@´

@»

@´

2 a12

Введ¨ем ещ¨ одну пару независимых переменных:

8

» = ® + ¯ ;

,

8

® = (» + ´) =2 ;

<

´ = ®

¡

¯ ;

<

¯ = (»

¡

´) =2 ;

тогда

:

:

@u

=

@u @®

+

@u @¯

=

1

µ

@u

+

@u

¶;

@»

@® @»

@¯ @»

2

@®

@¯

@u

=

@u @®

+

@u @¯

=

1

µ

@u

¡

@u

¶;

@´

@® @´

@¯ @´

2

@®

@¯

@2u

@

@u

@

@u

@®

@

@u

@¯

=

µ

¶

=

µ

¶

+

µ

¶

=

@»@´

@´

@»

@®

@»

@´

@¯

@»

@´

=

=

2

·

2 @®

µ@® +

@¯ ¶¸

¡ 2

·

2 @¯

µ@® + @¯

¶¸

1

1 @

@u

@u

1

1 @

@u

@u

1

@2u

@2u

@2u

@2u

1 @2u @2u

=

·

+

¡

¡

¸ =

µ

¡

¶:

4

@®@®

@¯@®

@®@¯

@¯@¯

4

@®2

@¯2

12

(2.25)

(2.26)

(2.27)

(2.28)

В результате получается вторая каноническая форма в области гиперболичности:

@2u @2u

@u

@u

µ®; ¯; u;

,

¶: ©H00

(2.29)

¡

= ©H00

= 4© :

@®2

@¯2

@®

@¯

В области параболичности D = a122 ¡ a11a22 = 0, поэтому уравнение (2.21) имеет один действительный интеграл '1(x; y) = C, с помощью которого обнуляется один из коэффициентов a11, a22, пусть для определ¨енности a11 = 0. Поскольку три коэффициента не могут обратиться в нуль, из условия a212 ¡a11a22 = 0 заключаем, что a12 = 0, a22 =6 0. Если ввести новую независимую переменную как » = '1(x; y), а в качестве второй независимой переменной выбрать произвольную функцию двух переменных '2(x; y), которая не обращает в нуль якобиан J (2.3), то задача упрощения уравнения в области параболичности будет решена. Действительно, после обнуления коэффициентов a11, a12, уравнение принимает вид:

	@2u				@u @u
		= © µ»; ´; u;						¶;
a22						,			(2.30)
	@»@´				@»		@´

и после деления его обеих частей на a22 получается каноническая форма в области параболичности:

@2u

@u @u

©

= ©P µ»; ´; u;

¶;

,

©P =

.

(2.31)

@»@´

@»

@´

a22

13

Вобласти эллиптичности D = a212¡a11a22 < 0, поэтому правые части уравнений (2.21)

иих интегралы уравнений суть комплексно сопряженные:

8

< ' (x; y) = C ;

(2.32)

: '¤(x; y) = C¤ :

Если ввести новые комплексные независимые переменные

8

< » = ' (x; y) ;

(2.33)

: ´ = '¤(x; y) ;

то уравнение (2.8) можно привести к такому же виду, что и в области гиперболичности. Получим каноническую форму в области эллиптичности, введя новые действительные независимые переменные:

8 ® =

2

=

2

¤

= '1(x; y) ;

>

» + ´

'(x; y) + '

(x; y)

>

'¤

(2.34)

>

¯ =

»

¡

´

=

'(x; y)

¡

(x; y)

= ' (x; y) ;

<

>

>

>

2i

2i

2

через которые выразим:новые комплексные независимые переменные:

<

´ = ® ¡ i¯ :

8

» = ® + i¯ ;

(2.35)

Далее: 1) вычислим входящие в выражения:

для коэффициентов a11, a12, a22 (2.9) про-

изводные новых комплексных независимых переменных » и ´ через производные новых действительных независимых переменных ® и ¯ по старым действительным независимым переменным x и y:

8

@»

@®

@¯

,

@´

@®

¡ i

@¯

,

=

+ i

=

@x

@x

@x

@x

@x

@x

(2.36)

>

>

@»

@®

@¯

@´

@®

@¯

>

>

<

i

,

¡

i

,

@y =

@y +

@y

@y = @y

@y

>

>

>

>

2) образуем произведения: вычисленных производных:

8

@» @»

=

@® @®

@¯ @¯

+ i

@® @¯

+ i

@® @¯

,

@x @x

@x @x

¡ @x @x

@x @x

@x @x

>

>

>

@» @»

@® @®

@¯ @¯

@® @¯

@® @¯

>

>

=

+ i

+ i

,

(2.37)

>

@x @y

@x @y ¡ @x @y

@x @y

@y @x

>

>

>

<

= @® @®

+ i @® @¯

+ i @® @¯ ,

>

@» @»

@¯ @¯

>

@y @y

@y @y ¡ @y @y

@y @y

@y @y

>

>

>

>

>

>

>

:

14

>

@´ @´

@® @®

@¯ @¯

@® @¯

@® @¯

>

>

@x @x =

@x @x ¡ @x @x ¡ i @x @x ¡ i @x @x ,

8

>

>

<

@´ @´

@® @®

@¯ @¯

@® @¯

@® @¯

>

>

=

i

i

,

(2.38)

>

@x @y

@x @y ¡ @x @y ¡

@x @y ¡

@y @x

>

>

>

>

>

>

@´ @´ =

@® @®

@¯ @¯

i @® @¯

i @® @¯ ,

>

>

>

:

@y @y ¡ @y @y ¡

@y @y ¡

@y @y

> @y @y

и 3) подставим их в выражения для коэффициентов a11, a12, a22 (2.9):

8

> a = Q[®; ®] ¡ Q[¯; ¯] + 2i Q[®; ¯] = 0 ;

> 11

>

>

<

a12	= Q[®; ®] + Q[¯; ¯]	6= 0 ;	(2.39)
>
>
>	= Q[®; ®] ¡ Q[¯; ¯] ¡ 2i Q[®; ¯] = 0 ;
> a22
Из (2.39) и комплексной: сопряженности коэффициентов a11, a22, т. е. a11 = a22¤ , следует,
что равны нулю их действительная и мнимая части, т. е.
Q[®; ®] = Q[¯; ¯] 6= 0 ;		Q[®; ¯] = 0 :

Отсюда заключаем, что при введении новых действительных независимых переменных ® и ¯ уравнение (2.8) принимает вид:

e

@2u

e

@2u

e

@u @u

µ®; ¯; u; @®,@¯

¶;

(2.40)

a11 @®2

+ a22 @¯2

= ©

где коэффициенты и правая часть таковы:

a

Q ®; ® ; a

Q ®; ¯

; a = Q[¯; ¯]; © = S[®] @u

S[¯] @u

a u + f :

e

e

e

e ¡

=

[ ]

=

[ ] = 0

@® ¡

@¯ ¡ 0

11

12

22

(2.41)

Разделив левую и правую части уравнения (2.40) на ea11 = ea22 6= 0 (2.41), получим

каноническую форму уравнения в эллиптической области, записанную в новых действительных независимых переменных:

			e	e	e			e
@2u	+	@2u	= ©E;	©E =	©	=		©	.	(2.42)
2		2			a11
@®		@¯						a22
					e		e

2.4. Пример решения задачи

Найти области, в которых уравнение сохраняет тип, привести уравнение к каноническому виду в каждой такой области и записать уравнение характеристик:

	@2u		+ y	@2u	= 0 :	(2.43)
	@x2			@y2

15

1)Коэффициенты при старших производных линейного однородного уравнения (2.43)

равны: a11 = 1, a12 = 0, a22 = y (младшие производные отсутствуют), откуда дискриминант D = a212 ¡a11a2 = ¡y. Следовательно, существуют три области, в которых уравнение сохраняет тип:

а) D < 0 при y > 0 (эллиптический тип); б) D = 0 при y = 0 (параболический тип); в) D > 0 при y < 0 (гиперболический тип).

2)Составим уравнение характеристик:

a11 dy2 ¡ 2a12 dy dx + a22 dx2 = dy2 + y dx2 = 0 ;

которое перепишем в виде:

µdy ¶2

dx

= ¡y : (2.44)

3) Перейд¨ем к рассмотрению области эллиптичности.

а) Уравнение характеристик (2.44) здесь расщепляется на две комплексные ветви с разделяющимися переменными:

µ	dy	¶1; 2			= ¨ip		;	(2.45)
						y
	dx
общие интегралы которых суть:
	2p			§ ix = C:				(2.46)
			y

На основе общих интегралов (2.46) введ¨ем новые комплексные независимые перемен-

ные:
8	» = 2p		+ ix ;
		y			(2.47)
<	´ = 2p		¡	ix ;
		y
:

и в соответствии с правилом введения новых действительных независимых переменных, положим:

8	® =	» + ´			= 2p		;
						y
		2		´
>		»
>
>			2i		(2.48)
>
>
>
<	¯ =	¡			= x :
:

б) Определим метрические члены, необходимые для вычисления коэффициентов при младших и старших производных по переменным ® и ¯:

16

@®

@® 1

,

@2®

@2®

@2®

= ¡

1

,

= 0 ;

=p

= 0 ;

= 0 ;

@x

@y

@x2

@x@y

@y2

2yp

y

y

@¯

= 1 ;

@¯

= 0

;

@2¯

= 0 ;

@2¯

= 0 ;

@2¯

= 0 :

@x

@y

@x2

@x@y

@y2

в) Вычислим новые коэффициенты a¹11 и a¹22 при старших производных по переменным ® и ¯ (только для проверки введения новых независимых переменных, поскольку для канонического вида эллиптического уравнения они равны единице):

>

µ

@®

¶µ

@®

¶

µ

@®

¶µ

@®

¶

µ

@®

¶µ

@®

¶

(2.49)

>

= a11

@x

@x

+ 2a12

@x

@y

+ a22

@y

@y

= 1 ;

8 a¹11

µ

¶µ

¶

µ

¶µ

µ

¶µ

< a¹22

= a11

@x

@x

+ 2a12

@x

@y

¶ + a22

@y

@y

¶ = 1 ;

>

@¯

@¯

@¯

@¯

@¯

@¯

>

>

>

:

и члены с младшими производными (младших членов нет в исходном уравнении, но они могут появиться в новых независимых переменных):

µ

@u @2®

@u @2¯

¶ + 2 a12

µ

@u @2®

@u @2¯

¶ + a22

µ

@u @2® @u @2¯

¶ =

a11

+

+

+

@® @x2

@¯ @x2

@® @x@y

@¯

@x@y

@® @y2

@¯ @y2

|{z}

|{z}

3=2

1

0

0

|

{z

}

|

{z

}

|{z}

|{z}

0

0

6=0

0

@u @2®

1

@u

1 y

@u

1

@u (2.48)

@u

= a22

= y

µ¡

y¡

¶

= ¡

= ¡

=

¡

.

(2.50)

@®

@y2

2

@®

2

yp

@®

2p

@®

®

@®

y

y

г) Окончательно получаем канонический вид уравнения (2.43) в области эллиптичности:

@2u @2u			¡		1 @u				(2.51)
	+							= 0 :
@®2		@¯2		® @®

4) Перейд¨ем к рассмотрению области параболичности. Здесь уравнение (2.43) вырождается в следующее:

	@2u	= 0 :	(2.52)
	@x2

формально имеющее канонический вид.

5) Перейд¨ем к рассмотрению области гиперболичности.

а) Уравнение характеристик (2.44) здесь расщепляется на две действительные ветви с разделяющимися переменными:

dy	¶1; 2	= ¨p¡y ;
µdx			(2.53)

								17
общие интегралы которых суть:
2p			§ x = C:					(2.54)
		¡y
На основе общих интегралов (2.54) введ¨ем новые независимые переменные:
8	» = 2p					+ x ;
				¡y				(2.55)
<	´ = 2p						x :
				¡	y	¡
:

б) Определим метрические члены, необходимые для вычисления коэффициентов при младших и старших производных по переменным » и ´:

@»

@»

1

,

@2»

@2»

@2»

1

,

@x

= 1 ;

@y

= p

@x2

= 0 ;

@x@y

= 0 ;

@y2

=

2yp

¡y

¡y

@´

@´

1

,

@2´

@2´

@2´

1

.

@x

= ¡ 1 ;

@y

= p

@x2

= 0 ;

@x@y

= 0 ;

@y2

=

2yp

¡y

¡y

в) Вычислим новые коэффициенты a¹11 и a¹22 при старших производных по переменным » и ´ (только для проверки введения новых независимых переменных, поскольку для канонического вида гиперболического уравнения они равны нулю):

8 a¹11

@»

@»

@»

@»

@»

@»

= a11

¶

+ 2a12

µ

+ a22

µ

= 0

;

@x

@x

@x

@y

@y

@y

>

µ ¶µ

@´

@´

¶µ

¶

¶µ ¶

(2.56)

>

@´

@´

@´

@´

>

µ@x¶µ

@x¶

µ@x¶µ@y ¶ + a22

µ@y ¶µ@y ¶ = 0

< a¹22

= a11

+ 2a12

;

>

>

>

:

и члены с младшими производными (младших членов нет в исходном уравнении, но они могут появиться в новых независимых переменных):

µ

@u @2» @u @2´

¶ + 2 a12

µ

@u @2»

@u @2´

¶

µ

@u @2» @u @2´

¶ =

a11

+

+

+ a22

+

@»

@x2

@´ @x2

@» @x@y

@´ @x@y

@» @y2

@´ @y2

1

|{z}

|{z}(2.55)

2

|

{z

}

|

{z

}

|{z}

|{z}

0

0

0

0

6=0

6=0

@u

@u

@u

=

2yp

µ

+

¶

=

.

(2.57)

@»

@´

» + ´

@»

¡y

г) Окончательно получаем канонический вид уравнения (2.43) в области гиперболич-

ности:
2	@2u	+	1	µ	@u	+	@u	¶ = 0 :	(2.58)
	@x@y		» + ´		@»		@´
									N

18

3.Канонический вид линейного уравнения второго порядка с тремя независимыми переменными

3.1. Постановка задачи

Для однородного линейного уравнения в частных производных второго порядка:

3	3				3
XX				@2u	X		@u
		a			+ a			+ a	u = 0 ;
²=1 ·=1			·² @x·@x²		·=1	· @x·		0

где u = u(x; y; z) искомая функция независимых переменных x; y; z; коэффициенты a·², a·, a0 суть постоянные:

1)составить матрицу коэффициентов A ;

2)найти собственные значения ¸1; ¸2; ¸3, матрицы A ;

3)построить базис из нормированных правых собственных векторов и заполнить ими матрицу R ;

4)привести матрицу A к диагональному виду: ¤ = diag(¸1; ¸2; ¸3) , с помощью преобразования подобия: R>A R = R¡1A R = ¤ , проверив, правильность вычисления собственных значений;

5)выписать главную часть уравнения до и после преобразования независимых переменных;

6)получить выражение для группы младших членов уравнения.

3.2.Варианты задачи

1.

@2u

@2u

@2u

@2u

@u

@u

@u

¡

+ 2

+ 2

¡ 2

+

+ 2

¡ 3

+ 2 u = 0 :

@x@x

@y@y

@z@z

@y@z

@x

@y

@z

2.

@2u

@2u

@2u

@2u

@u

@u

@u

¡ 2

+

¡ 4

+ 2

+ 2

¡

¡ 5 u = 0 :

@x@x

@y@y

@z@z

@x@z

@x

@y

@z

3.

@2u

@2u

@2u

@2u

@u

@u

@u

3

+ 3

¡ 4

¡ 2

¡ 3

¡ 2

+

+ 4 u = 0 :

@x@x

@y@y

@z@z

@x@y

@x

@y

@z

4.

@2u

@2u

@2u

@2u

@u @u

@u

+

+ 3

¡ 2

¡

¡

+

¡ 6 u = 0 :

@x@x

@y@y

@z@z

@x@y

@x

@y

@z

5.

@2u

@2u

@2u

@2u

@u

@u

@u

2

+ 3

+ 3

¡ 4

¡ 2

¡ 3

+ 2

+ 4 u = 0 :

@x@x

@y@y

@z@z

@y@z

@x

@y

@z

6.

@2u

@2u

@2u

@2u

@u

@u

@u

4

¡ 3

¡ 3

¡ 2

+

¡ 3

+ 2

+ 9 u = 0 :

@x@x

@y@y

@z@z

@y@z

@x

@y

@z

7.

@2u

@2u

@2u

@2u

@u @u

@u

+

¡ 4

¡ 6

+

¡

+ 3

+ 5 u = 0 :

@x@x

@y@y

@z@z

@x@y

@x

@y

@z

19

8.

@2u

@2u

@2u

¡ 2

@2u

¡

@u

@u @u

¡ 4 u = 0 :

3

+ 3

+ 3

+

+

@x@x

@y@y

@z@z

@x@y

@x

@y

@z

9.

2

@2u

+ 2

@2u

¡ 4

@2u

¡ 4

@2u

+

@u

¡ 2

@u

¡ 2

@u

¡ 7 u = 0 :

@x@x

@y@y

@z@z

@x@y

@x

@y

@z

10.

@2u

@2u

@2u

¡ 4

@2u

@u @u

@u

2

+ 3

+ 3

+

+

+ 2

+ 2 u = 0 :

@x@x

@y@y

@z@z

@y@z

@x

@y

@z

11.

@2u

@2u

@2u

@2u

@u @u

@u

+

+ 3

¡ 2

+

¡

+

+ 8 u = 0 :

@x@x

@y@y

@z@z

@x@y

@x

@y

@z

12.

@2u

@2u

@2u

@2u

@u

@u

@u

2

+ 2

+ 2

+ 2

+ 3

+ 2

+

¡ 9 u = 0 :

@x@x

@y@y

@z@z

@y@z

@x

@y

@z

13.

@2u

@2u

@2u

¡ 2

@2u

@u

¡ 2

@u

@u

+

+ 3

+

+ 3

+ 2 u = 0 :

@x@x

@y@y

@z@z

@x@y

@x

@y

@z

14.

@2u

@2u

@2u

@2u

@u

@u

@u

2

+ 2

+ 3

¡ 4

+ 2

¡ 2

+ 3

¡ 2 u = 0 :

@x@x

@y@y

@z@z

@y@z

@x

@y

@z

15.

@2u

@2u

@2u

@2u

@u @u

@u

3

¡ 3

¡ 3

¡ 2

+

¡

¡

¡ 3 u = 0 :

@x@x

@y@y

@z@z

@y@z

@x

@y

@z

16.

@2u

@2u

@2u

¡ 2

@2u

@u

@u

@u

¡ 4 u = 0 :

+ 3

+

+

+ 3

+ 2

@x@x

@y@y

@z@z

@x@z

@x

@y

@z

17.

@2u

@2u

@2u

@2u

@u

@u

@u

+

¡ 3

¡ 6

¡ 2

+ 3

+

+ 3 = 0 :

@x@x

@y@y

@z@z

@x@y

@x

@y

@z

18.

@2u

@2u

@2u

@2u

@u

@u @u

2

¡

+ 2

¡ 2

+

¡

¡

+ 2 u = 0 :

@x@x

@y@y

@z@z

@x@z

@x

@y

@z

19.

@2u

@2u

@2u

@2u

@u

@u

@u

2

+ 2

+ 3

¡ 4

¡ 2

¡ 2

+

¡ 5 u = 0 :

@x@x

@y@y

@z@z

@x@y

@x

@y

@z

20.

@2u

@2u

@2u

@2u

@u

@u

@u

¡ 3

¡ 3

¡ 2

+

¡

+ 3

¡ 7 u = 0 :

@x@x

@y@y

@z@z

@y@z

@x

@y

@z

21.

¡

@2u

¡ 2

@2u

¡

@2u

¡ 4

@2u

¡

@u

@u @u

+

+

+ 2 u = 0 :

@x@x

@y@y

@z@z

@x@z

@x

@y

@z

20

22.

@2u

@2u

@2u

@2u

@u

@u @u

¡2

+ 2

¡ 2

¡ 2

+ 3

¡ 2

+

+ 3 u = 0 :

@x@x

@y@y

@z@z

@x@z

@x

@y

@z

23.

@2u

@2u

@2u

@2u

@u

@u

@u

¡2

¡ 2

+ 2

+ 2

+

¡ 2

+

+ 5 u = 0 :

@x@x

@y@y

@z@z

@x@y

@x

@y

@z

24.

@2u

@2u

@2u

@2u

@u @u

@u

2

+ 2

+ 3

¡ 4

+

¡

+

+ 6 u = 0 :

@x@x

@y@y

@z@z

@x@y

@x

@y

@z

25.

@2u

@2u

@2u

@2u

@u @u

@u

+ 4

+

¡ 2

+

¡

+

¡ 8 u = 0 :

@x@x

@y@y

@z@z

@x@z

@x

@y

@z

26.

@2u

@2u

@2u

@2u

@u @u

@u

+ 2

+

+ 4

+

+

¡

¡ 3 u = 0 :

@x@x

@y@y

@z@z

@x@z

@x

@y

@z

27.

@2u

@2u

@2u

@2u

@u @u

@u

3

+ 2

+ 3

¡ 6

+

¡

+

¡ 5 u = 0 :

@x@x

@y@y

@z@z

@x@z

@x

@y

@z

28.

@2u @2u

@2u

@2u

@u @u @u

+

+

¡ 2

+

¡

¡

+ 4 u = 0 :

@x@x

@y@y

@z@z

@x@z

@x

@y

@z

29.

@2u

@2u

@2u

@2u

@u @u

@u

¡ 7 u = 0 :

+ 5

+

+ 2

+

+

+

@x@x

@y@y

@z@z

@x@z

@x

@y

@z

30.

@2u

@2u

@2u

@2u

@u

@u @u

¡ 3

+

¡ 6

+

+ 2

¡

+ 5 u = 0 :

@x@x

@y@y

@z@z

@x@z

@x

@y

@z

31.

@2u

@2u

@2u

@2u

@u @u

@u

2

+ 2

¡

¡ 2

+

¡

+ 2

¡ 3 u = 0 :

@x@x

@y@y

@z@z

@x@y

@x

@y

@z

32.

@2u

@2u

@2u

@2u

@u @u

@u

2

+ 2

¡ 4

¡ 2

+

¡

+ 2

+ 3 u = 0 :

@x@x

@y@y

@z@z

@x@y

@x

@y

@z

3.3. Пример решения задачи

Рассмотрим приведение к каноническому виду следующего линейного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:

2

@2u

+

@2u

¡ 4

@2u

¡ 4

@2u

+ 6

@u

¡

@u

= 0 .

(3.1)

@x@x

@y@y

@x@y

@y@z

@x

@y

Для того, чтобы облегчить составление матрицы коэффициентов уравнения (3.1), изменим обозначения для независимых переменных: