matphy_mech_mod1

Задачи для самостоятельной работы к модулю №1
	по предмету
Уравнения математической физики\
"	для специальности Механика\
	"
	15 февраля 2014 г.
	Содержание
Введение		2
1. Дифференциальные операторы теории поля		3

1.1.Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.Варианты задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.Канонический вид линейного уравнения второго порядка

с двумя независимыми переменными

5

2.1.Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.Варианты задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3.Приведение линейного уравнения к каноническому виду . . . . . . . . . . . . 8

2.4. Пример решения задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	14
3. Канонический вид линейного уравнения второго порядка
с тремя независимыми переменными	18

3.1.Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2.Варианты задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3. Пример решения задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1

2

Введение

Модуль №1 по предмету "Уравнения математической физики\ для специальности "Механика\ включает:

1)решение тр¨ех задач (самостоятельная работа, 3 £ 3 = 9 баллов);

2)решение задач (письменно, в аудитории, после сдачи для проверки не менее двух задач для самостоятельной работы; 6 баллов);

3)теоретическую часть (устно, в аудитории, после набора не менее 3 баллов за решение задач в аудитории; 10 баллов).

Общее количество баллов за модуль №1 равно 25.

Индивидуальные варианты задач распределены в соответствии с табл. 0.1.

Табл. 0.1. Распределение вариантов задания

группа	варианты
МХ–12–01	01–17
МХ–12–02	18–31

3

1. Дифференциальные операторы теории поля

1.1. Постановка задачи

Для заданных скалярных u(x) или векторных a(x) полей применить в указанной последовательности операторы r, r¢, r£; c, e постоянные векторы.

1.2.Варианты задачи

1.a(x) = '(x) x: 1) u(x) = r ¢ a(x); 2) r £ a(x); 3) b(x) = ru(x); 4) rb(x) .

2.a(x) = '(jxj) x: 1) u(x) = r ¢ a(x); 2) r £ a(x); 3) b(x) = ru(x); 4) rb(x) .

3.a(x) = '(jxj2) x: 1) u(x) = r ¢ a(x); 2) r £ a(x); 3) b(x) = ru(x); 4) rb(x) .

4.u(x) = '(x): 1) a(x) = ru(x); 2) v(x) = r ¢ a(x); 3) r £ a(x); 4) ra(x) .

5.u(x) = '(jxj): 1) a(x) = ru(x); 2) v(x) = r ¢ a(x); 3) r £ a(x); 4) ra(x) .

6.u(x) = '(jxj2): 1) a(x) = ru(x); 2) v(x) = r ¢ a(x); 3) r £ a(x); 4) ra(x) .

7.u(x) = x ¢ r'(x): 1) a(x) = ru(x); 2) v(x) = r ¢ a(x); 3) r £ a(x); 4) ra(x) .

8.u(x) = x ¢ r'(jxj): 1) a(x) = ru(x); 2) v(x) = r ¢ a(x); 3) r £ a(x); 4) ra(x) .

9.u(x) = x ¢ r'(jxj2): 1) a(x) = ru(x); 2) v(x) = r ¢ a(x); 3) r £ a(x); 4) ra(x) .

10.a(x) = '(x) x: 1) b(x) = r £ a(x); 2) r £ b(x); 3) r(a(x) ¢ b(x)); 4) rb(x) .

11.a(x) = '(jxj) x: 1) b(x) = r £ a(x); 2) r £ b(x); 3) r(a(x) ¢ b(x)); 4) rb(x) .

12.a(x) = '(jxj2) x: 1) b(x) = r £ a(x); 2) r £ b(x); 3) r(a(x) ¢ b(x)); 4) rb(x) .

13.a(x) = jxj x: 1) r ¢ a(x); 2) r £ a(x); 3) ra(x); 4) r ¢ (a(x) a(x)) .

14.a(x) = jxj2 x: 1) r ¢ a(x); 2) r £ a(x); 3) ra(x); 4) r ¢ (a(x) a(x)) .

15.u(x) = c ¢ x '(x): 1) a(x) = ru(x); 2) v(x) = r ¢ a(x); 3) r £ a(x); 4) ra(x) .

16.u(x) = c ¢ x '(jxj): 1) a(x) = ru(x); 2) v(x) = r ¢ a(x); 3) r £ a(x); 4) ra(x) .

17.u(x) = c ¢ x '(jxj2): 1) a(x) = ru(x); 2) v(x) = r ¢ a(x); 3) r £ a(x); 4) ra(x) .

18.a(x) = c £ x: 1) u(x) = r ¢ (x ¢ a(x)); 2) r £ a(x); 3) b(x) = ru(x); 4) rb(x) .

19.a(x) = (c £ x) £ x: 1) u(x) = r ¢ (c ¢ a(x)); 2) r £ a(x); 3) b(x) = ru(x); 4) rb(x) .

4

20.a(x) = c £ (c £ x): 1) u(x) = r ¢ (x ¢ a(x)); 2) r £ a(x); 3) b(x) = ru(x); 4) rb(x) .

21.a(x) = (c ¢ x) x: 1) u(x) = r ¢ a(x); 2) r £ a(x); 3) b(x) = ru(x); 4) rb(x) .

22.a(x) = (c ¢ x)2x: 1) u(x) = r ¢ a(x); 2) r £ a(x); 3) b(x) = ru(x); 4) rb(x) .

23.a(x) = jc £ xj x: 1) u(x) = r ¢ a(x); 2) r £ a(x); 3) b(x) = ru(x); 4) rb(x) .

24.a(x) = jc £ xj2x: 1) u(x) = r ¢ a(x); 2) r £ a(x); 3) b(x) = ru(x); 4) rb(x) .

25.a(x) = (c ¢ x)2c: 1) u(x) = r ¢ a(x); 2) r £ a(x); 3) b(x) = ru(x); 4) r(jxj b(x)) .

26.a(x) = jxj2c: 1) u(x) = r ¢ a(x); 2) r £ a(x); 3) b(x) = ru(x); 4) r(u(x) b(x)) .

27.u(x) = ln jxj: 1) a(x) = ru(x); 2) v(x) = r¢(jxj a(x)); 3) r£(jxj a(x)); 4) r(jxj a(x)) .

28.u(x) = ln jxj2: 1) a(x) = ru(x); 2) v(x) = r ¢ a(x); 3) r £ a(x); 4) ra(x) .

29.a(x) = e £(c £x): 1) u(x) = r¢ (x ¢a(x)); 2) r£ a(x); 3) b(x) = ru(x); 4) rb(x) .

30.a(x) = (c ¢ x)(e ¢ x)x: 1) u(x) = r ¢ a(x); 2) r £ a(x); 3) b(x) = ru(x); 4) rb(x) .

31.a(x) = jc £ xjje £ xj x: 1) u(x) = r ¢ a(x); 2) r £ a(x); 3) b(x) = ru(x); 4) rb(x) .

32.a(x) = jc £ xj(e ¢ x)x: 1) u(x) = r ¢ a(x); 2) r £ a(x); 3) b(x) = ru(x); 4) rb(x) .

5

2.Канонический вид линейного уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными

2.1. Постановка задачи

Для однородного линейного уравнения с частными производными второго порядка:

a

@2u

+ 2a

@2u

+ a

@2u

+ a

@u

+ a

@u

+ a

u = 0 ;

11 @x@x

12 @x@y

22 @y@y

@x

2 @y

1

0

где u = u(x; y) искомая функция независимых переменных x; y; коэффициенты a11, a12, a22, a1, a2, a0 суть известные функции x; y:

1)записать уравнение характеристик;

2)найти области, в которых уравнение сохраняет тип;

3)привести уравнение к каноническому виду в каждой такой области;

2.2.Варианты задачи

1.

@2u

¡ 4

@2u

+ x

@2u

+ 5

@u

+ 3

@u

+ 2 u = 0

@x@x

@x@y

@y@y

@x

@y

2.

x2

@2u

+ 6x

@2u

+ 2

@2u

+ 2

@u

+ 5

@u

+ 3 u = 0

@x@x

@x@y

@y@y

@x

@y

3.

@2u

+ 6

@2u

+ x

@2u

¡ 7

@u

+ 3

@u

+ 3 u = 0

@x@x

@x@y

@y@y

@x

@y

4.

@2u

@2u

@u

@u

@u

x

+ y

+ 2

+ 5

¡ 3

+ 6 u = 0

@x@x

@y@y

@x

@x

@y

5.

x

@2u

+ 6

@2u

+

@2u

+ 8

@u

¡ 3

@u

¡ 4 u = 0

@x@x

@x@y

@y@y

@x

@y

6.

@2u

@2u

@2u

@u

@u

+ 2

¡ x

+ 8

¡ 3

¡ 2 u = 0

@x@x

@x@y

@y@y

@x

@y

7.

xy

@2u

+ 16x

@2u

+ xy

@2u

¡ 3

@u

+ 2

@u

¡ 4 u = 0

@x@x

@x@y

@y@y

@x

@y

8.

x2

@2u

¡ 8xy

@2u

+ y2

@2u

+ 6

@u

¡ 8

@u

+ 2 u = 0

@x@x

@x@y

@y@y

@x

@y

9.

@2u

@2u

¡ xy2

@2u

@u

@u

+ y

¡ 3

+ 4

¡ 5 u = 0

@x@x

@x@y

@y@y

@x

@y

6

10.

@2u

@2u

@2u

@u

@u

signy

+ 2

+ signx

+ 3

¡ 5

+ 7 u = 0

@x@x

@x@y

@y@y

@x

@y

11.

y

@2u

¡ 2y

@2u

+ y2

@2u

¡ 7

@u

+ 3

@u

+ 3 u = 0

@x@x

@x@y

@y@y

@x

@y

12.

x

@2u

¡ 4x

@2u

+ x2

@2u

+ 2

@u

+ 3

@u

+ 3 u = 0

@x@x

@x@y

@y@y

@x

@x

13.

@2u

@2u

@2u

@u

@u

+ 8y

¡ y2

¡ 2

+ 4

¡ 7 u = 0

@x@x

@x@y

@y@y

@x

@y

14.

@2u

¡ 2 cos x

@2u

+ (4 ¡ sin2 x)

@2u

+ 2

@u

¡ 9

@u

+ 3 u = 0

@x@x

@x@y

@y@y

@x

@y

15.

x2

@2u

@2u

¡ 5y2

@2u

@u

@u

¡ 4xy

¡ 5

¡ 7

+ 2 u = 0

@x@x

@x@y

@y@y

@x

@y

16.

x2

@2u

+ 2x

@2u

¡ 3

@2u

¡ 3

@u

+ 2

@u

¡ 3 u = 0

@x@x

@x@y

@y@y

@x

@y

17.

@2u

@2u

¡ 6

@u

@u

3x

+ 3y

+ 2

+ 4 u = 0

@x@x

@y@y

@x

@y

18.

@2u

@2u

¡ 6y2

@2u

@u

@u

2

+ 4y

+ 7

+ 2

+ 7 u = 0

@x@x

@x@y

@y@y

@x

@y

19.

@2u

@2u

@2u

@u

@u

¡ 3 u = 0

signx

+ 4

+ 2

+ 2

+ 3

@x@x

@x@y

@y@y

@x

@y

20.

@2u

@2u

2x @2u

@u

@u

2xy

+ 6x

+

¡ 4

+ 2

+ 3 u = 0

@x@x

@x@y

y

@y@y

@x

@y

21.

2

@2u

¡ 6y

@2u

+ y2

@2u

+ 2

@u

+ 4

@u

+ 5 u = 0

@x@x

@x@y

@y@y

@x

@y

22.

@2u

@2u

2 @2u

@u

@u

2y

+ 3

¡

+ 3

+ 2

¡ 3 u = 0

@x@x

@x@y

y

@y@y

@x

@y

23.

2x

@2u

¡ 8x

@2u

+ x

@2u

+ 3

@u

+ 2

@u

¡ 5 u = 0

@x@x

@x@y

@y@y

@x

@y

7

24.

2x

@2u

+ 2y

@2u

+

@u

+ 2

@u

+ 2

@u

+ 2 u = 0

@x@x

@y@y

@x

@x

@y

25.

x @2u

@2u

y2 @2u

@u

@u

¡

¡ 2y

+

+ 2

¡ 7

¡ 6 u = 0

4

@x@x

@x@y

x @y@y

@x

@y

26.

@2u

@2u

@u

@u

¡xy

+ y

¡ 3

+ 2

¡ 5 u = 0

@x@x

@y@y

@x

@y

27.

@2u

@2u

¡ x

@2u

@u

¡ 3

@u

¡ 4 u = 0

+ y

+ 2

@x@x

@x@y

@y@y

@x

@y

28.

x2

@2u

¡ 4xy

@2u

¡ 5y2

@2u

+ 2

@u

+ 3

@u

¡ 9 u = 0

@x@x

@x@y

@y@y

@x

@y

29.

@2u

@2u

+ 3y2

@2u

@u

@u

¡ 3 u = 0

+ 4y

+ 2

+ 4

@x@x

@x@y

@y@y

@x

@y

30.

(y + 3)

@2u

+ y

@2u

+

@2u

+ 3

@u

+ 2

@u

+ 4 u = 0

@x@x

@x@y

@y@y

@x

@y

31.

@2u

@2u

@u

@u

@u

¡x

¡ y

+ 2

+ 2

¡ 2

¡ 7 u = 0

@x@x

@y@y

@x

@x

@y

32.

@2u

¡ y2

@2u

@u

@u

y

+ 2

¡ 3

+ 4 u = 0

@x@x

@y@y

@x

@y

8

2.3. Приведение линейного уравнения к каноническому виду

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение с частными производными второго порядка:

	@2u		@2u		@2u	@u			@u	+ a0u = f ; (x; y) 2 D :	(2.1)
a11		+ 2a12		+ a22		+ a1		+ a2
	@x@x		@x@y		@y@y		@x		@y

Сделаем в окрестности произвольной точки (x0; y0) 2 D невырожденную замену независимых переменных:

<	´ = ´(x; y) ;	,	< y = y(»; ´) :
8	» = »(x; y) ;		8 x = x(»; ´) ;	(2.2)
:			:

Для этого необходимо и достаточно отличия от нуля якобиана J прямого или якобиана I обратного преобразований:

@(»; ´)

¯

¯

@(x; y)

¯

¯

J =

=

@x

@y

I =

=

@»

@´

JI = 1 : (2.3)

¯

@»

@»

¯ = 0 ;

¯

@x

@x

¯ = 0 ;

¯

@(x; y)

¯

¯

@´ @´

¯

6

¯

@(»; ´)

¯

¯

@y @y

¯

6

¯

¯

¯

@x

@y

¯

¯

¯

¯

@»

@´

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

Выразим производные u(x; y) первого и второго порядков по старым независимым переменным (x; y) через производные по новым независимым переменным (»; ´):

@u

@u @»

@u @´ ,

@u

@u @»

@u @´ ,

(2.4)

=

+

=

+

@x

@»

@x

@´ @x

@y

@»

@y

@´ @y

|{z}

|{z}

|{z}

|{z}

1

2

1

2

@2u

@

@u

@

@u @»

@u @´

=

µ

¶

=

µ

+

¶ =

@x@x

@x

@x

@x

@»

@x

@´

@x

@2u @»

@2u @´ @»

@2u @» @2u @´ @´ @u @2» @u @2´

=µ

+

¶

+µ

+

¶

+

+

,

(2.5)

@»@»

@x

@»@´ @x

@x

@´@»

@x

@´@´

@x

@x

@»

@x2

@´

@x2

| {z }

|

{z

}

|

{z

}

|

{z

}

|{z}1

|{z}2

11

12

12

22

@2u

@

@u

@

@u @»

@u @´

=

µ

¶

=

µ

+

¶ =

@x@y

@y

@x

@y

@»

@x

@´

@x

@2u @»

@2u @´ @»

@2u @» @2u @´ @´ @u @2»

@u @2´

=µ

+

¶

+µ

+

¶

+

+

,

(2.6)

@»@»

@y

@»@´ @y

@x

@´@»

@y

@´@´ @y

@x

@»

@x@y

@´

@x@y

@| {z }

|

@u @»

|

{z

}

|

{z

}

|{z}

|{z}

@{z }

11

12

12

22

1

2

@2u

@u

@u @´

=

µ

¶

=

µ

+

¶ =

@y@y

@y

@y

@y

@»

@y

@´

@y

@2u @»

@2u @´ @»

@2u @»

@2u @´ @´ @u @2» @u @2´

=µ

+

¶

+µ

+

¶

+

+

.

(2.7)

@»@»

@y

@»@´ @y

@y

@´@»

@y

@´@´ @y

@y

@»

@y2

@´

@y2

| {z }

|

{z

}

|

{z

}

|

{z

}

|{z}1

|{z}2

11

12

12

22

9

Осуществим подстановку выражений производных первого (2.4) и второго (2.5), (2.6), (2.7) порядков в уравнение (2.1), произвед¨ем группировку членов с одинаковыми вторыми производными (обозначены 11, 12, 22) и запишем уравнение (2.1) в новых независимых переменных:

@2u

@2u

@2u

@u @u

a11 (»; ´)

+ 2 a12 (»; ´)

+ a22

(»; ´)

= © µ»; ´; u;

,

¶;

(2.8)

@»@»

@»@´

@´@´

@»

@´

где

>

@» @»

@» @»

@» @»

= a11 @x @x

+ 2a12 @x @y + a22 @y @y ,

8 a11

>

>

µ

¶

>

<

@» @´

@» @´

@» @´

@» @´

>

> a

12

= a

11

+ a

12

+

+ a

,

(2.9)

>

@x @x

@x @y

@y @x

22

@y @y

>

>

>

>

>

= a11

@´ @´

+ 2a12

@´ @´ + a22

@´ @´ ,

> a22

>

>

:

@x @x

@x @y

@y @y

>

@u @»

@u @´

@u @»

@u @´

© = ¡a1µ

+

¶

¡ a2µ

+

¶ ¡ a0u + f¡

@»

@x

@´

@x

@»

@y

@´ @y

|

{z

}

|

{z

}

|

@u=@x

{z

@u=@y

}

© µ»; ´;

@»

@´ ¶

u;

@u

,@u

@u @2» @u @2´

@u @2»

@u @2´

@u @2»

@u @2´

¡ a11

µ

+

¶ ¡ 2a12

µ

+

¶

¡ a22

µ

+

¶:

(2.10)

@» @x2

@´

@x2

@»

@x@y

@´

@x@y

@»

@y2

@´ @y2

Если ввести дифференциальные операторы

@' @Ã

@' @Ã

@' @Ã

@' @Ã

Q['; Ã] = a11

+ a12

µ

+

¶ + a22

,

(2.11)

@x

@x

@x @y

@y

@x

@y

@y

@2'

@2'

@2'

@'

@'

,

(2.12)

S['] = a11 @x@x + 2a12 @x@y + a22 @y@y

+ a1 @x

+ a2 @y

коэффициенты a11, a12, a22 (2.9) при вторых производных и правая часть © (2.10) преобразованного уравнения (2.8) допускают краткую запись:

				@u		@u		¡ a0u + f : (2.13)
	a11 = Q[»; »]; a12 = Q[»; ´]; a22 = Q[´; ´]; © = ¡S[»]				¡ S[´]
				@»		@´

Поставим задачу упрощения преобразованного уравнения (2.8), (2.9), (2.10) как задачу обращения в нуль одного или двух его коэффициентов, например, a11. Для этого новая

10

независимая переменная »(x; y) (2.2), должна быть выбрана так, чтобы в окрестности точки (x0; y0) выполнялось следующее равенство:

a11

@» @»

+ 2a12

@» @»

+ a22

@» @»

= 0 ;

(2.14)

@x @x

@x @y

@y @y

которое есть нелинейное уравнение в частных производных первого порядка относительно функции »(x; y). Легко заметить, что решая задачу обращения в нуль второго коэффициента a22, получим уравнение относительно функции ´(x; y):

a11

@´ @´

+ 2a12

@´ @´

+ a22

@´ @´

= 0 ;

(2.15)

@x @x

@x @y

@y @y

строение и коэффициенты которого совпадают со строением и коэффициентами уравнения (2.14). Поэтому далее рассмотрим общий случай, который включает уравнения (2.14) и (2.15):

a11

@' @'

+ 2a12

@' @'

+ a22

@' @'

= 0 :

(2.16)

@x @x

@x @y

@y @y

Пусть '(x; y) частное решение уравнения (2.16), из которого образуем выражение '(x; y) = C. С геометрической точки зрения, частное решение есть некоторая поверхность z = '(x; y), тогда как выражение '(x; y) ¡ C = 0 представляет результат пересечения поверхности z = '(x; y) горизонтальной плоскостью z = C, т.е. некоторую линию, или, теперь уже с точки зрения анализа, неявную функцию, которую, как будет ясно из дальнейшего, можно будет разрешить в следующем виде: 1) y = y(x), 2) x = x(y), или 3) x = x(s), y = y(s). Действительно, дифференцируя неявную функцию, получим:

d('(x; y) ¡ C) =

@'

dx +

@'

dy = 0 ;

(2.17)

@x

@y

откуда

@'

= ¡

@'

dy

,

@'

@'

dx

.

(2.18)

@x

@y dx

@y

= ¡@x dy

Подставляя выражение (2.18) для первой частной производной @'=@x или @'=@y в уравнение в частных производных (2.16), получим теперь уже нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка:

dy dy

dy dx

dx dx

(2.19)

a11

¡ 2 a12

+ a22

= 0 :

ds

ds

ds

ds

ds

ds

Часто удобна следующая симметричная относительно x и y форма этого уравнения

a11 dy dy ¡ 2 a12 dy dx + a22 dx dx = 0 ;

(2.20)

называемая наравне с (2.19) уравнением характеристик для линейного уравнения второго порядка (2.1).