TEORIYa_MIRI_TA_INTEGRALU_chast2

ТЕОРІЯ МІРИ ТА ІНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА

Частина друга

ГЛАВА YІ

Функції обмеженої варіації

6.1.Монотонні функції та їх властивості

Означення 6.1.1.	Нехай	a ≤ x1 < x2 ≤b . Скінченна	функція f (x) ,
визначена на сегменті [a;b] , називається неспадною, якщо			f (x1 ) ≤ f (x2 ) , і
називається незростаючою, якщо		f (x1 ) ≥ f (x2 ) . У першому випадку кажуть,
що функція не спадає на сегменті [a;b] , а у другому − не зростає.
Якщо функція f (x)	не зростає на сегменті [a;b] , то − f (x) не спадає.

Тому надалі будемо розглядати неспадні функції. Неспадні і незростаючі функції називають монотонними.

1. Неспадна функція	f (x)		обмежена. Дійсно,					якщо a ≤ x ≤b , то
f (a) ≤ f (x) ≤ f (b) .
2. Неспадна функція	f (x)		вимірна на сегменті [a;b] . Дійсно, для
с [ f (a); f (b)] покладемо	x = sup x . Тоді для с R1 маємо
	0	f ( x)≤c
			,		c < f (a),
			[a;b], c ≥ f (b),
(x [a;b]: f ≤ c) =
		[a; x0 ], f (x0 ) ≤ c,
		[a;.x		0	), f (x	0	) > c.
3. Неспадна функція	f (x)	інтегровна за Лебегом						на сегменті [a;b] ,
тому що вона вимірна і обмежена.

78

4. Неспадна функція f (x) може мати тільки точки розриву першого

роду. Ця властивість випливає з того, що неспадна функція у кожній внутрішній точці x0 сегменту [a;b] має односторонні скінченні границі

f (x0 − 0) і

f (x0 + 0) , а також скінченні границі f (a + 0) і f (b − 0) .

Означення 6.1.2. Для x0 [a;b)

число

f (x0 + 0) − f (x0 ) називається

стрибком

справа

функції f (x)

у

точці

x0 ,

для

x0 (a;b]

число

f (x0 ) − f (x0 − 0)

називається стрибком

зліва функції

f (x)

у точці

x0 . Для

x0 (a;b) число

f (x0 + 0) − f (x0 − 0)

називається стрибком

функції

f (x) у

точці x0 .

5. Множина точок розриву неспадної

функції

f (x)

не більш ніж

зчисленна.

Доведення. Якщо

a < x1 < x2 <b точки розриву неспадної функції, то

очевидно,

що

f (x1 + 0) ≤ f (x2 − 0) .

Тоді

інтервали( f (x1 − 0); f (x1 + 0)) ,

( f (x2 − 0); f (x2 + 0)) не перетинаються.

Зрозуміло,

що для точок a і b слід

розглядати

відповідно

інтервали

( f (a); f (a + 0)) і

( f (b − 0); f (b)) .

Таким

чином, множені

точок

розриву

функції f (x)

відповідає

деяка множина

неперетинних інтервалів. Так як будь-яка множина неперетинних інтервалів не більш ніж зчисленна, то множина точок розриву неспадної функції f (x)

не більш ніж зчисленна.

6. Неспадна функція f (x) інтегровна за Ріманом на сегменті [a;b] ,

тому що вона обмежена і, в силу попередньої властивості майже скрізь неперервна.

79

6.2.Функції обмеженої варіації, приклади та їх властивості

Означення 6.2.1 Функція f (x) , що визначена на сегменті [a;b] ,

називається функцією обмеженої варіації, якщо існує додатне число C таке,

що для будь-якого набора точок ∆m ={a = x0 , x1,..., xт =b}, x0 < x1 <... < xт, виконується нерівність

m∑−1| f (xk+1 ) − f (xk ) |≤C .

k=0

Означення 6.2.2	Повною	варіацією функції обмеженої варіації f (x)
називається величина	b	m−1
	V ( f ) =sup ∑| f (xk+1 ) − f (xk ) | ,

a	∆m	k=0

де точна верхня грань береться по усім наборам ∆m .

Приклад 1. Неспадаюча функція f (x) є функцією обмеженої варіації і

		b			(6.2.1)
		V ( f ) = f (b) − f (a) .
		a			∆m ={a = x0 , x1,..., xт =b}:
Оскільки для		будь-якого	набора	точок
xk < xk+1 і тому	f (xk ) ≤ f (xk+1 ) , то
m∑−1| f (xk+1 ) − f (xk ) |= m∑−1[ f (xk+1 ) − f (xk )] = f (b) − f (a) .
k=0			k=0	f (b) − f (a) .
Отже точна верхня грань цих сум дорівнює
Приклад	2. Будь-яка неперервна на сегменті [a;b] функція f (x) , що
має обмежену похідну не інтервалі (a;b) , є функцією обмеженої варіації.
Дійсно, якщо |		f '(x) |≤ M , то внаслідок формули Лагранжа
	| f (xk+1 ) − f (xk ) |≤ M (xk+1 − xk )				k = 0,1,..., m −1,
і	m∑−1| f (xk+1 ) − f (xk ) |≤ m∑−1M (xk+1 − xk ) = M (b − a) .
	k=0		k=0

1. Будь-яка функція f (x) обмеженої варіації обмежена.

Доведення. Нехай x −довільна точка сегменту [a;b] . Тоді

| f (x) |=| f (x) − f (a) + f (a) |≤| f (x) − f (a) | +| f (a) |≤

80

≤| f (x) − f (a) |				b
	+| f (b) − f (x)+| f (a) |≤V ( f )+| f (a) | .
2. Сума функцій				a
	f (x) і	g(x)	обмеженої варіації на сегменті [a;b] є
функцією обмеженої варіації і		b	b	b
		V ( f	+ g) ≤V	( f ) +V (g) .
Доведення. Для		a	a	a
	будь-якого		набора точок ∆m ={a = x0 , x1,..., xт =b}
маємо
m∑−1| f (xk+1 ) + g(xk+1 ) − f (xk ) − g(xk ) |≤
k=0
m−1		m−1		b	b
≤ ∑| f (xk+1 ) − f (xk ) | +∑| g(xk+1 ) −g(xk ) |≤V ( f ) +V (g) .
k=0		k=0		a	a
3. Добуток функції f (x)		обмеженої варіації на число			λ є функцією
b		b
обмеженої варіації і V	(λf ) =| λ |V ( f ) .
a		a
Доведення. Для	будь-якого		набора точок ∆m ={a = x0 , x1,..., xт =b}
маємо
m∑−1| λf (xk+1 ) − λf (xk ) |=| λ | m∑−1| f (xk+1 ) − f (xk ) |
k=0			k=0

і отже

b		m−1
V (λf ) =sup ∑| λf (xk+1 )
a	∆m	k=0

m−1 b

− λf (xk ) |=| λ | sup ∑| f (xk+1 ) − f (xk ) |=| λ |V ( f ) .
∆m k=0	a

4. Добуток функцій f (x) і g(x) обмеженої варіації на сегменті [a;b] є

функцію обмеженої варіації і	b	b	b
	V ( fg) ≤ M 2 V ( f ) + M1 V (g) , де
	a	a	a
M1 = sup	| f (x) | , M 2 = sup | g(x) | .
x [a;b]		x [a;b]
Доведення. Для будь-якого		набора точок	∆m ={a = x0 , x1,..., xт =b}
маємо
m∑−1| f (xk+1 )g(xk+1 ) − f (xk )g(xk ) |= m∑−1| f (xk+1 )g(xk+1 ) − f (xk )g(xk+1 ) +
k=0		k=0

+ f (xk )g(xk+1 ) − f (xk )g(xk ) |≤ m∑−1| g(xk+1 ) || ( f (xk+1 ) − f (xk ) | +

k=0

+ m∑−1| f (xk ) ||g(xk+1 ) − g(xk ) |≤ M 2 m∑−1| f (xk+1 ) − f (xk ) | +M1 m∑−1| f (xk+1 ) − f (xk ) | .

k=0	k=0	k=0
5. Якщо	| g(x) |≥ c > 0, x [a;b] , то частка	f (x) / g(x) функцій
обмеженої варіації є функцією обмеженої варіації, , і

81

V ( f / g) ≤ 1

{M V ( f ) + M V (g)},

b

b

b

2

1 a

a

c2

a

де

M1 = sup | f (x) | ,

M 2

= sup | g(x) | .

x [a;b]

x [a;b]

Доведення. Для будь-якого

набора точок ∆m ={a = x0 , x1,..., xт =b}

маємо

m∑−1| f (xk+1 ) / g(xk+1 ) − f (xk ) / g(xk ) |= m∑−1| f (xk+1 )g(xk ) − f (xk )g(xk+1 ) |

≤

k=0

k=0

| g(xk )g(xk+1 ) |

1

m−1

≤

∑(|

g(xk ) || f (xk+1 ) − f (xk ) | +| f (xk ) || g(xk+1 ) − g(xk ) |) ≤

c2

k=0

≤ 1 {M V ( f ) + M V (g)}.

b

b

2 a

1 a

c2

6. Якщо f (x)

є функцій обмеженої варіації на сегменті [a;b] , то вона

є функцією обмеженої варіації на будь якому сегменту [c;d] [a;b].

Доведення.

Нехай

∆m ={с = x0 , x1,..., xт = d} будь-який

набор

точок, що здійснює розбиття

сегмента [c;d]. Тоді

m−1

m−1

b

∑| f (xk+1 ) − f (xk ) |≤| f (c) − f (a) | +∑|

f (xk+1 )

− f (xk ) | +| f (b) − f (d) |≤V ( f ) .

k=0

k=0

a

7. Якщо f (x)

є функцій обмеженої варіації на сегменті [a;b] і с−

довільна точка інтервалу (a;b) , то

b

c

b

(6.2.2)

V ( f ) =V ( f ) +V ( f ) .

a

a

c

Доведення. Нехай

∆1 =

{a = x

0

, x ,..., x

т

= c} набор точок, що здійснює

m

1

m−1

c

розбиття сегмента [a;c],

такий, що

∑|

f (xk+1 )

− f (xk ) |>V ( f ) −ε і відповідно

k=0

a

∆2n ={с = xm , xm+1,..., xm+n

m+n−1
[c;b], такий, що ∑|	f
k=m

=b}− набор точок, що здійснює розбиття сегмента

b
(xk+1 ) − f (xk ) |>V ( f ) −ε , де ε −	довільне додатне
c

число. Тоді набор ∆ = ∆1m ∆2n здійснює розбиття сегменту [a;b] і

82

c	b	m−1			m+n−1	b
V ( f ) +V ( f ) − 2ε < ∑| f			(xk+1 ) − f (xk ) |		+ ∑| f (xk+1 ) − f (xk ) |≤V ( f )
a	c	k=0			k=m	a
Завдяки довільності ε із одержаних нерівностей отримуємо
		c	b	b		(6.2.3)
		V ( f ) +V ( f ) ≤V ( f ) .
		a	c	a	знайдемо такий	набор точок
Для довільного		додатного	числа	ε
			b	m−1
∆m ={a = x0 , x1,..., xт =b}, що			V ( f ) −ε < ∑| f (xk+1 ) − f (xk ) | і зауважимо, що
			a	k=0

сума у правий частині останній нерівності не зменшиться, якщо додати ще одну точку розбиття. Тому можливо вважати, що серед точок набора ∆m

знаходиться точка c = x j . Тоді

b	m−1			j−1
V ( f ) −ε < ∑|		f (xk+1 ) − f (xk ) |= ∑| f (xk+1 ) − f (xk ) | +
a	k=0			k=0
	m−1			c	b
	+ ∑| f (xk+1 ) − f (xk ) |≤V ( f ) +V ( f )
	k= j			a	c
і
		c	b	b
					(6.2.4)
		V ( f ) +V ( f ) ≥V ( f ) .
		a	c	a

Із нерівностей (6.2.3) – (6.2.4) випливає рівність (6.2.2)

8. Для того, щоб функція f (x) була функцією обмеженої варіації на сегменті [a;b] , необхідно і достатньо, щоб її можливо було зобразити у вигляді різниці двох не спадаючих функцій.

Доведення. Достатність очевидна,	бо, якщо f (x) = f1 (x) − f2 (x) , де
функції не спадають на сегменті [a;b] , то	f1 (x) і − f2 (x) функції обмеженої

варіації, слід, в силу властивості 2, їх сума є функцією обмеженої варіації.

Необхідність. Нехай		x	f2	x	Завдяки
		f1 (x) =V ( f ),		(x) =V ( f ) − f (x) .
		a		a
властивості 7,	функція f1 (x)	не спадає на сегменті [a;b] . Покажемо, що
функція f2 (x)	теж не спадає. Припустимо, що a ≤ x1 < x2 ≤b , тоді,				внаслідок
властивості 7, маємо
	x2	x1	x2
f2 (x2 ) − f2 (x1 ) =V ( f ) − f (x2 ) −V ( f ) + f (x1 ) =V				( f ) − ( f (x2 ) − f (x1 )) ≥ 0
	a	a	x1
x2

тому, що V ( f ) ≥ f (x2 ) − f (x1 ) .

x1

83

9. Якщо функція

f (x) , обмеженої

варіації

на

сегменті

[a;b] ,

неперервна зліва у точці

x0 (a;b] , то функція

x

неперервна зліва у

V ( f )

точці

a

x0 .

Відповідно, якщо

функція

f (x)

неперервна

справа

у

точці

x

x0 [a;b) , то функція V ( f ) неперервна справа у точці x0 .

a

Доведення. Розглянемо перший випадок. Зобразимо

f (x)

у вигляді

f (x) = f1 (x) − f2 (x)

і зауважимо, що якщо функція

f1 (x) має стрибок зліва у

точці x0 , то такий же стрибок має функція

f2 (x) ,

тому що

f (x) неперервна

зліва у точці x0 . Тому можливо усунути одночасно розриви функцій

f1 (x) і

f2 (x)

не змінюючи функцію

f (x) . Отже будемо

вважати функції

f1 (x) і

f2 (x)

неперервними зліва у точці

x0 .

Для довільного ε > 0 знайдемо δ > 0

таке, що, якщо x (x0 −δ; x0 ) ,

то

f1 (x0 ) − f1 (x) <ε

і

f2 (x0 ) − f2 (x) <ε . Тоді

із властивостей 7, 2

і нерівності (6.2.1) знаходимо

x0

x

x0

x0

x0

V ( f ) −V ( f ) =V ( f ) ≤V ( f1 ) +V ( f2 ) = f1 (x0 ) − f1 (x) + f2 (x0 ) − f2 (x) = 2ε ,

a

a

x

x

x

якщо x (x0 −δ; x0 ) .

84

6.3Диференціювання монотонної функції

Вцьому розділі покажемо, що будь-яка неспадна на сегменті [a;b] функція f (x) має майже скрізь інтегровану за Лебегом похідну. Щоб

довести існування майже скрізь похідної доведемо декілька допоміжних тверджень.

6.3.1

Перша лема Серпинського.

Нехай A −деяка обмежена числова

множина,

H −сім’я інтервалів

(x; x + hx ), hx > 0 .

Для довільного

ε > 0 із

сім’ї H можливо вибрати

скінченну

множину

попарно

неперетинних

інтервалів

(xk ; xk + hk ) ,

k =1,2,..., m,

об’єднання

котрих

S

містить

підмножину A', множини A, зовнішня міра якої µ ( A') > µ ( A) −ε .

Доведення. Нехай An = (x A: hx >1/ n) . Якщо hx

>1/ n, то hx >1/(n +1) .

Тому послідовність множин

An

не спадає: An An+1 .

Очевидно також, що

A

∞

A . Тоді на підставі властивості 13 маємо µ ( A) = lim µ ( A ) . Отже

=

n=1

n

n→∞

n

існує таке натуральне число

n

таке, що µ ( A ) > µ

( A) −ε / 2 . Позначимо

n

b

=sup A ,

a

=inf A ,

l =b

− a , η =

ε

.

За означенням точної

1

n

1

n

1

1

2(nl +1)

нижньої межі існує число x1 An таке, що a1 ≤ x1 < a1 +η . Нехай (x1; x1 + h1 )

інтервал з сім’ї

H , довжина якого h1 >1/ n . Якщо правіше точки

x1 + h1 є

точки множини An , то через a2			позначимо їх точну нижню грань. Визначимо
точку x2 An	таку,	що a2 ≤ x2 < a2 +η і нехай (x2 ; x2 + h2 )		інтервал з сім’ї
H , довжина	якого	h2 >1/ n .	Продовжуючи цей процес,	через m кроків

досягнемо точки b1 , тому що кожен крок наближає до неї на відстань більшу за 1/ n . Тоді число m задовольняє нерівність (m −1) / n <l , тобто m < nl +1.

	m		m
Нехай S = (xk ; xk + hk ),			T = [ak ; xk ) . Тоді		An S T . Дійсно, якщо
x S T	k=1	x або	k=1		сегменту [a1;b1 ],			або x
	, то число		знаходиться зовні
знаходиться на пів інтервалі			[xk + hk ;ak+1 ) , де точок			множини	An	немає.
Отже x An . Оскільки		xk − ak <η , то µ(T ) < mη <ε / 2 .				Позначимо		An S
через A'. Тоді
	µ ( A) −ε < µ ( A ) −ε / 2 ≤ µ ( A S) + µ ( A T ) −ε / 2 ≤
		n	n		n
		≤ µ ( A') + µ(T ) −ε / 2 < µ ( A') .
Лема доведена.
6.3.2	Друга лема Серпинського.			Нехай виконуються умови першої
леми і окрім того для		довільного x A		існують у		сім’ї H	інтервали

85

(x; x + hx ) як завгодно малої довжини. Тоді інтервали (xk ; xk + hk ) можливо вибрати так, що µ(S) < µ ( A) +ε

Доведення. На підставі означення зовнішньої міри знайдеться відкрита множина G така, що G A і µ ( A) +ε > µ(G) . Нехай H ' підсім’я сім’ї H , що містить інтервали (x; x + hx ) , які містяться у множині G . У кожній точки

x A G такі інтервали знайдуться, тому що кожна точка x належить відкритої множини G разом з деяким інтервалом (x −δ; x +δ) , а за умовою

другої леми існують у сім’ї H інтервали (x; x + hx ) як		завгодно	малої
довжини. Отже можливо застосувати першу лему до	підсім’ї H '		і тоді
вибрані інтервали містяться у відкритої множині G	і їх	об’єднання S
задовольняє нерівність

µ(S) < µ(G) < µ ( A) +ε .

Лема доведена.

6.3.3 Третя лема Серпинського. Нехай виконуються умови другої леми і G1 довільна відкрита множина, що містить A. Тоді інтервали

(xk ; xk + hk ) можливо вибрати так, що S G1 .

Доведення. Справедливість третьої леми випливає з того, що міркуванні при доведенні другої леми можливо застосувати для множини

G G1 .

Лема доведена.

Зауваження 6.3.1.					Леми Серпинського мають місце, якщо сім’ю					H
інтервалів (x; x + hx )				замінити на сім’ю інтервалів (x − hx ; x) .
Означення 6.3.1. Нижнім правим похідним числом функції									f (x) ,	що
визначена у деякому околу точки x , називається нижня границя частки
	f (x + h) − f (x)			, де	h > 0, при умові, що h →0 . Нижнє праве похідне
		h
							D+ ( f , x) . Верхнім правим похідним числом
число позначається символом
функції f (x)		називається верхня границя частки
			f (x + h) − f (x)			,	де h > 0,	при умові, що h →0 .
				h
Верхнє			праве	похідне			число	позначається символом	D+ ( f , x) .

Аналогічно визначаються нижнє і верхнє ліві похідні числа:

86

	D	( f , x) = lim	f (x + h) − f (x)	,	D− ( f , x) =			f (x + h) − f (x)	.
						lim
	−	h<0,h→0	h		h<0,h→0			h

Якщо праві похідні числа скінченні і збігаються, то їх спільне значення називається правосторонню похідною і вона позначається символом f+' (x) .

Аналогічно, якщо ліві похідні числа скінченні і збігаються, то їх спільне значення називається лівосторонню похідною і вона позначається символом

f−' (x) . Зрозуміло, що якщо f+'

(x) = f−' (x) ,

то функція

f (x)

має похідну

f '(x) = f+' (x) = f+' (x) у точці x .

Теорема 6.3.1. Якщо

функція

f (x) не

спадає

на

сегменті

[a;b] і

майже скрізь на сегменті [a;b] існує похідна

f '(x) ,

то похідна інтегровна

за Лебегом на сегменті [a;b]

і має місце нерівність

∫ f '(x)dx ≤ f (b) − f (a) .

(6.3.1)

[a;b]

Доведення. Довизначемо

функцію

f (x)

на

півінтервал

(b;b +1],

поклавши

f (x) = f (b)

для

усіх

x (b;b +1]

і

розглянемо

послідовність

функцій

fn (x) = n{ f (x +

1 ) − f (x)}.

Функції

fn (x)

вимірні,

інтегровні за

n

fn (x)

Ріманом

і за Лебегом. Крім того послідовність функцій

задовольняє

умови теореми Фату. Дійсно послідовність функцій

fn (x)

майже скрізь

збігається

до похідної

f '(x) і,

зробивши

заміну

змінної в

рімановому

інтегралі, з урахуванням монотонності функції f (x) , одержимо.

b

1

b

b+1 / n

a +1 / n

∫

f

(x)dx − ∫

∫ fn (x)dx = n ∫ f (x +

n

)dx − ∫ f (x)dx = n

f (x)dx =

[a;b]

a

a

b

a

a +1 / n

= f (b) − n ∫ f (x)dx ≤ f (b) − f (a).

a

За теоремою Фату гранична функція f '(x) , послідовності функцій fn (x) , інтегровна за Лебегом і віконується нерівність (6.3.1).

Теорема доведена.

Лема 6.3.4. Якщо функція f (x) не спадає (не зростає) на сегменті [a, b] , то похідні числа майже скрізь скінчені.

87