lekciya6_8-1

Лекцiя 6.

Злiченi множини.

Означення 1. Множина X називається злiченою, якщо X N.

Приклади.

1.N.

2.Множина парних чисел.

3.Множина непарних чисел.

4.Z.

Теорема 1. Q – злiчена множина.

Кожне рацiональне число мiститься у наступнiй таблицi

0,	1,	-1,	2,	-2, ...
1/2,	-1/2,	2/2,	-2/2,	3/2,	-3/2, ...
1/3,	-1/3,	2/3,	-2/3,	3/3,	-3/3, ...

................................................................................

Тепер перенумерувати рацiональнi числа можна так, як показано на малюнку.

Ще приклади.

1.N × N,

2.Q × Q,

3.Nn, Qn,

4.Множина точок простору Rn, всi координати яких рацiональнi.

Властивостi злiчених множин.

Теорема 1. Кожна нескiнченна множина мiстить у собi злiчену пiдмножину.

Нехай A – нескiнченна множина. Виберемо якийсь її елемент i позначимо його через a1. Ясно, що множина A1 := A\{a1} нескiнченна. Виберемо якийсь елемент цiєї множини i позначимо його a2. Множина A2 := A1 \{a1; a2} нескiнченна i з неї можна вибрати якийсь елемент a3.

1

Продовжуючи цей процес, отримаємо елементи an; n N, якi утворюють злiчену множину.

Теорема 2. Об’єднання злiченої сукупностi злiчених множин є злiченою множиною.

Для доведення використайте iдею доведення злiченностi множини рацiональних чисел.

Означення 1. Множина X називається не бiльш нiж злiченою, якщо вона скiнченна або злiчена.

Наслiдок. Об’єднання не бiльш нiж злiченої сукупностi не бiльш нiж злiчених множин є не бiльш нiж злiченою множиною.

Теорема 3. Множина всiх послiдовностей, елементами яких є нулi або одиницi незлiчена.

Позначимо дану множину через A. Припустимо, що ця множина злiчена. Занумеруємо її елементи i розташуємо їх у стовпчик:

a1 = (a11; a12; : : : ; a1n; : : :)

a2 = (a21; a22; : : : ; a2n; : : :)

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

an = (an1; an2; : : : ; ann; : : :)

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

де кожне aij дорiвнює 0 або 1. Однак елемент

b = (b1; b2; : : : ; bn; : : :);

де bi ≠ aii i, належить до множини A, але не спiвпадає з жодним з елементiв aj, Суперечнiсть.

Наслiдок 1. Вiдрiзок [0; 1] є незлiченою множиною.

Наслiдок 2. Множина R незлiчена.

Означення 2. Дiйсне число називається алгебраїчним, якщо воно є коренем алгебраїчного рiвняння з дiйсними коефiцiєнтами. У протилежному випадку число називається трансцедентним.

Вправа 1. Довести, що множина всiх алгебраїчних чисел злiчена.

Вправа 2. Довести, що iснують трансцедентнi числа.

2

Лекцiя 7.

Дiйснi числа.

Аксiоми.

Означення 1. Множина R називається множиною дiйсних чисел, а її елементи дiйсними числами, якщо виконується наступний комплекс умов, якi називаються аксiомами дiйсних чисел.

(I) Аксiоми додавання.

Означене вiдображення + : R × R → R; (x; y) → x + y, причому

1) iснує нейтральний елемент 0 (нуль) вiдносно додавання, тобто такий елемент 0 R, що

x R x + 0 = x;

2)для кожного дiйсного числа iснує протилежний елемент, тобто

x R (−x) R : x + (−x) = 0;

3)додавання асоцiативне, тобто

x; y; z R x + (y + z) = (x + y) + z;

4) додавання комутативне, тобто

x; y R x + y = y + x:

(II) Аксiоми множення.

Означене вiдображення · : R × R → R; (x; y) → x · y, причому

1) iснує нейтральний елемент 1 (одиниця) вiдносно множення, тобто такий елемент 1 R, що

x R x · 1 = x;

2)iснування оберненого елемента вiдносно множення

x R; (x ≠ 0) x−1 R : x · x−1 = 1;

3)множення асоцiативне, тобто

x; y; z R x · (y · z) = (x · y) · z;

4) множення комутативне, тобто x; y R x · y = y · x:

3

(I, II) Зв’язок множення i додавання.

Множення дистрибутивне вiдносно додавання:

x; y; z R (x + y) · z = x · z + y · z:

(III) Аксiоми порядку.

Мiж елементами R iснує вiдношення ≤, тобто для довiльних елементiв x; y R встановлено, виконується спiввiдношення x ≤ y, чи нi. При цьому задовольняються наступнi умови

1)x R x ≤ x;

2)x; y R (x ≤ y) (y ≤ x) (x = y),

3)x; y; z R (x ≤ y) (y ≤ z) (x ≤ z),

4)x; y R (x ≤ y) (y ≤ x).

(I, III) Зв’язок додавання i порядку.

x; y; z R (x ≤ y) (x + z ≤ y + z):

(II, III) Зв’язок множення i порядку.

x; y R (0 ≤ x) (0 ≤ y) (0 ≤ x · y):

(IY) Аксiома повноти (неперервностi).

Якщо X i Y – непорожнi пiдмножини множини R, такi, що

x X y Y (x ≤ y);

то

c R : x X y Y (x ≤ c ≤ y):

4

Деякi загальнi властивостi дiйсних чисел.

а) Наслiдки аксiом додавання.

1) в R iснує єдиний нульовий елемент.

01 = 01 + 02 = 02 + 01 = 02. 2) x R !(−x).

Якщо x1 i x2 – елементи, протилежнi до x, то

x1 = x1+0 = x1+(x+x2) = (x1+x)+x2 = (x+x1)+x2 = 0+x2 = x2+0 = x2

3) Рiвняння a + x = b має в R єдиний розв’язок x = b + (−a).Маємо

(a+x = b) ((a+x)+(−a) = b+(−a)) ((x+a)+(−a) = b+(−a))

(x + (a + (−a)) = b + (−a)) (x + 0 = b + (−a)) (x = b + (−a)):

Вираз b + (−a) записують також у виглядi b − a. b) Наслiдки аксiом множення.

1)в R iснує єдина одиниця 1.

2)x R \ {0} !x−1.

3)Рiвняння ax = b при a ≠ 0 має в R єдиний розв’язок x = a−1b.

Вправа. Довести твердження 1) – 3).

с) Наслiдки аксiом зв’язку додавння i множення.

1) x R (x · 0 = 0).

x + x · 0 = x · 1 + x · 0 = x(1 + 0) = x · 1 = x;

(x + x · 0 = x) (x · 0 = 0):

5

Останнє має мiсце в силу єдиностi нуля. 2) (x · y = 0) (x = 0) (y = 0)

Нехай, наприклад, y ≠ 0. Тодi з єдиностi розв’язку рiвняння xy = 0 отримуємо x = 0 · y−1 = 0:

3) x R (−x = (−1) · x).

x + (−x) = x · 1 + x · (−1) = x · (1 + (−1)) = x · 0 = 0: Значить (−1)x = −x:

4)x R ((−1) · (−x) = x).

5)x R ((−x) · (−x) = x · x).

Вправа. Довести властивостi 4) i 5) самостiйно. d) Наслiдки аксiом порядку.

Означення. Якщо x ≤ y i x ≠ y, то пишуть x < y (строга нерiвнiсть). 1) Для кожних x; y R виконується точно одне з спiввiлношень

x < y; x = y; y < x:

2)x; y; z R (x < y) (y ≤ z) (x < z);x; y; z R (x ≤ y) (y < z) (x < z).

e) Наслiдки аксiом зв’язку порядку з додавнням i множенням.

1) x; y; z; w R

(x < y) (x + z) < (y + z);

(0 < x) (−x < 0);

(x ≤ y) (z ≤ w) (x + z) ≤ (y + w);

(x ≤ y) (z < w) (x + z) < (y + w):

2) Якщо x; y; z R, то

(0 < x) (0 < y) (0 < x · y);

6

(x < 0) (y < 0) (0 < x · y);

(x < 0) (0 < y) (x · y < 0);

(x < y) (0 < z) (x · z < y · z);

(x < y) (z < 0) (y · z < x · z):

3) 0 < 1.

1 R \ {0}, отже 0 ≠ 1: Якщо припустити, що 1 < 0; то з властивостей 2) матимемо

(1 < 0) (1 < 0) (0 < 1 · 1) (0 < 1):

Але одночасно нерiвностi 1 < 0 i 0 < 1 виконуватися не можуть. Отже, нерiвнiсть 1 < 0 неможлива. Таким чином лишається тiльки можливiсть

0 < 1:

4)(0 < x) (0 < x−1),

(0 < x) (x < y) (0 < y−1) (y−1 < x−1):

Аксiома повноти i iснування точної верхньої (нижньої) межi.

Означення 1. Множина X R називається обмеженою зверху, якщо

c R : x X (x ≤ c):

При цьому число c називається верхньою межею множини X.

Означення 2. Множина X R називається обмеженою знизу, якщо

c R : x X (c ≤ x):

При цьому число c називається верхньою нижньою множини X.

Означення 3. Множина X R називається обмеженою, якщо вона є обмеженою i знизу i зверху.

Означення 4. Число a X R називається найбiльшим (максимальним) елементом множини X, якщо

x X (x ≤ a):

7

Означення 5. Число b X R називається найменшим (мiнiмальним) елементом множини X, якщо

x X (b ≤ x):

Позначення:

(a = max X) := ((a X) ( x X (x ≤ a));

(b = min X) := ((b X) ( x X (x ≤ b)):

Ще позначення:

max x; min x:

x X x X

З першої аксiоми порядку зразу випливає, що якщо в числовiй множинi iснує найбiльший (найменший) елемент, то вiн рiвно один.

Дiйсно, нехай a1 = max X i a + 2 = max X: Тодi a1 ≤ a2 i a2 ≤ a1, так що a1 = a2.

Разом з тим, навiть у обмеженiй множинi найбiльший (найменший) елемент може не iснувати.

Означення 6. Найменша з верхнiх меж непорожньої обмеженої зверху множини X називається точною верхньою межею (супремумом) множини X, так що

sup X := min{c R : x X (x ≤ c)}:

Теж саме iншими словами можна сказати так. Той факт, що s = sup X означає, що

( x X x ≤ s) ( s′ < s x X : (s′ < x)):

Означення 7. Найбiльша з нижнiх меж непорожньої обмеженої знизу множини X називається точною нижньою межею (iнфiнумом) множини X, так що

inf X := max{c R : x X (c ≤ x)}:

Теж саме iншими словами можна сказати так. Той факт, що i = inf X означає, що

( x X i ≤ x) ( i′(i < i′) x X : (x < i′)):

8

Ми говорили про те, що не кожна (навiть обмежена) множина має найбiльший (найменший) елемент. Разом з тим справедлива

Теорема 1. (принцип точної верхньої межi). Кожна непорохня обмежена зверху множина має, причому єдиний, супремум.

Єдинiсть найбiльшого елемента нам уже вiдома. Лишається пересвiдчитись

утому, що вiн iснує.

Нехай X R – дана множина, Y := {y R : x X (x ≤ y)} – множина верхнiх меж для X.

За умовами X ≠ i Y ≠ . Крiм того, x X y Y (x ≤ y). Тодi в сиду аксiоми повноти c R : (x ≤ c ≤ y).

Таким чином, c є верхньою межею для X, тобто c Y . Але, оскiльки

y Y (c ≤ y), c – найменший елемент в Y . Таким чином, c = sup X.

Теорема 2. (принцип точної нижньої межi). Кожна непорохня обмежена ззнизу множина має, причому єдиний, iнфiнум.

Вправа. Довести теорему 2 самостiйно.

Приклад. Нехай X = {x R : 0 ≤ x < 1}. Покажемо, що sup X = 1.

За означенням X, очевидно, що sup X ≤ 1. Для того, щоб показати, що sup X = 1, необхiдно перевiрити, що для довiльного q < 1 знайдеться x X таке, що q < x. Для цього досить наприклад довести, що q <

2−1(q + 1) < 1.

Вправа. Довести останнiй факт самостiйно.

9

Леуцiя 8.

Найважливiшi класи дiйсних чисел..

Натуральнi числа i принцип математичної iндукцiї.

Означення 0. Числа виду 1, 1+1, (1+1)+1,... позначаються символами 1; 2; 3; : : : i називаються натуральними числами.

Оскiльки продовження якогось процесу не завжди однозначне, дане означення потребує уточнення.

Означення 1. Множина X R називається iндуктивною, якщо

(x X) ((x + 1) X):

Приклади. R; R+

∩

Лема 1. Перетин X = X довiльної сiм’ї iндуктивних множин

X є iндуктивною множиною.

Доведення цього твердження проведiть самостiйно.

Означення 2. Множиною натуральних чисел називається найменша iндуктивна множина, яка мiстить у собi число 1, тобто це перетин всiх iндуктивних множин, що мiстять у собi 1. N – позначення множини натуральних чисел.

Прямим наслiдком цього означеня є наступний фундаментальний принцип

Принцип математичної iндукцiї. Якщо множина E N така, що 1 E i разом з довiльним x E множинi E належить також число x + 1, то E = N.

Проiллюструємо як працює цей принцип. За його допомогою доводяться, наприклад, такi кориснi властивостi натуральних чисел.

1o. Сума i добуток натуральних чисел – натуральнi числа.

Нехай m; n N. Покажемо, що m + n N. Покладемо

E = {n N : m N m + n N}:

10