matphy_mech_lnotes_mn

Днепропетровский университет Механико–математический факультет Кафедра дифференциальных уравнений

Конспект лекций по предмету

"Уравнения математической физики\

для специальности ”Механика“

Составитель	В. Л. Борщ
Семестр	IV
Учебный год	2013 – 2014

Светлой памяти

Виктора Александровича Остапенко

”Каково современное состояние математической физики? Какие проблемы стоят перед ней? Каково ее будущее? Ожидается ли изменение в направлении ее развития? Теми же, что и нам, представятся цель и методы этой науки десять лет спустя нашим ближайшим преемникам? Или, напротив, нам предстоит быть свидетелями коренного преобразования? Таковы вопросы, которые мы вынуждены поставить, приступая сегодня к нашему рассмотрению.

Иесли эти вопросы легко поставить, то ответить на них трудно. Даже если бы у нас и появилось стремление отважиться на прогноз, мы бы легко избавились от этого искушения, представив себе все те нелепости, которые были бы сказаны выдающимися учеными начала прошлого столетия, если бы их спросили о том, какова будет наука в XIX веке. Они считали бы себя слишком дерзкими в своих предсказаниях, и какими скромными нашли бы мы их теперь! Так что не ждите от меня никаких пророчеств.

Ихотя, как все осторожные медики, я не люблю делать прогноза, но тем не менее не могу отказаться от установления некоторого диагноза. Да, действительно есть признаки серьезного кризиса, как если бы мы находились накануне изменения. Не будем, однако, слишком волноваться.

Мы уверены, что больная не умрет, и мы можем даже надеяться, что этот кризис будет спасительным, поскольку история прошлого гарантирует нам это.“

Анри Пуанкаре. ”Настоящее и будущее математической физики“ [82]

	Содержание
Обозначения	9
0. Введение	10

0.1.Πρoλεγoµενα´ или малое введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

0.2.О конспекте лекций (назначение, построение, обозначения) . . . . . . . . . . 10

1. Основы тензорной алгебры и анализа			11
1.1.	Πρoλεγoµενα´	или малое введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	11
1.2.	Ортогональные преобразования базисов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		11

1.3.Умножение векторов (скалярное умножение, как обобщение работы силы на перемещении, и его свойства; векторное умножение, как обобщение мо-

мента силы,	приложенной к телу с	неподвижной точкой, и	его свойства;
диадное или тензорное умножение и		его свойства) . . . . . .	. . . . . . . . . 11

1.4.Приведение симметричного тензора к главным осям () . . . . . . . . . . . . . 11

1.5.Дифференциальные операторы теории поля (скалярные и векторные поля; градиент, дивергенция, ротор: обычные определения — grad , div , rot , и на основе оператора Гамильтона — , · , ×; производная по направле-

нию; примеры) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6.Интегральные теоремы теории поля () . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.7.Вопросы и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.8.Путеводитель по литературе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2. Уравнения и краевые задачи математической физики

12

2.1.Πρoλεγoµενα´ или малое введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.Тензорные поля в механике сплошной среды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3.Описание движения в механике сплошной среды . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4.Интегральные теоремы механики сплошной среды . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5.Законы сохранения механики сплошной среды (понятия массы, количества движения и энергии конечной материальной области среды и соответствую-

щие им законы сохранения в интегральной форме; вывод законов сохранения
в дифференциальной форме; определяющие соотношения) . . . . . . . . . .	20
2.6. Вывод основных уравнений математической физики. Уравнения, описываю-
щие колебательные и волновые явления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	26

2.7.Вывод основных уравнений математической физики. Уравнения, описывающие тепловые явления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.8.Вывод основных уравнений математической физики. Уравнения, описывающие статические поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

7

2.9.Понятие дифференциального уравнения с частными производными (мультииндекс: определение, действия, применение в Rn, примеры; уравнение в частных производных: определение, порядок; линейное уравнение: линейный дифференциальный оператор, главная часть линейного дифференциального оператора, однородные и неоднородные уравнения, полный и главный символы

линейного оператора, лемма о главном символе и следствие) . . . . . . . . . 38

2.10.Краевые задачи и задача Коши (понятие решения дифференциального уравнения с частными производными: регулярные и нерегулярные решения, сравнение решений уравнений с частными и обыкновенными производными, примеры, представления о классах решений и дополнительных условиях, для чего нужны краевые условия, определения краевых условий и краевой задачи, другие названия краевых условий и краевой задачи, определение задачи Коши, примеры, понятие корректности краевой задачи, общее определе-

ние корректности краевой задачи по Адамару, определение данных задачи, к решению каких вспомогательных задач сводится проверка корректности,

пример Адамара, другие примеры) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.11.Классификация и характеристики линейных уравнений второго порядка с двумя (n = 2) независимыми переменными (основные определения: общие, квазилинейные, линейные, однородные и неоднородные уравнения; замена независимых переменных: невырожденная замена переменных, уравнение в новых переменных; приведение к каноническому виду: уравнение характеристик, условие существования двух действительных, одного действитель-

ного и двух комплексно сопряж¨енных интегралов уравнений характеристик, области гиперболичности, параболичности и эллиптичности, канонические замены переменных и канонические типы уравнения) . . . . . . . . . . . . . 38

2.12.Типы и характеристики линейных уравнений второго порядка с несколькими (n > 2) независимыми переменными (симметричность матрицы действительных коэффициентов означает: полный набор действительных собственных значений, базис из правых попарно ортогональных собственных векторов, приведение главной части оператора с постоянными коэффициентами

кканоническому виду (матрица коэффициентов становится диагональной); сигнатура канонического вида определяет эллиптический, параболический и гиперболический типы линейных уравнений с постоянными коэффициентами во всей области определения (классификацию), прич¨ем без приведения

кновым независимым переменным; приведение к каноническому виду линейных уравнений с переменными коэффициентами (но не классификация) проводится так же, как и для уравнений с постоянными коэффициентами, но не в области, а в точке) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.13.Вопросы и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.14.Путеводитель по литературе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Список литературы

40

8

9

Обозначения

C i

z = x + iy = |z|eiφ C

Re z = z = x

Im z = z = y

√

|z| = x2 + y2

Rn

Rn × (0, T ]

x = (x1, , . . . , xn)

(x, t) = (x1, . . . , xn, t)

(x, y) = x · y

—комплексное пространство;

—мнимая единица;

—комплексное число (комплексный вектор);

—действительная часть комплексного числа;

—мнимая часть комплексного числа;

—модуль комплексного числа;

—действительное n-мерное евклидово пространство (пространство событий);

—полоса (слой) в n + 1-мерном евклидовом пространстве (пространство–время событий);

—точка (вектор) в Rn;

—точка (вектор) в Rn × (0, T ];

∑n

=xκ yκ — скалярное произведение x и y;

κ=1

1				— расстояние между x и y;
|x − y| = (x − y, x − y)2
D Rn				— связное открытое множество (область) в Rn;
				— замыкание множества D;
D
S = SD = ∂D =			\D — граница множества D (указание на область D в виде нижнего
		D
				индекса применяется при рассмотрении нескольких областей);
Bε(x) = Bε(P )				— открытый шар радиуса ε с центром в точке P (x)
				(ε – окрестность точки P (x))
C (k) = C k				— класс функций, непрерывно дифференцируемых k раз по x;
C (k, m)				— класс функций, непрерывно дифференцируемых
				k раз по x и m раз по t;
supp				— носитель функции.

10

0. Введение

0.1.Πρoλεγoµενα´ или малое введение

0.2.О конспекте лекций (назначение, построение, обозначения)