An_geometria_Lin_algebra

ax ay az

(a,b,c) =

bx

by

bz

.

cx

cy cz

Действительно,

a (b×c) =(a

,a

,a ) (

by

bz

;−

bx bz

;

bx by

) =

x

y

z

cy

cz

cx cz

cx cy

=ax

by bz

−ay

bx

bz

+az

bx by

=

ax

ay

az

bx

by

bz

.

c

c

c

c

c

c

y

z

x

z

x

y

cx

cy

cz

§ 8. Двойное векторное произведение

Определение. Двойным векторным произведением трёх ненулевых векторов a ≠ 0 , b ≠ 0 и c ≠ 0 называется a ×(b ×c) ; если хотя бы один из

def

векторов a , b или c равен нулю, то a ×(b ×c) = 0 .

Итак, мы видим, что двойное векторное произведение представляет собою векторную величину. Заметим, что объекты типа a ×(b ×c) часто

встречаются в физике и механике. Выведем простую форму для вычисление

двойного векторного произведения.

Итак, допустим, что нам известны координаты векторов, т.е. a =axi +ay j +azk , b =bxi +by j +bzk , c =cxi +cy j +czk .

Вычислим a ×(b ×c) .

Обозначим v =b ×c , u =a ×(b ×c) =a × v .

Очевидно, что нас интересует вектор v . Известно, что вектор v =b ×c

выражается через координаты векторов b и c так:

	i	j	k
v =	bx	by	bz	=(bycz −bzcy )i +(bzcx −bxcz )j +(bxcy −bycx )k ,
	cx	cy	cz

то есть

vx =bycz −bzcy , vy =bzcx −bxcz , vz =bxcy −bycx .

В свою очередь, аналогично

35

u =a × v =(ayvz −azvy )i +(azvx −axvz )j +(axvy −ayvx )k .

Подставим в правую часть этого равенства полученные выражения для vx , vy и vz и, кроме того, выполним искусственное преобразование, доба-

вив и отняв к правой части выражения axbxcxi , aybycy j, azbzczk . Получим:

u =a×(b×c) =[aybxcy −aybycx −azbzcx +azbxcz ]i +[azbycz −azbzcy −axbxcy +axbycx ]j+[axbzcx −axbxcz −aybycz +aybzcy ]k +axbxcxi −axbxcxi +aybycy j− −aybycy j+azbzczk −azbzczk =bx (aycy +azcz )i +axbxcxi +by (azcz +axcx )j+ +aybycy j+bz (axcx +aycy )k +azbzczk −[cx (ayby +azbz )i +axbxcxi +cy (azbz + +axbx )j+aybycy j+cz (axbx +ayby )k +azbzczk]=(bxi +byj+bzk)(axcx +aycy + +azcz ) −(cxi +cyj+czk) (axbx +ayby +azbz ) =b(a c) −c(a b)

Итак, получили: a ×(b ×c) =b(a c) −c(a b).

Отметим, что справа в скобках стоят числа, равные скалярным произве-

дениям a c и a b ; они являются коэффициентами линейной комбинации векторов b и c , через которые выражается двойное векторное произведе-

ние a ×(b ×c) . Нетрудно заметить, что двойное векторное произведение

представляет собою вектор, который лежит в той же плоскости, что и вектора b и c , т.е. векторы a ×(b ×c) , b и c компланарны.

Остановимся теперь на вычислении выражения (a ×b) ×c , которое, во-

обще говоря, также является двойным векторным произведением. Действительно:

(a ×b) ×c = −c ×(a ×b) = −[a(c b) −b(c a)] = b(a c) −a(b c),

т.е. (a ×b) ×c представляет собою вектор, лежащий в одной плоскости с векторами a и b . Очевидно также, что a ×(b ×c) ≠ (a ×b) ×c .

Другие свойства двойного векторного произведения нетрудно проанализировать, принимая во внимание свойства скалярного и векторного произведения.

Пример 1. Показать, что точки А (1,2,1), В (3,3,3), С (4,1,2) и D (5,4,5)

лежат в одной плоскости.	JJJG JJJG JJJG
Решение. Найдем координаты векторов AB , AC и AD .
	36

JJJJG JJJJG JJJJG

AB (2,1,2), AC (3,-1,1), AD (4,2,4).

Если точки А, В, С и D лежат в одной плоскости, то и векторы лежат в одной плоскости (рис. 2.8.1), а тогда смешанное произведение этих векторов равно нулю.

	B
A		C
	Рис. 2.8.1	D
Действительно,	JJJG 2	1 2
JJJJG JJJJG
(AB , AC ,AD ) = 3		−1 1 = 0,

4 2 4

т.к. первая и вторая строки определителя пропорциональны.

Пример 2. Доказать, что векторы a = i + j + 2k , b =3i + 4j +k и c = i + 2j −3k линейно зависимы и найти эту линейную зависимость.

Решение.

(a ,b ,c )=	1	1	2
	3	4	1	=0,
	1	2	−3

cледовательно, векторы a , b и c компланарны, а значит, они линейно зави-

симы, т.е. существуют константы λ , μ и ν такие, что λ a + μ b +ν c =0, т.е.

λ ( i + j+ 2k )+ μ (3 i + 4 j +k ) + ν ( i +2 j-3k )= 0 , откуда следует: ( λ + 3 μ +

ν ) i + ( λ + 4 μ + 2ν ) j + (2 λ +		μ -3ν )k = 0 , т.к. i , j, k -				базисные векторы,
то имеем такую систему для нахождения λ , μ и ν :
λ +3μ +ν =0	λ +3μ +ν =0			λ +3μ +ν =0			λ = 2ν
	μ +ν =0					+ν = 0
λ +4μ +2ν =0				μ =−ν	λ −3ν
	−5μ −5ν =0						μ = −ν
2λ +μ −3ν =0

Здесь ν выступает в качестве параметра, и данная система имеет бесчисленное множество решений. Подставим λ = 2ν , μ = −ν в указанную выше

линейную комбинацию: 2νa −νb +νc = 0 . Сократим на ν ≠ 0 . Получим искомую линейную зависимость 2a −b +c = 0 .

37

ГЛАВА IV. МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

§ 1. Матрицы. Основные понятия

1. Основные понятия

Матрицами в математике называют математические объекты, имеющие вид таблицы.

a	a	...	a
11	12	...	1n
A = a21	a22		a2n
.	.	.	.
am1	am 2	...	amn

с размерами m ×n , где m - число строк, а n - число столбцов, для которых определено равенство и действия сложения, умножения и умножения на число, которые мы определим далее.

Заметим, что элементами матрицы могут быть как числа действительные или комплексные, так и другие математические объекты, например, функции (в этом случае матрица называется функциональной).

Иногда матрицы обозначают так:

		a11	a12	...	a1n
A =		a21	a22	...	a2n
		.	.	.	.
		am1	am 2	...	amn

или более кратко:

a11

, или так: A = a21

.am1

a	...	a
12	...	1n
a22		a2n		,
.	.	.
am 2	...	amn

A =

a

ij

, или A =

a

ij

, или A = a

, (i =1,2,...,m;j =1,2,...,n) .

ij

Если число строк n данной матрицы совпадает с числом её столбцов, то матрица называется квадратной, при этом говорят, что она имеет порядок n или размеры n ×n , т.е. квадратная матрица имеет вид

a	a	...	a
11	12	...	1n
A = a21	a22		a2n .
.	.	.	.
an1	an 2	...	ann

Элементы a11 , a22 , …, ann квадратной матрицы A образуют так назы-

ваемую главную диагональ или говорят, что они стоят на главной диагонали; элементы an1 , a(n−1)2 , …, a1n образуют так называемую побочную диа-

74

гональ квадратной матрицы, они идут из левого нижнего в правый верхний угол матрицы.

Квадратная матрица называется треугольной, если все её элементы, стоящие выше или ниже главной диагонали, равны нулю.

Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы, не стоящие на главной диагонали, равны нулю, т.е.

	a11		0	0 ...		0
		0	a22	0 ...		0
diag(a11,a22	,..,ann ) =	0	0	a33 ...		0	.
			.	.	.	.
	.
		0	0	0	0
						ann

Определитель квадратной матрицы обозначается detA, т.е.

a11	a12	...	a1n
detA = a21	a22	...	a2n .
.	. . .

an1 an 2 ... ann

Диагональная матрица, все диагональные элементы которой равны единице, называется единичной и обозначается I или E .

	1	0	0	...	0
	0	1	0	...	0
E =	0	0	1	...	0	.
				.	.
. . .
		0	0	...	1
0

Очевидно, что detE =1.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой

O[m ×n].

2. Операции над матрицами

Рассмотрим более подробно операции над матрицами, являющиеся составными частями самого определения матрицы.

1. Равенство матриц. Две матрицы A и B с одинаковыми размерами [m ×n] называются равными, если элементы этих матриц, имеющие одинаковые индексы, совпадают, т.е.

aij =bij (i =1,2,...,m;j =1,2,...,n) .

2. Сложение матриц. Матрица C =A+B , называется суммой матриц

A[m ×n] и B[m ×n], если каждый элемент матрицы

75

cij =aij +bij (i =1,2,...,m;j =1,2,...,n)

Непосредственно из определения сложения матриц A и B вытекают основные свойства операции сложения матриц:

1)A+B =B +A, т.е. сложение коммутативно;

2)(A +B) +C =A +(B +C ) , т.е. сложение ассоциативно;

3)Существует нулевая матрица O[m ×n] такая, что A +O =A для любой матрицы O[m ×n].

3.Умножение матриц на число. Матрица C = λ A называется про-

изведением числа λ на матрицу A[m ×n], если для каждого элемента матрицы C[m ×n] справедливо соотношение

cij = λaij (i =1,2,...,m;j =1,2,...,n)

Очевидны свойства этой операции.

1)(λμ)A = λ(μA) , где μ =const

2)λ(A +B) = λA + λB (дистрибутивность относительно сложения мат-

риц)

3) (λ + μ)A = λA +λB (дистрибутивность относительно сложения кон-

стант)

Заметим, что здесь B[m ×n] - матрица.

4. Умножение матриц. Матрица C[m ×n] называется произведением матрицы A[m ×r] на матрицу B[r ×n], если для любого элемента матрицы C имеет место соотношение

n

cij =ai1b1j +ai 2b2j +... +airbrj = ∑aikbkj , (i =1, 2,...,m;j =1, 2,...,n) .

k=1

При этом пишут: C =A B .

Прежде всего отметим, что из определения произведения матрицы A[m ×r] на матрицу B[r ×n] следует, что умножать матрицу A на матрицу B можно лишь в том случае, если число столбцов матрицы A совпадает с числом строк матрицы B . Кроме того ясно, что в данном случае, вообще говоря, A B ≠B A, так как если r ≠m , то B A то просто не определено, т.е. произведение матриц некоммутативно.

Квадратные матрицы одного порядка называются коммутирующими, если A B =B A. Очевидно, что A E =E A =A, т.е. единичная матрица при умножении матриц играет роль обычной единицы. Можно доказать справедливость и других свойств умножения матриц. Принимая во внимание сказанное, перечислим основные свойства умножения матриц:

1)A B ≠B A (умножение матриц некоммутативно)

2)(A B) C =A (B C ) (умножение матриц ассоциативно)

76

3) (A +B) C =A C +B C (умножение матриц дистрибутивно относительно сложения матриц);

4)A E =E A =A

5)A O =O A =O , причём здесь O - нулевая матрица;

6)det(A B) =detA detB , где A и B - квадратные матрицы.

Пример 1. Вычислить A B , если
1	1	2	1		1	0
				1	−1 1
A =	1		, B =				.
0		−1		0	1	1

Решение. Заметим, что A[2 ×3], B[3×3]. Т.к. число столбцов матрицы A совпадает с числом строк матрицы B , то произведение A B определено, причём матрица C =A B должна иметь размер [2 ×3]. Примем во внимание, что cij =ai1b1j +ai 2b2j +... +airbrj и, полагая r =3, вычисляем элементы матрицы C :

c11 =1 1 +1 1 + 2 0 = 2 ; c12 =1 1 +1 (−1) + 2 1 = 2 ; c13 =1 0 +1 1 + 2 1 = 3 ; c21 =0 1+1 1+(−1) 0 =1;c22 =0 1+1 (−1) +(−1) 1=−2; c23 =0 0 +1 1+(−1) 1=0 .

2		2	3
Окончательно имеем: C =	1	−2	0	.

Заметим, что произведение A B удобно вычислять, перемещая левую руку по строке первой матрицы слева направо, а правую – по соответствующему столбцу второй матрицы B сверху вниз.

Пример 2. Вычислить A B , если

1

A = 2 , B =(2 1 1).1

Решение. Матрицы, что A[3×1], B[1×3]. Число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй, значит, произведение C =A B определено, причём C[3×3]. Вычисляя элемент cij (i =1,2,3;j =1,2,3) , получим матрицу C :

77

	1 2	1 1	1 1			2	1	1
						4	2	2
C =	2 2 2 1 2 1				=				.
	1 2	1 1	1 1			2	1	1

Пример 3. Вычислить C =B A, если

1 B =(2 1 1), A = 2 .

1

Решение. B[1×3], A[3×1], значит, произведение B A определено, причём C[1×1].

Итак:

1

C =B A =(2,1,1) 2 =(2 1+1 2 +1 1) =(5)1

Получили матрицу, имеющую только один элемент a11 =5.

Пример 4. Вычислить C1 =A B и C2 =B A, если

	1	0	1		2	0	0
	1	1			1	1	0
A =			1	, B =				.
	0	1			2	1	1
			1

Решение.

		1	0	1			2	0		0			2 + 0 + 2 0 + 0 +1	0 + 0 +1				4	1	1
C1		1	1					1		0			2 +1 + 2 0 +1 +1	0 +				5	2
	=A B =			1 1								=			0 +1		=			1 ;
		0	1				2	1		1			0 +1 + 2 0 +1 +1	0 +				3	2
				1											0 +1					1
		2	0	0			1		0 1				2 + 0 + 0 0 + 0 + 0 2 + 0 + 0					2	0	2
C2		1	1	0			1						1 +1 + 0 0 +1+ 0 1+1+ 0					2	1	2		;
	=B A =								1 1			=					=
		2	1	1			0						2 +1 + 0 0 +1+1 2 +		1+1			3	2	4
									1 1
	Заметим,		что определены									произведения A B и			B A,				однако
A B ≠B A, т.е. в данном случае матрицы A и B не коммутируют.
	3. Транспонированная матрица
	Определение 1.					Матрица						AT называется транспонированной по

отношению к данной матрице A, если она получается из матрицы A путём замены в ней всех строк на соответствующие им столбцы.

Пусть

78

a

a

...

a

a

a

...

a

a11

a12

...

a1n

a11

a

21

...

am1

A =

21

22

...

2n

=> AT = 12

22

m 2

.

.

.

.

.

... .

a

m1

a

m 2

...

a

a

a

2n

...

a

mn

mn

1n

Свойства транспонированных матриц (без доказательства)

1.(AT )T =A;

2.(λA + μB)T = λAT + μBT ;

3.(A B)T =BT AT ;

4.ET =E .

Определение 2. Матрица A, для которой выполняется условие

AT =A, называется симметрической.

4. Обратная матрица

Определение 3. Матрица A−1 называется обратной по отношению к

квадратной матрице A n - го порядка, если A A−1 =A−1 A =E , где E -

единичная матрица n - го порядка.

Теорема. Для того, чтобы у матрицы A существовала обратная

матрица A−1 , необходимо и достаточно, чтобы матрица A была невырожденная (неособая), т.е. чтобы определитель матрицы A был бы отличен от нуля.

Доказательство. Необходимость. Пусть существует обратная

матрица A−1 , т.е. A A−1 =E , но тогда

det(A A−1 ) =detE =1 => detA detA−1 =1=> detA ≠ 0 .

	Достаточность. Пусть	=detA ≠ 0 .					Обозначим через Aij
	алгебраические дополнения элементов aij матрицы A .
	Рассмотрим матрицу
	A11	A12	...		A1n
		A22
	A21		...	A2n
	B =
		...	...	...
	...
				Ann
	An1	An 2	...

Докажем, что B =A−1 , для чего нужно доказать, что A B =B A =E . Не уменьшая общности доказательства, проведём его для случая n =3 .

79

Найдём

a11

C =A B = a21a31

a11A11 +a12A12 +a13A13

=1 a21A11 +a22A12 +a23A13a31A11 +a32A12 +a33A13

a12		a13			1 A11		A21
a22		a23				A12	A22
a	32	a	33			A	A
						13	23

a11A21 +a12A22 +a13A23 a21A21 +a22A22 +a23A23 a31A21 +a32A22 +a33A23

A31

A32 =

A33

a11A31 +a12A32 +a13A33

a21A31 +a22A32 +a23A33

a31A31 +a32A32 +a33A33

На главной диагонали стоят разложения определителя по элементам первой, второй и третьей строк соответственно, а все другие элементы представляют собой сумму попарных произведений элементов какой-то строки определителя на алгебраические дополнения другой строки. Следовательно

	1			0	0
C =A B =			0		0		=E .
			0	0

Аналогично можно доказать, что и B A =E .

Свойства обратной матрицы

1.(A−1 )−1 =A;

2.(A B)−1 =B−1 A−1 ;

3.(A−1 )T =(AT )−1 .

Пример 5. Найти обратную матрицу A−1 , если

1		2	1
	0	1	1
A =				.
	1	1	2

Решение. Прежде всего вычислим определитель матрицы A:

detA =	1	2	1
	0	1	1	=1 1 2 + 0 1 1+1 1 2 −1 1 1−1 1 1− 2 0 2 = 2
	1	1	2

Найдём алгебраические дополнения матрицы A:

1+1			1	1						2+1	2		1						3+1		2	1
A11 =(−1)			1	2			=1;	A21 =(−1)			1		2			= −3;	A31 =(−1)				1	1			=1;
1+2		0		1					2+2			1	1					3+2			1	1
A12 =(−1)		1		2			=1;	A22 =(−2)				1	2			=1;	A32 =(−1)				0	1			= −1;

80