lekciya_9-14

Лекцiя 9.

Принцип Архiмеда.

Цей принцип важливий як в теоретичному вiдношеннi, так i в планi конкретного застосування чисел для вимiрювань i обчислень. Принцип Архiмеда вiдображує властивостi натуральних i цiлих чисел, пов’язанi з аксiомою повноти. З них ми i почнемо.

1o. Довiльна непорожня обмежена зверху множина E натуральних чисел має найбiльший елемнт.

По лемi про точну верхню межу iснує єдиний sup E = s 2 R. За означенням точної верхньої межi

9n 2 N : s 1 < n s:

Тодi n = max E оскiльки всi натуральнi числа, якi бiльшi нiж n, будуть також не меншими, нiж n + 1, а n + 1 > s. Тобто натуральнi числа, бiльшi нiж n, не входять в E.

Наслiдки.

2o. Множина N необмежена зверху (оскiльки n < n + 1).

3o. В кожнiй непорожнiй обмеженiй зверху множинi цiлих чисел є максимальний елемент.

4o. В кожнiй непорожнiй обмеженiй знизу множинi цiлих чисел є мiнiмальний елемент.

5o. Множина Z необмежена нi знизу нi зверху.

Тепер зформулюємо принцип Архiмеда.

6o. Якщо зафiксувати довiльне додатне число h, то

8x 2 R9!k 2 Z : (k 1)h x < kh:

Оскiльки Zнеобежене зверху, множина fn 2 Z : hx < ng непорожня i обмежена знизу. Значить в нiй iснує найменший елемент k, тобто k 1 hx < k. Оскiльки h додатне, цi нерiвностi еквiвалентнi наведеним при формулюваннi принципу Архiмеда.

1

Єдинiсть такого k 2 Z, яке задовальняє двi останнi нерiвностi, випливає з єдиностi мiнiмального елемента числової множини.

Деякi наcлiдки з принципа Архiмеда.

7o. Для довiльного додатного числа " iснує n 2 N : 0 < n1 < ".

Згiдно з принципом Архiмеда 9n 2 Z : 1 < "n. Оскiльки 0 < 1 i 0 < ", маємо 0 < n. Таким чином, n 2 N i 0 < n1 < ".

8o. Нехай x 2 R таке, що 0 x 8n 2 N (x n1 ). Тодi x = 0.

Випливає з 7o.

9o. Для довiльних чисел a; b 2 R таких, що a < b, знайдеться рацiональне число r 2 Q таке, що a < r < b.

Враховуючи 7o, пiдберемо n 2 N таке, що 0 < n1				< b a. Згiдно
з принципом Архiмеда знайдемо m 2 Z таке, що			mn 1	a < mn . Тодi
матимемо	m < b, оскiльки в протилежному випадку ми б мали				m 1
m	n	1		mn
a < b m n	, звiдки випливало б, що	n > b a. Таким чином, r = n				2 Q
i a < n < b.

10o. 8x 2 R9!k 2 Z : k x < k + 1.

Доведення зразу випливає з принципа Архiмеда.

Вказане число k називається цiлою частиною числа x i позначається [x]. Величина fxg := x [x] називається дробовою частиною числа x. Таким чином, x = [x] + fxg, причому fxg 0.

Числова вiсь.

По вiдношенню до дiйсних чисел часто використовують геометричну мову, пов’язану з тiєю обставиною, що в силу аксiом геометрiї мiж точками прямої L i множиною R можна встановити взаємно-однозначну вiдповiднiсть f : L ! R, пов’язану з рухами прямої (якщо T – зсув L по собi, то iснує t 2 R, залежне тiльки вiд T i таке, що f(T (x)) = f(x) + t для довiльної точки x 2 L).

Число f(x) називається координатою точки x. Оскiльки f – взаємно-однозначна вiдповiднiсть, координату точки часто називають просто точкою. Пряму L при наявностi вказаної вiдповiдностi f : L ! R називають координатною вiссю, числовою вiссю, або числовою прямою. В силу бiєктивностi f саму множину R також часто називають числовою прямою, а її елементи – точками числової прямої.

2

Вiдображення f : L ! R, яке задає на L координати, буде повнiстю означеним, якщо ми вкажем точку з координатою 0 i точку з координатою 1, або коротше, точки 0 (початку координат) i точки 1. Вiдрiзок, який визначається цими точками, називається одиничним вiдрiзком. Напрям, який визначиається променем з вершиною в точцi 0, що мiстить у собi точку 1, називається додатним. Рух у цьому напрямi (вiд 0 до 1) – рухом злiва направо. У вiдповiдностi з цiєю домовленiстю 1 розташована правiше 0, а 0 лiвiше 1.

При паралельному зсувi T , який переводить початок координат x0 в точку x1 = T (x0) з координатою 1, координати образiв всiх точок будуть на 1 бiльшi координат прообразiв.

Тому знаходимо точку x2 = T (x1) з координатою 2, точку x3 = T (x2) з координатою 3 i так далi, а також точку x 1 = T 1(x0) з координатою -1, точку x 2 = T 1(x 1) з координатою -2, i так далi. Таким чином отримуємо всi точки з цiлими координатами m 2 Z.

Далi, умiючи подвоювати, потроювати,... одиничний вiдрiзок, ми по теоремi Фалеса можемл також цей вiдрiзок розбити на вiдповiдне число n конгруентних вiдрiзкiв. Беручи той з них, одним кiнцем якого є початок координат, для координати x другого кiнця матимемо рiвняння nx = 1, тобто x = n1 . Звiдси знаходимо всi точки з рацiональними координатами mn 2 Q.

Але залишаться ще точки L оскiльки е вiдрiзки, якi не спiврозмiрнi з одиничним. Кожна така точка розбиває пряму на два променi, на кожному з яких є точки з цiдими (рацiональними) координатами. Це наслiдок з "стародавнього"принцмпу Архiмеда. Таким чином, ця точка виконує розбиття (перерiз) множини Q на двi непорожнi множини X i Y , якi вiдповiдають рацiональним точкам лiвого i правого променiв. Згiдно з аксiомою повноти iснує число c, яке роздiляє X i Y , тобто 8x 2 X 8y 2 Y (x c y). Оскiльки X [ Y = Q, маємо sup X = s = i = inf Y = c. Це однозначно означене число c i ставиться у вiдповiднiсь вказанiй точцi прямої.

Описане спiвставлення точкам прямої їх координат дає наочну модель як для вiдношення порядку (звiдси термiн "лiнiйна упорядкованiсть"), так i для аксiоми повноти або неперервностi R, яка на геометричнiй мовi означає, що в прямiй L немає дiрок, якi б розбивали пряму

на два куски, що не мають спiльних точок.

Подальшi деталi конструкцiї f ми уточнювати не будемо, оскiльки геометричну iнтерпретацiю

будемо використовувати тiльки для наочностi i пiдключення геометричної iнтуiцiї. Формальнi

доведення будуть спиратися на той набiр фактiв, який ми отримали за допомогою аксiом,

або безпосередньо на самi аксiоми.

3

Лекцiя 10.

Основнi принципи математичного аналiзу.

Лема про вкладенi вiдрiзки (принцип Кантора – Кошi).

Означення 1. Нехай X1; X2; :::; Xn; ::: – послiдовнiсть множин. Якщо X1 X2 ::: Xn :::, то ми маємо послiдовнiсть вкладених множин.

Лема. Для довiльної послiдовностi вкладених вiдрiзкiв I1 I2

::: In ::: (In = [an; bn]) iснує точка c 2 R яка належить кожному з вiдрiзкiв In. Якщо 8" > 09n 2 N : jInj < ", то c –єдина спiльна точка для всiх вiдрiзкiв In.

Нехай X = fan : n 2 Ng, Y = fbn : n 2 Ng. Тодi матимемо 8n; m 2 N (an bm). Таким чином, для множин X i Y виконуються умови аксiоми повноти, i, значить, iснує точка c 2 R така, що 8n; m 2 N (an bm). Зокрема, 8n 2 N (an c bn), тобто 8n 2 N (c 2 In). Перше твердження леми доведене.

Нехай c1 < c2 – двi точки, якi мають таку властивiсть. Тодi для кожного n 2 N буде an c1 < c2 bn, так що для кожного n 2 N буде jInj = bn an c2 c1 > 0. Останнє означає, що в данiй послiдовностi вiдрiзкiв немає вiдрiзкiв, довжина яких менша " = c2 c1.

Лема повнiстю доведена.

Задача. Пересвiдчитись у тому, що замiнити в лемi вiдрiзки напiвiнтервалами, або iнтервалами не можна.

Лема про скiнченне покриття (принцип Бореля – Лебега).

Означення 1. Будемо говорити, що система S = fXg множин X покриває множину Y , якщо

[

Y = X:

X2S

Означення 2. Будемо говорити, що система S0 S множин X утворює пiдпокриття покриття S = fXg множини Y , якщо вона сама є покриттям цiєї множини.

4

Лема. З довiльного покриття вiдрiзку I = [a; b] вiдкритими iнтервалами можна видiлити скiнченне пiдпокриття.

Нехай S = fUg – система iнтервалiв U, яка покриває вiдрiзок I. Припустимо, що нiяка скiнченна частина системи S = fUg не покриває I. Подiлимо I навпiл (точнiше, зобразимо у виглядi об’єднання двох вiдрiзкiв [a; (a + b)=2] i [(a + b)=2; b]). Принаймнi одна з цих половинок не може бути покрита скiнченною кiлькiстю iнтервалiв системи S = fUg. Позначимо цю половинку через I1. Подiлимо тепер I1 пополам.

Принаймнi одна з отриманих половинок не може бути покрита скiнченною кiлькiстю iнтервалiв системи S = fUg. Позначимо цю половинку через I2. Таку саму прцедуру виконаємо з I2. Отримаємо вiдрiзок I3 i так далi.

Врезультатi описаного процесу виникне послiдовнiсть I1 I2

:::In ::: вкладених вiдрiзкiв, кожен з яких не допускає покриття скiнченню кiлькiстю iнтервалiв з системи S = fUg. При цьому в данiй

послiдовностi вiдрiзкiв будуть iснувати вiдрiзки як завгодно малої довжини. По лемi про вкладенi вiдрiзки 9!c 2 R 8n 2 N (c 2 In). Оскiльки c 2 I1,

9( ; ) 2 S : c 2 ( ; ). Нехай " = min(c ; c). Знайдемо в побудованiй послiдовностi вiдрiзкiв такий вiдрiзок In, що jInj < ". Очевидно, що буде In ( ; ). Таким чином, з одного боку вiдрiзок In за побудовою не можна покрити скiнченною кiлькiстю iнтервалiв системи S, а з iншого боку вiдрiзок In виявився покритим тiльки одним

iнтервалом ( ; ) з цiєї системи. Ми отримали суперечнiсть. Лема доведена.

Вправа 1. Пересвiдчитись у тому, що вiдрiзок I = [a; b] в лемi не можна замiнити напiввiдкритим, або вiдкритим iнтервалом.

Вправа 2. Пересвiдчитись у тому, що вiдкритi iнтервали в системi не можна замiнити напiввiдкритими iнтервалами, або замкненими вiдрiзками.

Лема про граничну точку (принцип Больцано – Вейєрштраса).

Означення 1. Околом точки x 2 R називається довiльний вiдкритий iнтервал, що мiстить у собi цю точку. Якщо – додатне число, то - околом точки x 2 R називається iнтервал x ; x + .

5

Означення 2. Точка p 2 R називається граничною точкою множини X R, якщо довiльний окiл точки p мiстить у собi нескiнченну кiлькiсть точок з множини X.

Означення 2’. Точка p 2 R називається граничною точкою множини X R, якщо довiльний окiл точки p мiстить у собi хоча б одну точку з множини X, яка вiдрiзняється вiд p.

Вправа. Довести еквiвалентнiсть означень 2 i 2’.

Приклади.

1)Нехай X R – скiнченна множина. Тодi X не має жодної граничної точки.

2)Нехай X = fn1 : n 2 Ng. Тодi 0 - єдина гранична точка множини

X.

3)X = (a; b). Тодi множина граничних точок X це [a; b].

4)X = Q. Тодi множина граничних точок X це R.

Лема. Кожна нескiнченна обмежена множина X R має принаймнi одну граничну точку.

Оскiльки X – обмежена множина, то X I = [a; b] R. Покажемо, що принаймнi одна точка вiдрiзка [a; b] є граничною точкою множини

X.

Припустимо, що це не так. Тодi для кожної точки x 2 [a; b] знайдеться окiл U(x), в якому мiститься хiба що скiнченна кiлькiсть точок множини X. Cистема iнтервалiв S = fU(x) : x 2 [a; b]g покриває вiдрiзок [a; b].

По лемi про скiнченне покриття iснує скiнченна система fU(x1); :::; U(xn)g iнтервалiв ситеми S, яка теж покриває вiдрiзок [a; b]. Ця ж система fU(x1); :::; U(xn)g покриває i множину X. Але в кожнiй з множин U(xi) мiститься хiба що скiнченна кiлькiсть точок множини X. Cкiнченна кiлькiсть точок множини X буде тодi мiститися i в U(x1) [::: [U(xn) X. Але останнє суперечить тому, що X – нескiнченна множина.

Вправа. Пересвiдчитись у тому, що необмежена нескiнченна множина може не мати жодної гораничної точки.

Вказiвка. Розгляньте множину X = N.

6

Лекцiя 11.

Границя послiдовностi.

Нагадаємо, що послiдовнiсть дiйсних чисел – це функцiя f : N ! R. Значення f(n); n 2 N називаються членами послiдовностi. Їх позначають xn = f(n). Саму послiдовнiсть позначають fxng, або записують у виглядi x1; x2; :::; xn; :::. xn називається n-м членом послiдовностi.

Означення 1. Число A 2 R називається границею послiдовностi fxng якщо для довiльного околу V (A) точки A знайдеться такий номер N (який, взагалi кажучи, залежить вiд V (A)), що всi члени послiдовностi, номери яких бiльшi N, мiстяться в V (A).

Той факт, що границя послiдовностi fxng дорiвнює числу A записується так:

lim xn = A:

n!1

Отже

lim xn = A := (8 V (A) 9 N 2 N 8 n > N (xn 2 V (A))) :

n!1

Друге розповсюджене означення границi послiдовностi виглядає так.

Означення 1’. Число A 2 R називається границею послiдовностi fxng якщо для довiльного додатного " знайдеться такий номер N (який, взагалi кажучи, залежить вiд "), що для всiх членiв послiдовностi, номери яких бiльшi N, виконується нерiвнiсть

jxn Aj < ":

Отже

lim xn = A := (8 " > 0 9 N 2 N 8 n > N jxn Aj < ") :

n!1

Означення 2. Якщо lim xn = A, то говорять, що послiдовнiсть fxng

n!1

збiгається до A, або прямує до A, i пишуть також xn ! A при n ! 1, або xn ! A; n ! 1.

Послiдовнiсть, яка має границю, називається збiжною. Послiдовнiсть, яка не має границi, називається розбiжною.

7

Приклади.

1). lim 1 = 0:

n!1 n

Дiйсно, n1 0 = n1 < " при n > N = 1" .

2) lim n+1 = 1:

n!1 n

Дiйсно n+1n 1 = n1 < " при n > N = 1" .

3) lim sin n = 0:

n!1 n

4)	lim	1 +		( 1)n	= 1:
	n!1			n
5) nlim		1	= 0, якщо jqj > 1:
		qn
6)	!1					n	g не має границi.
	Послiдовнiсть f( 1)

Дiйсно в 12 – окiл довiльного числа A 2 R не попадає нескiнченна кiлькiсть членiв даної послiдовностi.

7) Послiдовнiсть fn( 1)ng не має границi.

Властивостi границi послiдовностi.

Загальнi властивостi границi послiдовностi.

Послiдовнiсть, яка приймає тiльки одне значення (наприклад, 1; 1; : : : ; 1; : : :) називається сталою, або стацiонарною.

Означення 1. Якщо

9A 2 R 9N 2 N 8n > N (xn = A);

то послiдовнiсть fxng називаться фiнально сталою.

Означення 2. Якщо

9M 2 R 8n 2 N (jxnj M);

то послiдовнiсть fxng називаться обмеженою.

Теорема 1.

a)Фiнально стало послiдовнiсть є збiжною.

b)У кожному околi гранмцi послiдовностi мiстияться всi члени послiдовностi за виключенням хiба що скiнченної їх кiлькостi.

8

c)Послiдовнiсть не може мати двох рiзних границь.

d)Збiжна послiдовнiсть обмежена.

Доведемо с). Припустимо, що послiдовнiсть fxng має двi рiзнi границi A < B. Виберемо два неперетиннi околи чисел A i B (позначення V (A) i V (B) вiдповiдно) . Для околу V (A) iснує N1 таке, що при n > N1 буде xn 2 V (A). Для околу V (B) iснує N2 таке, що при n > N2 буде xn 2 V (B). Нехай N = maxfN1; N2g. Для n > N матимемо xn 2 V (A)\V (B). Отримали суперечнiсть.

Тепер доведемо d). Нехай lim x + n = A: Iснує N 2 N таке, що для

n!1

n > N

jxn Aj < 1:

Покладемо

M = maxfjx1j; : : : ; jxN j; jAj + 1g:

Для кожного n матимемо jxnj M.

Теорема 2. Якщо xn ! A; yn ! B; n ! 1, i 8n 2 N xn yn, то A B.

Припустимо, що B < A. Покладемо " = A 2B . Знайдеться N1 таке,

що для n > N1 буде

A B

x

n

B

j

<

;

j

2

i, значить,

A B

A + B

xn < B +

=

:

2

2

Знайдеться також N2таке, що для n > N1 буде

y

n

A

<

A B

;

j

j

2

i, значить,

A B

A + B

=

+ A < y :

2

2

n

Звiдси випливає, що для n > maxfN1; N2g буде yn < xn. Суперечнiсть.

Теорема 3. Якщо xn ! A; yn ! A; n ! 1, i 8n 2 N xn zn yn, то zn ! A; n ! 1.

9

Нехай задано " > 0. Виберемо числа N1; N2 так, щоб

8v N1 A " < xn < A + "

i

8v N2 A " < yn < A + ":

Тодi буде

8n > N = maxfN1; N2g A " < xn zn yn < A + ":

Звiдси

8n > N A " < zn < A + ";

або

8n > N j zn Aj < ":

Теорема 4. Якщо xn ! A; n ! 1, то jxnj ! jAj.

Вправа. Доведiть теорему 4 самостiйно.

Вказiвка. Використайте нерiвнiсть jjxj jyjj jx yj.

10