ТЕОРІЯ МІРИ ТА ІНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА

ГЛАВА I

ОСНОВИ ТЕОРІЇ МНОЖИН

1.1. Поняття множини, операції над множинами

Означення 1.1.1. Множиною називається сукупність, набір, сім’я, збори, колекція предметів, вибраних по деякому правилу (закону), або просто указаних; при цьому усі предмети різні. Предмети, із яких складається множина називаються елементами.

Множини будемо позначати прописними латинськими буквами, а елементи – малими літерами. Якщо елемент a належить множині A, то це будимо записувати так: а А.

Приклади.

1.N −множина усіх натуральних чисел, Z −множина всіх цілих чисел, R1 −множина всіх дійсних чисел, Q −множина всіх раціональних чисел.

2.Сегмент [a;b] −множина всіх дійсних чисел x , що задовольняють умову a ≤ x ≤b , інтервал (a;b) − множина всіх дійсних чисел x , що

задовольняють умову a < x <b , півінтервал [a;b) − множина всіх дійсних чисел x , що задовольняють умову a ≤ x <b , півінтервал(a;b] − множина всіх

дійсних чисел x , що задовольняють умову a < x ≤b .

3. C[a;b] − множина усіх функцій заданих і неперервних на сегменті [a;b] , M[a;b] − множина всіх функцій заданих і обмежених на сегменті [a;b] .

Якщо кожен елемент множини А є елементом множини В, то будемо казати, що множина А міститься в множині В, або множина В містить

множину А і позначати це будемо так: А В,	або В А. Будемо також казати,
що множина А є підмножиною множини	В. Наприклад, C[a;b] M[a;b] ,
N Z R1 .

Якщо кожен елемент множини А є елементом множини В і навпаки кожен елемент множини В є елементом множини А, то множини рівні: А = В.

Отже, щоб довести, що множини А і В рівні треба показати, що А В і В А.

Означення 1.1.2. Нехай задана деяка сім’я множин: Ai , i I . Множина всіх елементів, що належать хоч би однієї із множин даної сім’ї, називається

об’єднанням множин Ai і позначається об’єднання так		Ai .
		i I
Якщо маємо дві множини А	і В, то їх об’єднання позначимо через А В.
Якщо множин n штук:	А1 ,A2 ,...,An , то позначення їх об’єднання		буде
n
А1 A2 ... An , або Ai .
i=1
Означення 1.1.3. Перетином множин сім’я Ai , i I називається множина
всіх спільних елементів множин даної сім’ї.
Позначення перетину:	перетин сім’ї множин	− Ai , перетин	двох
		i I

n

множин − А В, перетин n множин − А1 A2 ... An , або Ai . Якщо множини

i=1

не мають спільних елементів, то будемо казати, що їх перетин – порожня множина. Порожню множину будемо позначати символом . Порожня множина може бути не тільки результатом перетину. Наприклад: множина дійсних розв’язків рівняння x2 +1 = 0 – порожня множина.

Означення 1.1.4. Різницею множини А і В називається множина усіх елементів множини А, що не належать множині В. Різниця множин А і В позначається таким чином: А \ В .

Означення 1.1.5. Симетричною різницею множини А і В називається множина (A \ B) (B \ A). Різниця позначається так: A∆B .

Означення 1.1.6. Якщо множина В є підмножиною множини А, то різниця множин А і В називається доповнення множини В до множини А. Доповнення множини В до множини А позначається символом САВ .

Властивості об’єднання, перетину і доповнення множин (властивості двоїстості).

Теорема 1.1.1 (Співвідношення двоїстості). Нехай кожна із множини

А1 ,A2 ,...,An міститься в множині А. Тоді мають місце рівності:

n

СА i=1 Ai

Доведення. Нехай

для кожного i =1,2,...,n

n			n	n
=	САAi	,	СА	Ai = САAi .
i=1			i=1	i=1
	n			x A, і	n
x СА		Ai	тобто		x Ai , отже x CA Ai
	i=1				i=1
	n				n
і x		САAi . Навпаки,			нехай x	САAi , тоді
	i=1				i=1

2