matphy_mech_01_02

Задачи для самостоятельной работы к модулю №1 по предмету

"Уравнения математической физики\ для специальности "Механика\

3 марта 2014 г.

Содержание
Введение	2
1. Дифференциальные операторы теории поля	3

1.1.Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.Варианты задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.Канонический вид линейного уравнения второго порядка

с двумя независимыми переменными

5

2.1.Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.Варианты задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3.Приведение линейного уравнения к каноническому виду . . . . . . . . . . . . 8

2.4. Пример решения задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	14
3. Канонический вид линейного уравнения второго порядка
с тремя независимыми переменными	18

3.1.Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2.Варианты задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3. Пример решения задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1

2

Введение

Модуль №1 по предмету "Уравнения математической физики\ для специальности "Механика\ включает:

1)решение тр¨ех задач (самостоятельная работа, 3 × 3 = 9 баллов);

2)решение задач (письменно, в аудитории, после сдачи для проверки не менее двух задач для самостоятельной работы; 6 баллов);

3)теоретическую часть (устно, в аудитории, после набора не менее 3 баллов за решение задач в аудитории; 10 баллов).

Общее количество баллов за модуль №1 равно 25.

Индивидуальные варианты задач распределены в соответствии с табл. 0.1.

Табл. 0.1. Распределение вариантов задания

группа	варианты
МХ–12–01	01–14
МХ–12–02	15–31

3

1. Дифференциальные операторы теории поля

1.1. Постановка задачи

Для заданных скалярных u(x) или векторных a(x) полей применить в указанной последовательности операторы , ·, ×; c, e — постоянные векторы.

1.2.Варианты задачи

1.a(x) = φ(x) x: 1) u(x) = · a(x); 2) × a(x); 3) b(x) = u(x); 4) b(x) .

2.a(x) = φ(|x|) x: 1) u(x) = · a(x); 2) × a(x); 3) b(x) = u(x); 4) b(x) .

3.a(x) = φ(|x|2) x: 1) u(x) = · a(x); 2) × a(x); 3) b(x) = u(x); 4) b(x) .

4.u(x) = φ(x): 1) a(x) = u(x); 2) v(x) = · a(x); 3) × a(x); 4) a(x) .

5.u(x) = φ(|x|): 1) a(x) = u(x); 2) v(x) = · a(x); 3) × a(x); 4) a(x) .

6.u(x) = φ(|x|2): 1) a(x) = u(x); 2) v(x) = · a(x); 3) × a(x); 4) a(x) .

7.u(x) = x · φ(x): 1) a(x) = u(x); 2) v(x) = · a(x); 3) × a(x); 4) a(x) .

8.u(x) = x · φ(|x|): 1) a(x) = u(x); 2) v(x) = · a(x); 3) × a(x); 4) a(x) .

9.u(x) = x · φ(|x|2): 1) a(x) = u(x); 2) v(x) = · a(x); 3) × a(x); 4) a(x) .

10.a(x) = φ(x) x: 1) b(x) = × a(x); 2) × b(x); 3) (a(x) · b(x)); 4) b(x) .

11.a(x) = φ(|x|) x: 1) b(x) = × a(x); 2) × b(x); 3) (a(x) · b(x)); 4) b(x) .

12.a(x) = φ(|x|2) x: 1) b(x) = × a(x); 2) × b(x); 3) (a(x) · b(x)); 4) b(x) .

13.a(x) = |x| x: 1) · a(x); 2) × a(x); 3) a(x); 4) · (a(x) a(x)) .

14.a(x) = |x|2 x: 1) · a(x); 2) × a(x); 3) a(x); 4) · (a(x) a(x)) .

15.u(x) = c · x φ(x): 1) a(x) = u(x); 2) v(x) = · a(x); 3) × a(x); 4) a(x) .

16.u(x) = c · x φ(|x|): 1) a(x) = u(x); 2) v(x) = · a(x); 3) × a(x); 4) a(x) .

17.u(x) = c · x φ(|x|2): 1) a(x) = u(x); 2) v(x) = · a(x); 3) × a(x); 4) a(x) .

18.a(x) = |x|2 c × x: 1) u(x) = · a(x); 2) × a(x); 3) b(x) = u(x); 4) b(x) .

19.a(x) = (c × x) × x: 1) u(x) = · a(x); 2) × a(x); 3) b(x) = u(x); 4) b(x) .

4

20.a(x) = |x| c × (c × x): 1) u(x) = · a(x); 2) × a(x); 3) b(x) = u(x); 4) b(x) .

21.a(x) = (c · x) x: 1) u(x) = · a(x); 2) × a(x); 3) b(x) = u(x); 4) b(x) .

22.a(x) = (c · x)2x: 1) u(x) = · a(x); 2) × a(x); 3) b(x) = u(x); 4) b(x) .

23.a(x) = |c × x| x: 1) u(x) = · a(x); 2) × a(x); 3) b(x) = u(x); 4) b(x) .

24.a(x) = |c × x|2x: 1) u(x) = · a(x); 2) × a(x); 3) b(x) = u(x); 4) b(x) .

25.a(x) = (c · x)2c: 1) u(x) = · a(x); 2) × a(x); 3) b(x) = u(x); 4) (|x| b(x)) .

26.a(x) = |x|2c: 1) u(x) = · a(x); 2) × a(x); 3) b(x) = u(x); 4) (u(x) b(x)) .

27.u(x) = ln |x|: 1) a(x) = u(x); 2) v(x) = ·(|x| a(x)); 3) ×(|x| a(x)); 4) (|x| a(x)) .

28.u(x) = ln |x|2: 1) a(x) = u(x); 2) v(x) = · a(x); 3) × a(x); 4) a(x) .

29.a(x) = e×(c×x): 1) u(x) = ·(|x|2 a(x)); 2) ×a(x); 3) b(x) = u(x); 4) b(x) .

30.a(x) = (c · x)(e · x)x: 1) u(x) = · a(x); 2) × a(x); 3) b(x) = u(x); 4) b(x) .

31.a(x) = |c×x|2|e×x|2 x: 1) u(x) = ·a(x); 2) ×a(x); 3) b(x) = u(x); 4) b(x) .

32.a(x) = |c × x|2(e · x)x: 1) u(x) = · a(x); 2) × a(x); 3) b(x) = u(x); 4) b(x) .

5

2.Канонический вид линейного уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными

2.1. Постановка задачи

Для однородного линейного уравнения с частными производными второго порядка:

	∂2u		∂2u		∂2u		∂u		∂u
a11		+ 2a12		+ a22		+ a1		+ a2		+ a0u = 0 ,
	∂x∂x		∂x∂y		∂y∂y
							∂x		∂y

где u = u(x, y) — искомая функция независимых переменных x, y; коэффициенты a11, a12, a22, a1, a2, a0 суть известные функции x, y:

1)записать уравнение характеристик;

2)найти области, в которых уравнение сохраняет тип;

3)привести уравнение к каноническому виду в каждой такой области;

2.2.Варианты задачи

1.

∂2u

∂2u

∂2u

∂u

∂u

−

4

+ x

+ 5

+ 3

+ 2 u = 0

∂x∂x

∂x∂y

∂y∂y

∂x

∂y

2.

x2

∂2u

+ 6x

∂2u

+ 2

∂2u

+ 2

∂u

+ 5

∂u

+ 3 u = 0

∂x∂x

∂x∂y

∂y∂y

∂x

∂y

3.

∂2u

∂2u

∂2u

− 7

∂u

∂u

+ 6

+ x

+ 3

+ 3 u = 0

∂x∂x

∂x∂y

∂y∂y

∂x

∂y

4.

∂2u

∂2u

∂u

∂u

∂u

x

+ y

+ 2

+ 5

− 3

+ 6 u = 0

∂x∂x

∂y∂y

∂x

∂x

∂y

5.

x

∂2u

+ 6

∂2u

+

∂2u

+ 8

∂u

− 3

∂u

− 4 u = 0

∂x∂x

∂x∂y

∂y∂y

∂x

∂y

6.

∂2u

∂2u

∂2u

∂u

∂u

+ 2

− x

+ 8

− 3

−

2 u = 0

∂x∂x

∂x∂y

∂y∂y

∂x

∂y

7.

xy

∂2u

+ 16x

∂2u

+ xy

∂2u

−

3

∂u

+ 2

∂u

− 4 u = 0

∂x∂x

∂x∂y

∂y∂y

∂x

∂y

8.

x2

∂2u

− 8xy

∂2u

+ y2

∂2u

+ 6

∂u

− 8

∂u

+ 2 u = 0

∂x∂x

∂x∂y

∂y∂y

∂x

∂y

9.

∂2u

∂2u

− xy2

∂2u

∂u

∂u

+ y

− 3

+ 4

− 5 u = 0

∂x∂x

∂x∂y

∂y∂y

∂x

∂y

6

10.

∂2u

∂2u

∂2u

∂u

∂u

signy

+ 2

+ signx

+ 3

− 5

+ 7 u = 0

∂x∂x

∂x∂y

∂y∂y

∂x

∂y

11.

y

∂2u

− 2y

∂2u

+ y2

∂2u

− 7

∂u

+ 3

∂u

+ 3 u = 0

∂x∂x

∂x∂y

∂y∂y

∂x

∂y

12.

x

∂2u

− 4x

∂2u

+ x2

∂2u

+ 2

∂u

+ 3

∂u

+ 3 u = 0

∂x∂x

∂x∂y

∂y∂y

∂x

∂x

13.

∂2u

∂2u

∂2u

∂u

∂u

+ 8y

− y2

− 2

+ 4

− 7 u = 0

∂x∂x

∂x∂y

∂y∂y

∂x

∂y

14.

∂2u

−

2 cos x

∂2u

+ (4 − sin2 x)

∂2u

+ 2

∂u

− 9

∂u

+ 3 u = 0

∂x∂x

∂x∂y

∂y∂y

∂x

∂y

15.

x2

∂2u

∂2u

− 5y2

∂2u

∂u

∂u

−

4xy

− 5

− 7

+ 2 u = 0

∂x∂x

∂x∂y

∂y∂y

∂x

∂y

16.

x2

∂2u

+ 2x

∂2u

− 3

∂2u

− 3

∂u

+ 2

∂u

− 3 u = 0

∂x∂x

∂x∂y

∂y∂y

∂x

∂y

17.

∂2u

∂2u

− 6

∂u

∂u

3x

+ 3y

+ 2

+ 4 u = 0

∂x∂x

∂y∂y

∂x

∂y

18.

2

∂2u

+ 4y

∂2u

−

6y2

∂2u

+ 7

∂u

+ 2

∂u

+ 7 u = 0

∂x∂x

∂x∂y

∂y∂y

∂x

∂y

19.

∂2u

∂2u

∂2u

∂u

∂u

−

signx

+ 4

+ 2

+ 2

+ 3

3 u = 0

∂x∂x

∂x∂y

∂y∂y

∂x

∂y

20.

∂2u

∂2u

2x ∂2u

∂u

∂u

2xy

+ 6x

+

−

4

+ 2

+ 3 u = 0

∂x∂x

∂x∂y

y

∂y∂y

∂x

∂y

21.

2

∂2u

− 6y

∂2u

+ y2

∂2u

+ 2

∂u

+ 4

∂u

+ 5 u = 0

∂x∂x

∂x∂y

∂y∂y

∂x

∂y

22.

2y

∂2u

+ 3

∂2u

−

2 ∂2u

+ 3

∂u

+ 2

∂u

− 3 u = 0

∂x∂x

∂x∂y

y

∂y∂y

∂x

∂y

23.

2x

∂2u

− 8x

∂2u

+ x

∂2u

+ 3

∂u

+ 2

∂u

− 5 u = 0

∂x∂x

∂x∂y

∂y∂y

∂x

∂y

7

24.

2x

∂2u

+ 2y

∂2u

+

∂u

+ 2

∂u

+ 2

∂u

+ 2 u = 0

∂y∂y

∂x

∂y

∂x∂x

∂x

25.

−

x ∂2u

− 2y

∂2u

+

y2 ∂2u

+ 2

∂u

− 7

∂u

− 6 u = 0

4

∂x∂x

∂x∂y

x ∂y∂y

∂x

∂y

26.

∂2u

∂2u

∂u

∂u

−xy

+ y

− 3

+ 2

− 5 u = 0

∂x∂x

∂y∂y

∂x

∂y

27.

∂2u

∂2u

− x

∂2u

∂u

− 3

∂u

− 4 u = 0

+ y

+ 2

∂x∂x

∂x∂y

∂y∂y

∂x

∂y

28.

x2

∂2u

∂2u

− 5y2

∂2u

∂u

∂u

− 4xy

+ 2

+ 3

− 9 u = 0

∂x∂x

∂x∂y

∂y∂y

∂x

∂y

29.

∂2u

∂2u

+ 3y2

∂2u

∂u

∂u

+ 4y

+ 2

+ 4

− 3 u = 0

∂x∂x

∂x∂y

∂y∂y

∂x

∂y

30.

(y + 3)

∂2u

+ y

∂2u

+

∂2u

+ 3

∂u

+ 2

∂u

+ 4 u = 0

∂x∂y

∂y∂y

∂x

∂x∂x

∂y

31.

∂2u

∂2u

∂u

∂u

∂u

−x

− y

+ 2

+ 2

− 2

− 7 u = 0

∂x∂x

∂y∂y

∂x

∂x

∂y

32.

∂2u

− y2

∂2u

∂u

∂u

y

+ 2

− 3

+ 4 u = 0

∂x∂x

∂y∂y

∂x

∂y

8

2.3. Приведение линейного уравнения к каноническому виду

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение с частными производными второго порядка:

a11	∂2u	+ 2a12	∂2u	+ a22	∂2u	+ a1	∂u	+ a2	∂u	+ a0u = f , (x, y) D .	(2.1)
	∂x∂x		∂x∂y		∂y∂y		∂x		∂y

Сделаем в окрестности произвольной точки (x0, y0) D невырожденную замену независимых переменных:

	ξ = ξ(x, y) ,		x = x(ξ, η) ,	(2.2)
	η = η(x, y) ,		y = y(ξ, η) .

Для этого необходимо и достаточно отличия от нуля якобиана J прямого или якобиана I обратного преобразований:

∂ξ

∂ξ

∂x

∂x

∂(ξ, η)

∂(x, y)

∂x

∂y

∂ξ

∂η

J =

=

∂x

∂y

= 0 ,

I =

=

∂ξ

∂η

= 0 ,

JI = 1 . (2.3)

∂(x, y)

∂η ∂η

̸

∂(ξ, η)

∂y ∂y

̸

Выразим производные u(x, y) первого и второго порядков по старым независимым переменным (x, y) через производные по новым независимым переменным (ξ, η):

∂u

∂u ∂ξ

∂u ∂η ,

∂u

∂u ∂ξ

∂u ∂η ,

(2.4)

=

+

=

+

∂x

∂ξ

∂x

∂η ∂x

∂y

∂ξ

∂y

∂η ∂y

|{z}

|{z}∂

∂u ∂ξ

|{z}

|{z}

1

2

1

2

∂2u

∂

∂u

∂u ∂η

=

(

)

=

(

+

) =

∂x∂x

∂x

∂x

∂x

∂ξ

∂x

∂η

∂x

∂2u ∂ξ

∂2u ∂η ∂ξ

∂2u ∂ξ ∂2u ∂η ∂η ∂u ∂2ξ ∂u ∂2η

=(

+

)

+(

+

)

+

+

,

(2.5)

∂ξ∂ξ

∂x

∂ξ∂η

∂x

∂x

∂η∂ξ

∂x

∂η∂η

∂x

∂x

∂ξ

∂x2

∂η

∂x2

| {z }

|

{z

}

|

{z

}

|

{z

}

|{z}

|{z}

11

12

12

22

1

2

∂2u

∂

∂u

∂

∂u ∂ξ

∂u ∂η

=

(

)

=

(

+

) =

∂x∂y

∂y

∂x

∂y

∂ξ

∂x

∂η

∂x

∂2u ∂ξ

∂2u ∂η ∂ξ

∂2u ∂ξ ∂2u ∂η ∂η ∂u ∂2ξ

∂u ∂2η

=(

+

)

+(

+

)

+

+

,

(2.6)

∂ξ∂ξ

∂y

∂ξ∂η

∂y

∂x

∂η∂ξ

∂y

∂η∂η

∂y

∂x

∂ξ

∂x∂y

∂η

∂x∂y

| {z }

|

{z

}

|

{z

}

|

{z

}

|{z}

|{z}

11

12

12

22

1

2

∂2u

∂

∂u

∂

∂u ∂ξ

∂u ∂η

=

(

)

=

(

+

) =

∂y∂y

∂y

∂y

∂y

∂ξ

∂y

∂η

∂y

∂2u ∂ξ

∂2u ∂η ∂ξ

∂2u ∂ξ ∂2u ∂η ∂η ∂u ∂2ξ ∂u ∂2η

=(

+

)

+(

+

)

+

+

.

(2.7)

∂ξ∂ξ

∂y

∂ξ∂η

∂y

∂y

∂η∂ξ

∂y

∂η∂η

∂y

∂y

∂ξ

∂y2

∂η

∂y2

| {z }

|

{z

}

|

{z

}

|

{z

}

|{z}

|{z}

11

12

12

22

1

2

9

Осуществим подстановку выражений производных первого (2.4) и второго (2.5), (2.6), (2.7) порядков в уравнение (2.1), произвед¨ем группировку членов с одинаковыми вторыми производными (обозначены 11, 12, 22) и запишем уравнение (2.1) в новых независимых переменных:

∂2u

∂2u

∂2u

∂u ∂u

a

11 (ξ, η)

+ 2

a

12 (ξ, η)

+

a

22 (ξ, η)

= (ξ, η, u,

,

) ,

∂ξ∂ξ

∂ξ∂η

∂η∂η

∂ξ

∂η

где

∂ξ ∂ξ

∂ξ ∂ξ

∂ξ ∂ξ

= a11 ∂x ∂x

+ 2a12 ∂x ∂y + a22 ∂y ∂y ,

a11

(

)

∂ξ ∂η

∂ξ ∂η

∂ξ ∂η

∂ξ ∂η

a

12

= a

11

+ a

12

+

+ a

22

,

∂x ∂x

∂x ∂y

∂y ∂x

∂y ∂y

= a11

∂η ∂η

+ 2a12

∂η ∂η + a22

∂η ∂η ,

a22

∂x ∂x

∂x ∂y

∂y ∂y

∂u ∂ξ

∂u ∂η

∂u ∂ξ

∂u ∂η

= −a1(

+

)

− a2(

+

) − a0u + f−

∂ξ

∂x

∂η

∂x

∂ξ

∂y

∂η

∂y

|

{z

}

|

{z

}

|

∂u/∂x

{z

∂u/∂y

}

(ξ, η,

∂ξ

∂η )

u,

∂u

,∂u

∂u ∂2ξ ∂u ∂2η

∂u ∂2ξ

∂u ∂2η

∂u ∂2ξ ∂u ∂2η

− a11

(

+

) − 2a12(

+

)

− a22

(

+

∂ξ ∂x2

∂η

∂x2

∂ξ

∂x∂y

∂η

∂x∂y

∂ξ

∂y2

∂η ∂y2

Если ввести дифференциальные операторы

∂φ ∂ψ

∂φ ∂ψ

∂φ ∂ψ

∂φ ∂ψ

Q[φ, ψ] = a11

+ a12

(

+

) + a22

,

∂x

∂x

∂x ∂y

∂y

∂x

∂y

∂y

∂2φ

∂2φ

∂2φ

∂φ

∂φ ,

S[φ] = a11

∂x∂x

+ 2a12

∂x∂y

+ a22

∂y∂y

+ a1

∂x

+ a2

∂y

(2.8)

(2.9)

)

.(2.10)

(2.11)

(2.12)

коэффициенты a11, a12, a22 (2.9) при вторых производных и правая часть (2.10) преобразованного уравнения (2.8) допускают краткую запись:

∂u

∂u

(2.13)

11 = Q[ξ, ξ],

12 = Q[ξ, η],

22 = Q[η, η], = −S[ξ]

− S[η]

− a0u + f .

a

a

a

∂ξ

∂η

Поставим задачу упрощения преобразованного уравнения (2.8), (2.9), (2.10) как задачу обращения в нуль одного или двух его коэффициентов, например, — a11. Для этого новая

10

независимая переменная ξ(x, y) (2.2), должна быть выбрана так, чтобы в окрестности точки (x0, y0) выполнялось следующее равенство:

a11

∂ξ ∂ξ

+ 2a12

∂ξ ∂ξ

+ a22

∂ξ ∂ξ

= 0 ,

(2.14)

∂x ∂x

∂x ∂y

∂y ∂y

которое есть нелинейное уравнение в частных производных первого порядка относительно функции ξ(x, y). Легко заметить, что решая задачу обращения в нуль второго коэффициента a22, получим уравнение относительно функции η(x, y):

a11

∂η ∂η

+ 2a12

∂η ∂η

+ a22

∂η ∂η

= 0 ,

(2.15)

∂x ∂x

∂x ∂y

∂y ∂y

строение и коэффициенты которого совпадают со строением и коэффициентами уравнения (2.14). Поэтому далее рассмотрим общий случай, который включает уравнения (2.14) и (2.15):

a11

∂φ ∂φ

+ 2a12

∂φ ∂φ

+ a22

∂φ ∂φ

= 0 .

(2.16)

∂x ∂x

∂x ∂y

∂y ∂y

Пусть φ(x, y) — частное решение уравнения (2.16), из которого образуем выражение φ(x, y) = C. С геометрической точки зрения, частное решение есть некоторая поверхность z = φ(x, y), тогда как выражение φ(x, y) − C = 0 представляет результат пересечения поверхности z = φ(x, y) горизонтальной плоскостью z = C, т.е. некоторую линию, или, теперь уже с точки зрения анализа, неявную функцию, которую, как будет ясно из дальнейшего, можно будет разрешить в следующем виде: 1) y = y(x), 2) x = x(y), или 3) x = x(s), y = y(s). Действительно, дифференцируя неявную функцию, получим:

− C) =

∂φ

∂φ

(2.17)

d(φ(x, y)

dx +

dy = 0 ,

∂x

∂y

откуда

∂φ

= −

∂φ dy ,

∂φ

= −

∂φ dx .

(2.18)

∂x

∂y dx

∂y

∂x

dy

Подставляя выражение (2.18) для первой частной производной ∂φ/∂x или ∂φ/∂y в уравнение в частных производных (2.16), получим теперь уже нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка:

a11

dy dy

− 2 a12

dy dx

+ a22

dx dx

= 0 .

(2.19)

ds

ds

ds

ds

ds

ds

Часто удобна следующая симметричная относительно x и y форма этого уравнения

a11 dy dy − 2 a12 dy dx + a22 dx dx = 0 ,

(2.20)

называемая наравне с (2.19) уравнением характеристик для линейного уравнения второго порядка (2.1).