lekciya_9-14

n!1 k n

Оскiльки 8n (in in+1), то або fing має скiнченну границю lim in = l,

n!1

або in ! +1.

Означення 2. Число l = lim inf xk називається нижньою границею

послiдовностi fxng i позначається через limn!1xn або lim inf xn. Якщо

n!1

in ! +1, то пишуть lim inf xn = +1.

n!1

Означення 3. Верхня границя послiдовностi fxng означається наступним чином

lim xn = lim sup xn

:= lim sup xk:

n!1

n!1

n!1 k n

Приклади.

1) Нехай

x

k

k

2 N. Тодi

lim inf x

=

1; lim sup x

= 1

k

= ( 1) ,

n

!1

n

n!1

n

.

2) Нехай

x

= k( 1)

k

,

k

2 N. Тодi

= 0;

= +

k

lim inf x

n

lim sup x

n

n

!1

n!1

1.

Означення 4. Число (або символ +1 або 1) називається частковою границею послiдовностi, якщо в нiй iснує пiдпослiдовнiсть, яка збiгається до цього числа (або вiдповiдно до +1 або 1).

Лема 3. Нижня i верхня границi обмеженої послiдовностi є вiдповiдно найменшою i найбiльшою з часткових границь даної послiдовностi.

Доведемо це для lim inf xn = i.

Послiдовнiсть

i

n!1

неспадна i

i = lim i

2 R. Для кожного

n

inf x

n = k n

k

n!1

n

iснує (згiдно з означенням inf) kn таке, що

1

in xkn < in +

; kn < kn+1:

n

Оскiльки

1

lim in = lim (in

+

) = i;

n!1

n!1

n

то i – часткова границя.

Пересвiдчимось у тому, що це найменша часткова границя. Дiйсно, для довiльного " > 0 iснує n 2 N таке, що i " < in. Значить

8k n i " < in = inf xk xk:

k n

21

Нерiвнiсть i " < xk означає, що жодна з часткових границь не може бути менша нiж i ". Але " > 0 – довiльне. Таким чином вона не може бути менша нiж i.

Зауваження. Якщо послiдовнiсть не є обеженою знизу, то з неї можна видiлити пiдпослiдовнiсть, яка прямує до 1. Але в цьому випадку

i lim inf xn = 1: Тому можна умовитись вважати, що i в цьому випадку

n!1

lim inf є найменшою з часткових границь. lim sup може бути скiнченним. Тодi по доведеному вiн є найбiльшою з часткових границь. Якщо ж

lim sup xn = +1; то послiдовнiсть необмежена зверху i з неї можна

n!1

видiлити пiдпослiдовнiсть, яка прямує до +1. Якщо lim sup xn = 1;

n!1

то це означає, що sup xk = sn ! 1, тобто i сама послiдовнiсть fxng

k n

прямує до 1. Аналогiчно, якщо lim inf xn = +1; то xn ! +1; n !

n!1

1.

Пiдсумовуючи, маємо

Лема 3’. Для довiльної послiдовностi нижня границя є найменшою, а верхня границя є найбiльшою з часткових границь цiєї послiдовгостi. Зокрема, завжди нижня границя не перевершує верхньої.

Наслiдок 1. Послiдовнiсть має границю або прямує до +1 чи 1 тодi i тiльки тодi, коли її нижня границя спiвпадає з верхньою.

Випадки, коли

lim inf x

= lim sup x

= +

lim inf x

n = lim sup

x

n =

n

!1

n

n!1

n

1 або

n

!1

lim inf x

n!1

1 вже розiбранi. Тому будемо вважати, що

n

= lim sup x

n 2 R.

n

!1

n!1

Оскiльки

i

inf x

k

x

n

sup x

= s

;

n = k

n

k n

k

n

i за умовою lim in =

lim sn = A, то за лемою про три послiдовностi,

n!1

n!1

отримуємо lim xn = A

n!1

Наслiдок 2. Послiдовнiсть є збiжною тодi i тiльки тодi, коли збiжною є кожна її пiдпослiдовнiсть.

Нижня i верхня границi пiдпослiдовностi розташованi мiж нижньою i верхньою границями усiєї послiдовностi.

22