TEORIYa_MIRI_TA_INTEGRALU_chast2

ГЛАВА YIII

Інтеграл Рімана-Стільтьєса

Означення 8.1.1. Нехай на сегменті [a;b] визначені дві обмежені

функції

f (x)

і

g(x) .

Для

будь-якого

набора

точок

∆

m

={a = x

, x ,..., x

т

=b},

x

< x <... < x

т

,

покладемо λ

m

= max (x

k

− x

k −1

) ,

)m

0

1

0

1

1≤k

≤m

Γ

= (ξ

k

, де

ξ

k

[x

k −1

; x

k

),

k =1,2,..., m −1, ξ

m

[x

m−1

; x

m

],

і

розглянемо

m

k =1

суму

m

Sm = Sm ( f , g, ∆m ,Γm ) = ∑ f (ξk )(g(xk ) − g(xk −1)) .

k =1

Сума Sm ( f , g, ∆m ,Γm ) називається інтегральною сумою Рімана-

Стільтьєса функції

f (x)

відносно функції g(x) .

Означення

8.1.2.

Функція f (x)

називається

інтегровною

у сенсі

Рімана-Стільтьєса

відносно функції g(x)

на сегменті

[a;b] , якщо існує

число I таке, що для довільного числа ε > 0 знайдеться додатне число δ > 0

таке, що

| Sm ( f , g, ∆m ,Γm ) − I |< ε,

як тільки λm < δ, незалежно від того як вибрано набіри точок ∆m і Γm .

Означення

8.1.3.

Якщо функція

f (x) інтегровна у сенсі Рімана-

Стільтьєса

відносно функції g(x) на сегменті [a;b] , то число I називається

інтегралом

Рімана-Стільтьєса

від функції

f (x)

відносно функції

g(x) на

сегменті [a;b] . Інтеграл Рімана-Стільтьєса позначається символом

b

∫ f (x)dg(x) .

a

Теорема 8.1.1 (теорема існування). Якщо функція

f (x)

неперервна на

сегменті [a;b] , а функція g(x) не спадає на сегменті [a;b] , то функція

f (x)

інтегровна у сенсі Рімана-Стільтьєса

відносно функції

g(x)

на сегменті

[a;b] .

Доведення.

Для

будь-якого набора точок ∆m ={a = x0 , x1,..., xт =b}

покладемо

mk =

inf

f (x) ,

M k =

sup

f (x)

і нехай

x [ xk−1; xk ]

x [ xk−1; xk ]

98

m
σm = σm ( f , g, ∆m ) = ∑mk (g(xk ) − g(xk −1)) ,
k =1
m
Σm = Σm ( f , g, ∆m ) = ∑M k (g(xk ) − g(xk −1)) .
k =1
Очевидно, що при довільном вибору набору Γm точок ξk	має місце
нерівність
σm ≤ Sm ≤ Σm .	(8.1.1)

Якщо до набору точок ∆m додати нову точку,

то сума σm не зменшиться, а

сума Σm не збільшиться. Тому, якщо

∆m

і

∆m

2

два довільних набора і

1

∆m = ∆m

∆m

2

, то

σm ≤ σm ≤ ∆m ≤ ∆m

2

. Отже будь-яка сума ∆m

2

більша

1

1

за будь-яка суму σm

. Позначимо через

I

точно верхню межу сум σm , тобто

1

I=sup σm . Тоді для будь-якого набора точок має місце нерівність

∆m

		σm ≤ I ≤ Σm .			(8.1.2)
Із нерівностей (8.1.1) – (8.1.2) випливає нерівність
		m
	| Sm − I |≤ Σm − σm = ∑(M k − mk )(g(xk ) − g(xk −1)) .				(8.1.3)
		k =1
Оскільки	функція f (x) неперервна, то для довільного ε > 0 знайдеться δ > 0
таке, що	| f (x) − f ( y) |< ε/(g(b) − g(a)) , якщо		| x − y |< δ.	Отже,	якщо	для
довільного набору ∆m		величина λm < δ, то	M k − mk < ε/(g(b) − g(a))			для
довільного k =1,2,..., m.		Використовуючі останню нерівність, легко бачити,
що права частина (8.1.3) не перевищує ε. А це означае,				що існує інтеграл
Рімана-Стільтьєса.

Теорема доведена.

Теорема 8.1.2 (формула інтегрування частинами). Якщо функція f (x) інтегровна відносно функцій g(x) , то функція g(x) інтегровна

відносно f (x) і

b	b
∫ f (x)dg(x) =[ f (x)g(x)]ba − ∫g(x)df (x) ,		(8.1.4)
a	a
де
	[ f (x)g(x)]ba = f (b)g(b) − f (a)g(a) .	(8.1.5)

99

Доведення.

Для будь-яких наборів точок

∆m ={a = x0 , x1,..., xт =b}

і

Γ = (ξ

k

)m

,

де

ξ

k

[x

k −1

; x

k

),

k =1,2,..., m −1, ξ

m

[x

m−1

; x

m

]

інтегральну

m

k =1

суму

m

Sm = Sm (g, f , ∆m ,Γm ) = ∑g(ξk )( f (xk ) − f (xk −1))

зобразимо у вигляді

k =1

m

m

Sm = ∑g(ξk ) f (xk ) − ∑g(ξk ) f (xk −1 ) =

k =1

k =1

m

m−1

= ∑g(ξk ) f (xk ) −

∑g(ξk +1) f (xk ) =

k =1

k =0

= −m∑−1f (xk )(g(ξk +1) − g(ξk )) − g(ξ1) f (x0 ) + g(ξm ) f (xm ) .

k =1

Використовуючи

рівність

(8.1.5), а

також, що

x0 = a, xm =b ,

і поклавши

ξ0 = a, ξm+1 =b , одержимо

Sm = −m∑−1f (xk )(g(ξk +1) − g(ξk )) − f (a)g(ξ1) + f (b)g(ξm ) + f (a)g(a) −

k =1

m

− f (b)g(b) +[ f (x)g(x)]ba =[ f (x)g(x)]ba − ∑ f (xk )(g(ξk +1) − g(ξk )) .

k =0

Оскільки

xk [ξk ;ξk +1 ),

k = 0,1,..., m −1,

xm [ξm ,ξm+1]

і

m

ξk +1 − ξk ≤ xk +1 − xk −1 ≤ 2λm ,

то

сума

∑ f (xk )(g(ξk +1) − g(ξk ))

є

f (x)

k =0

g(x) , що відповідає

інтегральною сумою функції

відносно

функції

наборам точок ∆m+1 ={a = ξ0 ,ξ1,...,ξт+1 =b} і

xk [ξk ;ξk +1 ), k = 0,1,..., m −1,

b

xm [ξm ;b].

Тому, в наслідок припущення, що існує інтеграл

∫ f (x)dg(x) ,

m

a

сума

∑ f (xk )(g(ξk +1) − g(ξk ))

прямує до цього інтеграла при умові, що

k=0

λm →0 . Отже функція g(x) інтегровна відносно функції f (x) і має місце

рівність (8.1.4). Теорема доведена.

Властивості інтеграла Рімана-Стільтьєса

1. Якщо функції f1(x) і f2 (x) інтегровні відносно функції g(x) , то сума f1(x) + f2 (x) інтегровна і

100

b b

∫( f1(x) + f2 (x))dg(x) = ∫ f1(x)dg(x)

a a

b

+ ∫ f2 (x)dg(x) .

a

Доведення.	Для довільного ε > 0	знайдеться	δ > 0	таке,	що,	якщо
λm < δ, то		b
	| Sm ( f1, g, ∆m ,ξm ) − ∫ f1(x)dg(x) |< ε/ 2 ,
		a
		b
	| Sm ( f2 , g, ∆m ,ξm ) − ∫ f2 (x)dg(x) |< ε/ 2 .
Тоді		a
	b
| Sm ( f1 + f2 , g, ∆m ,ξm ) − ∫( f1(x) + f2 (x))dg(x) |=
	a
	b		b
=| Sm ( f1, g, ∆m ,ξm ) − ∫ f1(x)dg(x) + Sm ( f2 , g, ∆m ,ξm ) −∫ f2 (x)dg(x) |≤
	a		a
	b		b
≤| Sm ( f1, g, ∆m ,ξm ) − ∫ f1(x)dg(x) | +| Sm ( f2 , g, ∆m ,ξm ) −∫ f2 (x)dg(x) |< ε.
	a		a
2. Якщо функція f (x) інтегровна відносно функцій				g1(x) і	g2 (x) , то
функція f (x) інтегровна відносно суми g1(x) + g2 (x) і
b	b	b
∫ f (x)d(g1(x) + g2 (x)) = ∫ f (x)dg1(x) + ∫ f (x)dg2 (x) .
a	a	a
Доведення.	Для довільного ε > 0	знайдеться	δ > 0	таке,	що,	якщо
λm < δ, то	b
	| Sm ( f , g1, ∆m ,ξm ) − ∫ f (x)dg1(x) |< ε/ 2 ,
	a
		b
	| Sm ( f , g2 , ∆m ,ξm ) − ∫ f (x)dg2 (x) |< ε/ 2 .
		a
Тоді
		b	b
| Sm ( f , g1 + g2 , ∆m ,ξm ) − ∫ f (x)dg1(x) − ∫ f (x)dg2 (x) |=
		a	a
	b		b
=| Sm ( f , g1, ∆m ,ξm ) + Sm ( f , g2 , ∆m ,ξm ) − ∫ f (x)dg1(x) − ∫ f (x)dg2 (x) |≤
	a		a

101

b

3. Якщо існує інтеграл ∫ f (x)dg(x) і функція g(x) −обмеженої варіації,

a

то

b

b

| ∫ f (x)dg(x) |≤sup | f (x) |V (g) .

(8.1.6)

a

a

Доведення. Розглянемо

послідовність будь-яких

наборів

точок

∆m ={a = x0 , x1

,..., xт =b} таких, що λm = max (xk − xk −1) →0,

коли m →∞,

1≤k ≤m

)m

і вибиремо

послідовність

наборів Γ

= (ξ

k

, де

ξ

k

[x

k

−1

; x

k

),

m

k =1

k =1,2,..., m −1, ξm [xm−1; xm ] . Тоді

m

m

b

| ∑ f (ξk )(g(xk ) − g(xk −1 )) |≤sup | f (x) | ∑|g(xk ) − g(xk −1) |≤sup | f (x) |V (g) .

k =1

k =1

a

4. Якщо функція обмеженої варіації

g(x)

відмінна від нуля лише на

скінченої або зчисленої множені внутрішніх точок сегмента [a;b] , то для

будь-якої неперервної функції		f (x)
		b
		∫ f (x)dg(x) =0			(8.1.7)
		a
Доведення. Нехай, спочатку, функція g(x)			недорівнює нулю лише у
точці	x1 (a : b) . Позначемо	таку функцію через	gx	(x) .	Очевидно, що
		b	1
gx1 (x)	є функцією обмеженої варіації і V (gx1 ) = 2 | d1 |,			де	d1 = gx1 (x1) . В
		a

b

наслідок теореми існування інтеграла Рімана-Стільтьєса існує ∫ f (x)dg(x) .

a

Розглянемо послідовність будь-яких наборів точок ∆m ={a = x0 , x1,..., xт =b}

таких, що λm = max (xk − xk −1) →0,

коли m →∞, і вибиремо послідовність

1≤k ≤m

наборів Γ

= (ξ

k

)m

, де ξ

k

[x

k −1

; x

k

), k =1,2,..., m −1, ξ

m

[x

m−1

; x

m

], такі,

m

k =1

b

m

що ξk ≠ x1. Тоді кожна сума ∑ f (ξk )(g(xk ) − g(xk −1)) = 0 і

∫ f (x)dgx1 (x) =0.

Якщо g(x)

k =1

a

недорівнює нулю лише у точках x1, x2 ,..., xk (a : b) , то її можно

зобразити у вигляді

g(x) = ∑kj =1 gx j (x) , а тоді, в наслідок властивості 2

102

b	k b
∫ f (x)dg(x) = ∑∫ f (x)dgx j (x) = 0 .
a	j =1a

Нехай	A ={a1, a2 ,..., ak ,...}	− множина точок	із інтервала (a;b) .
Позначимо через g A (x) функцію,		яка дорівнює нулю на	множині [a;b] \ A, і
g A (ak ) = dk	≠ 0 , де числа такі,	що ряд ∑∞j =1| d j |	збігається. Нехай

∆m ={a = x0 , x1,..., xт =b} є		довільний	набір точок	такий, що	xk < xk +1.
Оцінемо суму
m−1	m−1			m−1	∞
∑| g A (xk +1) − g A (xk ) |≤ ∑(| g A (xk +1) | +| g A (xk ) |) =				2 ∑| g A (xk ) |≤ ∑| d j | .
k =0	k =0			k =1	j =1
Отже функція	g A (x)	обмеженої вариації і,		в наслідок	теореми
існування інтеграла	Рімана-Стільтьєса		для будь-якої	неперервної функції

b

f (x) , існує ∫ f (x)dg A (x) . Розглянемо послідовність будь-яких наборів точок

a

що λm = max (xk − xk −1) →0,

коли m →∞,

∆m ={a = x0 , x1,..., xт =b} таких,

1≤k ≤m

)m

і вибиремо послідовність наборів

Γ = (ξ

k

, де

ξ

k

[x

k −1

; x

k

),

m

k =1

k =1,2,..., m −1, ξm [xm−1; xm ]

такі,

що

ξk A. Тоді

кожна

сума

m

b

∑ f (ξk )(g A (xk ) − g A (xk −1)) = 0

і

∫ f (x)dg A (x) =0. Рівність (8.1.7) доведена.

k =1

a

Наслідок. Якщо функція

f (x)

неперервна, а функція g(x) обмеженої

варіації, точки разрива якої належать інтервалу (a;b) , то інтеграл Рімана-

b
Стільтьєса ∫ f (x)dg(x)	не залежить від значень функції g(x) у її точках
a
разриву.
5. Якщо функція	f (x) неперервна на сегменті [a;b] , а функція g(x) має

похідну у кожній точці сегмента [a;b] (в точках a і b − однобічну похідну), яка інтегровна за Ріманом, то

b	b
∫ f (x)dg(x) = ∫ f (x)g'(x)dx ,		(8.1.8)
a	a
де справа знаходиться інтеграл Рімана.
Доведення. Оскільки похідна	g'(x) інтегровна за Ріманом,	то вона

обмежена: | g'(x) |≤C , і завдяки формули Лагранжа для будь-якого набора точок ∆m ={a = x0 , x1,..., xт =b}, x0 < x1 <... < xт, виконується нерівність

103

m∑−1| g(xk +1) − g(xk ) |= m∑−1| g'(ξk +1) | (xk +1 − xk ) ≤C(b − a) ,

k =0	k =0
де ξk (xk −1; xk ), k =1,2,..., m .
Отже функція g(x) обмеженої	варіації і, внаслідок теореми існування

інтеграла Рімана-Стільтьєса, інтеграл зліва в (8.1.8) існує. За теоремою Лебега, про існування інтеграла Рімана, функція g(x) майже скрізь на

сегменті [a;b] неперервна і обмежена, тоді добуток f (x)g'(x) є функцією інтегровною за Ріманом. Тоді існує інтеграл справа в (8.1.8). Щоб довести

рівність

(8.1.8)

розглянемо послідовність

будь-яких

наборів

точок

∆m ={a = x0 , x1,..., xт =b} таких, що λm = max (xk − xk −1) →0,

коли

m →∞,

1≤k

≤m

і вибиремо послідовність наборів Γ

= (ξ

k

)m

,

де ξ

k

(x

k −1

; x

k

), k =1,2,..., m ,

m

k =1

визначаються формулою Лагранжа

g(xk ) − g(xk −1) = g'(ξk )(xk

− xk −1) .

Інтегральну суму Рімана-Стільтьєса

функції

f (x)

відносно функції g(x)

зобразимо у вигляді:

m

m

Sm = Sm ( f , g, ∆m ,Γm ) = ∑ f (ξk )(g(xk ) − g(xk −1)) = ∑ f (ξk )g'(ξk )(xk − xk −1) .

k =1

k =1

Спрямувавши m до нескінченності отримаємо (8.1.8).

6.

Якщо функція f (x) неперервна на сегменті [a;b] ,

а функція g(x)

абсолютно неперервна на сегменті [a;b] , то

b

b

∫ f (x)dg(x) = ∫ f (x)g'(x)dx ,

(8.1.9)

a

a

де справа знаходиться інтеграл Лебега.

Доведення.

Оскільки функція g(x)

абсолютно неперервна на сегменті

[a;b] , то похідна

g'(x) інтегровна за Лебегом і, в наслідок властивостей

інтеграла Лебега, добуток f (x)g'(x) теж є функцією інтегровною за Лебегом. Щоб довести рівність (8.1.9) розглянемо послідовність будь-яких наборів

точок ∆m ={a = x0 , x1,..., xт =b} таких, що				λm = max (xk − xk −1) →0,							коли
				1≤k ≤m					)m
m →∞,	і	вибиремо	послідовність	наборів	Γ		= (ξ	k		,	де
ξk (xk −1; xk ), k =1,2,..., m . Для довільного				ε > 0 знайдемо		m			k =1		таке,
						δ = δ(ε) > 0
що | f (ξ) − f (x) |< ε, якщо | ξ − x |< δ. Вважаючи, що λm < δ,						оцінемо різницю
	b		m	m	xk
| Sm − ∫ f		(x)g'(x)dx | =| ∑ f (ξk )(g(xk ) − g(xk −1)) − ∑ ∫ f (x)g'(x)dx | =
	a		k =1	k =1xk −1
m		xk	m xk	m xk
=| ∑ f (ξk )		∫g'(x)dx | −	∑ ∫ f (x)g'(x)dx | =| ∑ ∫{ f (ξk ) −			f (x)}g'(x)dx | ≤
k =1		xk −1	k =1xk −1	k =1xk −1

104

m xk	m xk	b
≤ ∑ ∫	| f (ξk ) − f (x) || g'(x) | dx ≤ ε∑ ∫|	g'(x) | dx = ε∫| g'(x) | dx .
k =1xk −1	k =1xk −1	a

Із одержаної нерівності випливає рівність (8.1.9).

7. Якщо послідовність fn (x) неперервних на сегменті [a;b]							функцій
збігається рівномірно на сегменті [a;b]				до функції f (x) , то для будь-якої
функції g(x) , обмеженої варіації на сегменті [a;b] , має місце рівність
	b	f (x)dg(x) = lim		b
	∫			∫ fn (x)dg(x) .			(8.1.10)
	a		n→∞a
Доведення. Функція f (x) неперервна,					як границя рівномірно збіжної
послідовності	неперервних		функцій. Для		довільного	ε > 0	знайдемо
n0 = n0 (ε) N	таке, що	для	довільного	x [a;b] виконується нерівність
| fn (x) − f (x) |< ε, якщо		n ≥ n0 . Вважаючи,			що n ≥ n0 і	використовуючи
властивість 3 інтеграла Рімана-Стільтьєса, оцінемо різницю
b	b		b			b
| ∫ fn (x)dg(x) − ∫ f (x)dg(x) |=| ∫{ fn (x)					− f (x)dg(x) |≤ εV (g) .
a	a		a			a

Із одержаної нерівності випливає рівність (8.1.10).

105

ГЛАВА IХ

Теорема Фубіні

Лема 9.1. Нехай	X ,Y −числові прямі (або	X = Rm ),	на яких визначені
міри Лебега µx іµy ,	X Y −прямий добуток	множин	X ,Y ,	на якому
визначена міра Лебега µ . Для множини A X розглянемо				множину

A [0;h] . Тоді µ ( A [0;h]) ≤ µx ( A)h .

Доведення. Розглянемо скінчену або зчисленну множину відрізків (або

паралелепіпедів, якщоX = Rm ) Ik	, таких, що Ik A і ∑µx (Ik ) < µx ( A) +ε .
	k	k
Тоді об’єднання паралелепіпедів	Ik [0;h] покриває множину A [0;h] і

µ ( A [0;h]) ≤ ∑µ(Ik [0;h]) = ∑µx (Ik )µy ([0;h]) = ∑µx (Ik )h <(µx ( A) +ε)h .

k	k	k
Лема 9.2. Нехай виконуються умови леми 1 і множина A X вимірна.
Тоді множина A [0;h] є вимірною на X Y і µ( A [0;h]) = µx ( A)h.
Доведення.	Для довільного ε > 0	знайдемо елементарну множину

E X таку, що µx ( A∆E) <ε / h . Тоді ( A [0;h])∆(E [0;h]) = ( A∆E) [0;h]

і, внаслідок леми 1,

µ ( A [0;h])∆(E [0;h]) = µ (( A∆E) [0;h]) ≤ µx ( A∆E)h <ε .

Оскільки множина E [0;h] є елементарною на X Y , то множина A [0;h] є вимірною. На підставі властивості 5 зовнішньої міри, для кожного

n N	існує	елементарна	множина		En X	така,	що
| µx ( A) − µx (En ) |≤ µx ( A∆En ) <1/ nh . Тоді
	| µ( A [0;h]) − µ(En [0;h]) |≤ µ ( A [0;h])∆(En [0;h]) =
Отже	= µ (( A∆En ) [0;h]) ≤ µ ( A∆En )h = µ( A∆En )h <1/ n .
	µ( A [0;h]) = lim µ(En [0;h]) = lim µx (En )h = µx ( A)h .
		n→∞		n→∞
	Означення 9.1. Нехай функція			f (x) , що задана на множині			A X ,
невід’ємна. Підграфіком функції			f (x)	будемо називати множину елементів
(x, z)	добутку X R1 , для яких x A та z [0; f (x)] .
	Підграфік функції f (x) будемо позначати символом G( f ; A) .
	Теорема 9.1. Якщо невід’ємна проста функція f (x)					інтегровна за

Лебегом на множині A X , то підграфік G( f ; A) є вимірною множиною в

X R1 і

106

µG( f ; A) = ∫ f (x)dµx .

Доведення. Оскільки

A

функція f (x)

проста, то

існує

не більш

ніж

зчисленна сім’я попарно неперетинних

вимірних

множин

Ak таких,

що

Ak

= A і f (x) = hk ,

x Ak . Тоді G( f ; Ak ) = Ak

[0;hk ] , G( f ; A) = G( f ; Ak )

k

k

і, завдяки σ−адитивності міри і лемі 9.2,

µG( f ; A) = ∑µ(G( f ; Ak )) = ∑hk µx ( Ak ) =

∫ f (x)dµx .

k

k

A

Теорема доведена.

Теорема 9.2. Якщо невід’ємна функція f (x) інтегровна за Лебегом на

множині A X , то

µG( f ; A) = ∫ f (x)dµx .

A

Доведення. Нехай An

= A(k / n ≤ f (x) < (k +1) / n),

k = 0,1,..... Визначимо

k

дві послідовності простих функцій f 1 (x) = k ,

x An ,

і

f 2 (x) =

k +1

, x An .

n

n

k

n

n

k

Кожна послідовність функцій збігається рівномірно на множині A( f ≠ ∞)

до

функції f (x) . Тому

функції fn1 (x), fn2 (x)

інтегровні

і, внаслідок

того,

що

fn1 (x) ≤ f (x) < fn2 (x),

x A,

маємо G( fn1; A) G( f ; A) G( fn2 ; A)

і отже за

теоремою 9.1:

∫ fn1(x)dµx =µG( fn1; A) ≤µ G( f ; A) ≤µG( fn2 ; A) = ∫ fn2 (x)dµx .

(9.1)

A

A

Покажимо, що множина G( f ; A) вимірна. Для довільного

ε > 0

знайдемо

натуральне число n таке, що

µG( fn2 ; A) −µG( fn1; A) < ε/ 2 .

(9.2)

Нехай En −елементарна множина така, що

µ(G( fn2 ; A)∆En ) < ε/ 2 .

(9.3)

Тоді

G( f ; A)∆En = (G( f ; A) \ En ) (En \ G( f ; A))

(G( fn2 ; A) \ En ) (En \ G( fn2 ; A)) (G( fn2 ; A) \ G( fn1; A))

(9.4)

На підставі півадитивності зовнішнюї міри і співвідношень (9.2 – 9.4) маємо

µ (G( f ; A)∆En ) ≤µ(G( fn2 ; A) \ En ) + µ(G( fn2 ; A)) −µ(G( fn1; A)) < ε.

Отже множина G( f ; A) вимірна. Спрямувавши n до нескінченості в нерівностях (9.1), одержимо

∫ f (x)dµx ≤ µG( f ; A) ≤ ∫ f (x)dµx .

A A

107