matphy_mech_04

		Задания к модульной работе №1
		по предмету
	Уравнения математической физики\
	"	для специальности Механика\
		"
		(2–й курс, второй семестр)
		12 мая 2014 г.
		Содержание
Введение			2
1. Задача Дирихле для уравнения Лапласа внутри и вне круга			3
1.1.	Решение внутренней задачи Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		3
1.2.	Решение внешней задачи задачи Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		3
1.3.	Проверочные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		3

1

2

Введение

Модуль №4 по предмету "Уравнения математической физики\ для специальности "Механика\ включает:

1)решение двух задач (самостоятельная работа, 2 £ 5 = 10 баллов);

2)решение задач (письменно, в аудитории, после сдачи для проверки хотя бы одной задачи для самостоятельной работы; 5 баллов);

3)теоретическую часть (устно, в аудитории, после набора не менее 3 баллов за решение задач в аудитории; 10 баллов).

Общее количество баллов за модуль №4 равно 25.

Индивидуальные варианты задач распределены в соответствии с табл. 0.1.

Табл. 0.1. Распределение вариантов задания

группа	варианты
МХ–12–01	01–17
МХ–12–02	18–28

Сдача задания для проверки 2014.05.22, проведение модуля 2014.05.26 2014.05.30.

3

1. Задача Дирихле для уравнения Лапласа внутри и вне круга

1.1. Решение внутренней задачи Дирихле
Решить внутреннюю задачу Дирихле
8	¢u(x; y) = 0 ;	(x; y)	2 D ;			(1.1)
<	u(x; y) = g(x; y) ;	(x; y)	2 S	= @	D	;
:

с четырьмя наборами краевого условия, согласно табл. 1.1, 1.2. Решение представить в полярной и декартовой системах координат. Обосновать решение, показав, что оно: 1) удовлетворяет уравнению Лапласа в декартовой и полярной системе координат; 2) удовлетворяет краевому условию в декартовой системе координат.

1.2. Решение внешней задачи задачи Дирихле
Решить внешнюю задачу Дирихле
8	¢u(x; y) = 0 ;	(x; y) 2 R2nD ;				(1.2)
<	u(x; y) = g(x; y) ;	(x; y)	2 S	= @	D	;
:

с четырьмя наборами краевого условия, согласно табл. 1.1, 1.2. Решение представить в полярной системе координат. Обосновать решение, показав, что оно удовлетворяет уравнению Лапласа в полярной системе координат.

1.3.Проверочные вопросы

1.Постановка внутренней задачи Дирихле для круга в декартовой системе координат.

2.Постановка внутренней задачи Дирихле для круга в полярной системе координат.

3.Вывод уравнения Лапласа в полярной системе координат.

4.Условия периодичности и ограниченности решения внутренней задачи Дирихле для круга.

5.Решение внутренней задачи Дирихле для круга методом разделения переменных.

6.Задача Штурма – Лиувилля.

7.Проверка выполнения краевого условия решением внутренней задачи Дирихле для круга.

8.Постановка внешней задачи Дирихле для круга в декартовой системе координат.

9.Постановка внешней задачи Дирихле для круга в полярной системе координат.

10.Решение внешней задачи Дирихле для круга методом разделения переменных.

11.Решение внешней задачи Дирихле для круга методом инверсии Кельвина.

4

Табл. 1.1. Распределение вариантов задания 01–17

№	g1(x; y)	g2(x; y)			S
01	1 + x + xy	x + y3	x2	+ y2	+ x + 3y ¡	3			= 0
						2
02	1 + y + xy	y + x3	x2	+ y2	+ x + 5y ¡	5			= 0
						2
03	1 + x + y2	x2 + y3	x2	+ y2	+ 3x ¡ 2y ¡				3		= 0
									4
04	1 + y + x2	y2 + x3	x2	+ y2	¡ 3x ¡ 3y +				1		= 0
									2
05	1 + x2 + xy	xy + y3	x2 + y2 + 3x + 4y +				9				= 0
						4
06	1 + y2 + xy	xy + x3	x2	+ y2	¡ 4x + y +	1			= 0
						4
07	x + x2 + xy	x3 + y3	x2	+ y2	+ 5x ¡ 3y +				9		= 0
									2
08	y + y2 + xy	xy2 + y3	x2 + y2 ¡ x ¡ 2y ¡ 1 = 0
09	x + y2 + xy	x2y + y3	x2 + y2 + x + 6y + 7 = 0
10	y + x2 + xy	xy2 + x3	x2 + y2 ¡ 2x + 3y + 1 = 0
11	x + x2 + y2	x2y + x3	x2 + y2 + 2x ¡ 5y + 5 = 0
12	y + x2 + y2	xy2 + x2	x2 + y2 ¡ 3x ¡ 4y + 4 = 0
13	x2 + y2 + xy	xy2 + y2	x2 + y2 + 4x + y + 2 = 0
14	1 + x2 + y2	x2y + x2	x2 + y2 ¡ 5x + 4y + 8 = 0
15	1 + y + y2	1 + xy2	x2 + y2 ¡ 4x + 5y + 10 = 0
16	x + x2	x2y + xy	x2 + y2 + 5x ¡ 2y + 7 = 0
17	y + y2	xy2 + xy	x2 + y2 ¡ x ¡ 6y + 9 = 0

5

Табл. 1.2. Распределение вариантов задания 18–28

№

g1(x; y)

g2(x; y)

S

x2y + y2

x2

+ y2

1

18

1 + xy

+ x ¡ 6y +

= 0

4

19

x + xy

xy2 + x

x2

+ y2

¡ 2x ¡ 5y ¡

7

= 0

4

20

y + xy

xy2 + y

x2 + y2 + 3x + 6y +

9

= 0

4

21

x2 + xy

x2y + x

x2

+ y2

¡ 4x + 5y +

5

= 0

4

y2 + xy

x2y + y

x2

+ y2

5

22

+ 5x ¡ y ¡

= 0

2

23

x + y2

x + x3

x2

+ y2

¡ 5x ¡ 3y ¡

1

= 0

2

24

y + x2

x2 + x3

x2 + y2 + 5x + 5y +

7

= 0

2

25

x + y + x2

y + y3

x2 + y2 ¡ x + 2y + 1 = 0

26

x + y + y2

y2 + y3

x2 + y2 + x ¡ 4y + 4 = 0

27

x + y + xy

1 + x3

x2 + y2 ¡ 2x ¡ 3y + 3 = 0

28

1 + x + x2

1 + y3

x2 + y2 + 3x + 4y + 6 = 0