TEORIYa_MIRI_TA_INTEGRALU_chast2

Теорема доведена.
Означення		9.2.	Нехай	A − множина на площині. Множина
A = ( y : (x, y) A, x R1 )			називається перерізом множини		A вертикальною
x
прямою, що проходить через точку x .					R1 Y , де Y є
Означення 9.3. Нехай A множина прямого добутку
простором Rm .		Множина		A = ( y Rm : (x, y) A, x R1) називається
перерізом множина A.				x
Нехай в R1 і в Y визначені				міри Лебега: µx і µy відповідно. Покладемо
f A (x) = µy ( Ax ) , якщо Ax			майже скрізь вимірна.
Відзначимо деякі властивості перерізів.
1.	Якщо A B , то Ax Bx .
2.	Якщо A = Ak ,		то Ax = Ak ,x .
		k		k
3. Якщо A = Ak , то Ax = Ak ,x .
		k		k

4.Якщо C = B \ A, то Cx = Bx \ Ax .

5.Якщо Ak попарно не перетинаються, їх не більше ніж зчисленна

множина, Ak ,x майже скрізь вимірні і A = Ak , то	f A (x) = ∑ f A (x) .
k	k	k
Дійсно, якщо множини Ak попарно не перетинаються, то Ak ,x попарно

не перетинаються, і в силу адитивності міри µy маємо µy ( Ax ) = ∑µy ( Ak ,x ) ,

слід f A (x) = ∑ f A (x) .					k
	k	k
			A є прямокутником P = I1 I2 ,		то Px = I2 , x I1 , і
Якщо множина
Px = ,	якщо x I1 .		Отже fP (x)	є проста функція,	яка на множині	I1
дорівнює µy (I2 ) і fP (x) = 0, якщо x I1 . Очевидно, що
		∫ fP (x)dµx = ∫ fP (x)dµx =µy (I2 )µx (I1 ) =µ(P) .
		R1	I1		m
Якщо						де
	E − елементарна множина на площині, тобто множина E = Pk
прямокутники попарно не перетинаються, то					k=1
		m	m	m
	µ(E) = ∑µ(Pk ) = ∑ ∫ fPk (x)dµx = ∫∑ fPk (x)dµx = ∫ fE (x)dµx .
		k=1	k=1 R1	R1k=1	R1
Лема 9.3. Нехай			∞	Ak неспадна монотонна послідовність
			A = Ak , де
			k=1

вимірних множин таких, що множини Ak ,x вимірні і

108

µ( Ak ) = ∫ f Ak (x)dµx ≤C .			(9.5)
Тоді послідовність функцій	R1
	f A (x) майже скрізь збігається до вимірної
інтегровної функції f (x) ,	k
µ( A) = ∫ f (x)dµx			(9.6)
і f A (x) = f (x) майже скрізь.	R1
			f A (x)
Доведення. На підставі теореми Леві послідовність функцій
майже скрізь збігається до вимірної інтегровної функції f (x) і			k
∫ f (x)dµx	= lim	∫ f Ak (x)dµx .	(9.7)
1	n→∞	1
R		R
З іншого боку, в силу неперервності міри, маємо
µ( A) = lim µ( An ) .			(9.8)
n→∞

Із (9.5), (9.7) – (9.8) випливає (9.6). Оскільки послідовність Ak ,x монотонна,

то	∞	Ax вимірна,		через те, що множини	Ak ,x вимірні, і
	Ax = Ak ,x , множина
	k=1
f A (x) = µ( Ax ) = lim µ( Ak ,x ) = lim f A (x) = f (x) .
	n→∞	n→∞	k
		∞
	Лема 9.4. Нехай A = Ak , де Ak незростаюча послідовність вимірних
		k=1
множин таких, що множини Ak ,x вимірні і
		µ( Ak ) = ∫ f Ak (x)dµx ≤C .			(9.5)
	Тоді послідовність функцій		R1
			f A (x) майже скрізь збігається до вимірної
інтегровної функції f (x) ,			k
		µ( A) = ∫ f (x)dµx			(6)
і	f A (x) = f (x) майже скрізь.			R1
	Доведення. На підставі теореми Леві послідовність функцій f A (x)
майже скрізь збігається до вимірної інтегровної функції f (x)					k
					і
	∫	f (x)dµx	= lim	∫ f Ak (x)dµx .	(9.7)
	1		n→∞	1
	R			R
З іншого боку, в силу неперервності міри, маємо
	µ( A) = lim µ( An ) .				(9.8)
		n→∞

Із (9.5), (9.7) – (9.8) випливає (9.6). Оскільки послідовність Ak ,x монотонна,

109

∞

Ak ,x ,

множина Ax

вимірна, тому

що множини Ak ,x

вимірні, і

то Ax =

k=1

f A (x) = µ( Ax ) = lim µ( Ak ,x ) = lim f A

(x) = f (x) .

n→∞

n→∞

k

Лема 9.5. Нехай

B вимірна множина в просторі Rl . Існує борелевська

множина А така, що A B і µA = µB .

Cn = Pn,k

,

де

Доведення.

Розглянемо

послідовність

множин

Pn,k −паралелепіпеди,

k

їх не

більш

ніж зчисленна

множина, і

таких,

що

µ(B) > ∑µPn,k −1/ n .

∞

k

Cn B , а

Введемо множини

A = Cn ,

Ak =

Cn .

k

n=1

n=1

∞

Очевидно,

що

A =

Ak B .

µA = µB , Ak Ak+1 . Поза тим множина

Ak є

k=1

P1,k1 P2,k 2 ... Pn,k n ,

об’єднанням

паралелепіпедів

кількість

яких

скінченна,

або зчисленна, тому що кожен перетин визначається набором з k

індексів n1, n2 ,..., nk , кожен з яких приймає скінченну або зчисленну множину

значень. Тому множину цих				перетинів	можно записати				у	вигляді
послідовності	Pk ,1, Pk ,2 ,..., Pk ,n ..., а множину Ak − у вигляді:							∞	~	. Отже
						Ak = Pk ,n
множина A є борельова. Лема доведена.								n=1
Лема 9.6. Нехай		A є множина, що			побудована		в лемі		9.4.		Тоді
функція f A (x)	інтегровна за Лебегом і має місце рівність
	µ( A) = ∫ f A (x)dµx = ∫µy ( Ax )dµx .
		R1		R1
Доведення. Нехай		Ak ,s	s	~	Ak ,s Ak ,s+1 і Ak			∞			Для
			= Pk ,n . Тоді					= Ak ,s .
множини Ak		Ak ,s	n=1					s=1
	і множин		виконуються умови леми			9.3,		через те, що
множини Ak ,s − елементарні, і
		µ( Ak ,s ) = ∫ f Ak ,s (x)dµx ≤C .
				R1
Тоді на підставі леми 9.3 послідовність функцій f A							(x) майже скрізь
					k ,s

збігається до вимірної інтегрованої функції fk (x) ,

µ( Ak ) = ∫ fk (x)dµx

R1

і f Ak (x) = fk (x) майже скрізь. Отже

µ( Ak ) = ∫ f Ak (x)dµx .

R1

Оскільки послідовність множин Ak не зростає, виконуються умови леми 9.4, то послідовність функцій збігається до вимірної інтегровної функції f (x) ,

	(9.9)
і,	внаслідок (9.9),
f A	(x) майже скрізь
k

110

µ( A) = ∫ f (x)dµx

R1

і f A (x) = f (x) майже скрізь. Отже
µ( A) = ∫ f A (x)dµx = ∫µy ( Ax )dµx .		(9.10)
R1	R1

Теорема 9.3. Нехай B −вимірна множина на площині, Bx = ( y;(x, y) B) . Тоді майже скрізь на множині R1 множини Bx вимірні, функція µy (Bx )

інтегровна і
µ(B) = ∫µy (Bx )dµx .	(9.11)
R1
Доведення. Розглянемо спочатку випадок, коли µ(B) = 0 .	Тоді і
µ( A) = 0 , а оскільки для множини A виконується рівність (9.11), то

µ( A) = ∫µy ( Ax )dµx .

R1

Оскільки інтеграл дорівнює нулю, а підінтегральна функція невід’ємна, то,

завдяки наслідку з

нерівності

Чебишева,

µy ( Ax ) = 0

майже скрізь. Але

Bx Ax , отже µy (Bx ) = 0 майже скрізь. А тоді

∫µy (Bx )dµx = 0 = µ(B) .

Нехай тепер µ(B) > 0 .

R1

D = A \ B .

Покладемо

Множина

D має міру нуль,

тому для неї виконується рівність (9.11):

µ(D) = ∫µy (Dx )dµx .

(9.12)

R1

Віднімаючи від рівності (9.10)

рівність

(9.12)

і враховуючи рівність

Bx = Ax \ Dx , одержимо

µ(B) = µ( A) − µ(D) = ∫µy ( Ax )dµx − ∫µy (Dx )dµx =

R1

R1

.

=

∫

(µ

y

( A ) −µ

y

(D

x

))dµ

x

=

∫

µ

y

(B

x

)dµ

x

x

Теорема доведена.

R1

R1

Теорема 9.4 (теорема Фубіні). Нехай функція z = f (x.y) інтегровна за

Лебегом на множині

A R2

по мірі Лебега µ = µx

µy , де µx , µy − лінійні

міри Лебега. Тоді для майже всіх x функція z = f (x.y) , як функція змінної y інтегровна на множині Ax . Інтеграл ∫ f (x, y)dµy , як функція змінної x ,

Ax

інтегровна за Лебегом і має місце рівність

111

∫ f (x, y)dµ = ∫ ∫ f (x, y)dµy dµx .				(9.13)
A		R1 Ax
Доведення.	Нехай	спочатку	функція f (x.y) буде не	від'ємна.
Розглянемо у просторі R3		підграфік G( f ; A) функції z = f (x.y) і міру Лебега
λ = µ µz = µx µy µz . На підставі теореми 9.2 маємо
	λ(G( f ; A)) = ∫ f (x, y)dµ			(9.14)
		A
З іншого боку з теореми 9.3 випливає, що
	λ(G( f ; A)) = ∫ν(G( f ; A)x )dµx ,			(9.15)
		R1	тобто множина пар ( y, z)
де ν = µy µz , а	G( f ; A)x − переріз,			таких, що

точка (x, y, z) G( f , A) . При цьому, в силу теореми 3, множини G( f ; A)x майже скрізь вимірні і функція ν(G( f ; A)x ) , як функція x , інтегровна.

Оскільки G( f ; A)x є підграфіком функції z = f (x.y) , як функції змінної y , визначеної на множині Ax , то, знову на підставі теореми 9.2, маємо

ν(G( f ; A)x ) = ∫ f (x, y)dµy .

(9.16)

Ax

Підставляючи (9.16) в ( 9.15) і використовуючи (9.14), одержимо (9.13) для невід’ємної функції. В загальному випадку розглянемо дві функції

f+ (x, y) =		| f (x, y) | + f (x, y)		,	f−	(x, y) =	| f (x, y) | − f (x, y)		.
			2					2
Функції	f+(x, y) і		f− (x, y) невід’ємні,			інтегровні за Лебегом. Отже для
них	виконується		твердження			теореми		Фубіні.		Оскільки

f (x, y) = f+ (x, y) − f− (x, y) , то теорема Фубіні має місце у загальному

випадку.

Теорема доведена.

Зауваження. Можно поміняти порядок інтегрування в (9.13). Тобто,

якщо виконуються умови теореми Фубіні, то					для майже всіх			y функція
z = f (x.y) ,	як	функція	змінної x	інтегровна	на	множині	Ay .	Інтеграл
∫ f (x, y)dµx	,	як функція змінної		y інтегровна		за Лебегом	і	має місце
Ay
рівність
		∫ f (x, y)dµ = ∫ ∫		f (x, y)dµx dµy .				(9.17)
		A	R1 Ay

Теорема 9.5. Якщо існує один з повторних інтегралів

112

∫ ∫| f (x, y) | dµy dµx ,		∫ ∫| f (x, y) | dµx dµy ,
R1 Ax		R1 Ay
то функція z = f (x.y)	інтегровна за Лебегом на множині A і мають місце

рівності (9.13) і (9.17).

Доведення. Нехай перший з інтегралів існує і дорівнює С. Функції fn (x, y) = max{| f (x, y) |, n} вимірні і обмежені, тому інтегровні за Лебегом на

множині A R2 і для кожної з них виконується рівність (9.13):

∫ fn (x, y)dµ = ∫ ∫		fn (x, y)dµy dµx ≤ ∫ ∫| f (x, y) | dµy dµx =C .
A	R1 Ax		R1 Ax
Крім того	послідовність	цих функцій	не спадає і	lim fn (x, y) =| f (x, y) | .
				n→∞

Застосовуючи теорему Леві, одержуємо інтегровність функції | f (x, y) | на множині A. Теорема доведена.

Література.

1.І.П. Натансон, Основи теорії функцій дійсної змінної, «Радянська школа»,

1950. – 424 с.

2.И.П. Натансон, Теория функций вещественной переменной, «Наука»,

1974. – 480 с.

3.А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин, Элементы теория функций и функционального анализа, «Наука», 1989. – 624 с.

4.Е. Титчмарш, Теория функций, «ГИТТЛ», 1951. – 506 с.

113