An_geometria_Lin_algebra

x1 + 2x2 = −1 , 3x2 = −5

решая которую находим x2 = −5/ 3, x1 = −x2 − 2x2 = 7 / 3 .

Т.е. получим ненулевое частное решение x1 = 7 / 3, x2 = −5/ 3, x3 =1. Полагая x3 =c (c -любое действительное число) получим общее решение

x1

= 7c; x2

= −

5c; x3 =c (c ) .

3

3

Пример 3. Решить неоднородную систему

x1 − 2x2

+ x3 − 3x4 + x5

= 0

2x1 + x2

− 2x3 + x4 − x5

=

2

x1 − x2

+ x3 − x4 + x5

=

14

2x1 − 3x2 + 2x3 − 4x4 + 2x5 =

14

3x

1

− x

2

−

x

3

− 2x

4

= 2

Решение. Обозначим через A и Ar соответственно основную и расширенную матрицы системы

		1	−2	1	−3	1					1		−2	1	−3	1		0
		2										2	1 −2 1 −1					2
			1 −2 1 −1
A =		1	−1	1	−1 1			,	r	=		1	−1	1	−1 1			11
									A
		2	−3	2	−4	2						2	−3	2	−4	2		14
		3	−1	−1 −2		0						3	−1	−1 −2		0		2

Сначала надо определить, имеет ли эта система решения и сколько. Для

этого приведём расширенную матрицу Ar и трапециевидной форме, совершая элементарные преобразования над строками

			1		−2	1	−3	1		0
				0	1	0	2	0		1 4
													r .
A	r			0	0	−4 −3 −3				−6 8		= A
				0	0	0	0	0		0
				0	0	0	0	0		0

При этом матрица A перейдёт в A. Очевидно, что rgA =rgAr =3 , т.е.

ранги матриц A и Ar совпадают и меньше числа неизвестных. Значит система совместна и имеет бесчисленное множество решений.

Решение неоднородной системы в этом случае может быть получено как сумма общего решения соответствующей однородной системы и какоголибо частного решения неоднородной.

101

Чтобы найти решения однородной системы, запишем эквивалентную систему с матрицей A:

x1 − 2x2 +x3 −3x4 + x5 = 0 x2 + 2x4 = 0 −4x3 −3x4 − 3x5 = 0

Пример 2.. Найти фундаментальную систему решений и общее решение данной однородной системы

x1 + 2x2 + x3 −x4 = 0 . 2x1 + x2 −3x3 +x4 = 0

Решение. Вычислим ранг матрицы A этой системы, приведя её к трапециевидной форме

1 2		1	−1	1 2			1	−1
A =	2 1				0	−3	−5 3		.
		−3 1

Очевидно, что rgA = 2 . Данная система эквивалентна такой

x1 + 2x2 + x3 − x4 = 0 .
−3x2 −5x3 +3x4 = 0
Фундаментальную систему	получим,			если положить сначала
x3 =1, x4 = 0, а потом x3 = 0, x4 =1.
Для первого случая будем иметь			= −1
x1 + 2x2				,
	3x2 = −5
решая которую, находим x2 = −5 / 3,	x1 = 7 / 3. Т.е..
		7 / 3
X1	=	5 / 3 .
		1
		0
Для второго случая получим систему
x1 + 2x2 =1 ,
		x2 =1
решая которую находим X2 =(−1 1		0 1)T .
Итак, фундаментальная система решений имеет вид

X1 =(7 / 3 −5/ 3 1 0)T , X2 =(−1 1 0 1)T .

Общее решение X получаем, составляя линейную комбинацию фундаментальной системы:

102

X =c1 X1 +c2 X2 .

Т.е. общее решение имеет вид

					7 / 3				−1
					−5 / 3				1
X = c1							+ c2
					1				0
или в координатной форме					0				1
		7
	=		c1 − c2
x1		3
			5
	= −			c1	+ c2		(c1 ,c2 ).
x 2			3
x 3	= c1
x 4	= c2

За базисный минор возьмём минор, стоящий в левом углу матрицы A, т.е. минор, составленный из коэффициентов перед неизвестными x1 , x2 и

x3 . Чтобы найти фундаментальную систему, надо перебрать всевозможные наборы свободных переменных x4 и x5 также, что в каждом наборе одна переменная равна 1, а остальные 0.

Взяв x4 =1, x5 = 0 из системы
x1 − 2x2	+x3	= 3
	x2 = −2

−4x3 = 3

получим x3 = −3/ 4, x2 = −2, x1 = −1/ 4 .

Аналогично, взяв x4 = 0, x5 =1, получим x3 = −3/ 4, x2 = 0, x1 = −1/ 4 . То есть получим фундаментальную систему

X1 =(−1/ 4 −2 −3/ 4 1 0)T , X2 = (−1/ 4 0 −3/ 4 0 1)T .

Общее решение однородной системы имеет вид

Y =c1X1 +c2X2 , где c1 и c2 - произвольные числа.

Теперь найдём какое-либо решение неоднородной системы. Система, соответствующая матрице Ar , имеет вид

x1 −2x2 +x3 −3x4		+x5 =	0
x2 +	2x4	=
			1 .

−4x3 −3x4 − 3x5 =−68

103

и эквивалентна данной. Положим свободные переменные x4 и x5											равными
нулю. Тогда x3 =17, x2 =14, x1 =11,					т.е. получили частное						решение
z =(11 14 17 0 0)T .
Общее решение системы имеет вид X =Y +Z ,т.е.
		−1/ 4				−1/ 4			11
		−2				0			14
X =c1		−3 / 4		+c2		−3 / 4		+	17	.
						0			0
		1
		0				1			0

В координатной форме общее решение запишется так x1 = − 14 c1 − 14 c2 +11

x2 = −2c1 +14

x3 = − 34 c1 − 34 c2 +17 , x4 =c1

x5 =c2

где c1 и c2 - произвольные числа.

§ 6. Альтернатива Фредгольма для линейных систем

Рассмотрим линейные системы m уравнений сn неизвестными

a x

1

+ a

12

x

2

+ ... +

a

1n

x

n

= b

a

11

+ a

+ ... + a

= b

1

x

x

2n

x

n

21

1

22

2

2

…

…

…

…

…

a

x

1

+a

m 2

x

2

+ ... +a

mn

x

n

= b

m

m1

и

a21y1 +a22y2		+ ... + am 1ym		= 0
a12y1 +a22y2		+ ... +am 2ym		= 0
…	…	…	…
				…
a1ny1 +a2ny2		+ ... +amnym = 0

(1)

(2)

В матричном виде эти системы запишутся соответственно так:

A X =B и AT Y = 0 ,

т.е. матрица коэффициентов в системе (2) получается транспонированием матрицы коэффициентов системы (1).

104

Важную связь между множествами решений этих систем устанавливает так называемая альтернатива Фредгольма. (Альтернатива – это ситуация, когда имеет место одно из двух утверждений. Альтернативами также называют и сами эти утверждения, от латинского alter - другой, один из двух).

Альтернативы Фредгольма. Для всяких систем A X =B и

AT Y = 0 справедливо одно из двух утверждений:

1. Система A X =B имеет решение при любом B тогда и только то-

гда, когда система AT Y = 0 имеет только тривиальное (нулевое) решение

Y = 0 .

2. Система A X =B при некотором B несовместна и тогда система AT Y = 0 имеет нетривиальное (ненулевое) решение.

Доказательство.

1. Пусть система (1), т.е. A X =B , имеет решение при любом B (любом наборе b1,...,bm ). В этом случае rgA =m , так как иначе при некотором B

rgA оказался бы меньше ранга расширенной матрицы и система (1) была бы несовместной в силу теоремы Кронекера-Капелли. Так как rgAT =rgA, то в этих условиях rgAT =m , то есть равен числу неизвестных в системе

(2)и эта система имеет только нулевое (тривиальное) решение.

2.Пусть теперь система A X =B при некотором B несовместна. Следо-

вательно rgA <m , значит и rgAT <m , т.е. ранг матрицы системы (2) меньше числа неизвестных и эта система имеет ненулевое (нетривиальное) решение.

Замечание. Альтернативу Фредгольма можно сформулировать и для линейных операторов.

Пример 1. Дана система

x + 2y +3z =b1 .

2x + 4y + 6z =b2

Является ли она совместной при любых значениях b1 и b2 ?

Решение. Имеем

rg		1	2	3 =1.
		2	4	6
Если же к матрице приписать справа столбец 1					, то у расширенной мат-
				0

рицы ранг окажется равным 2. Согласно теореме Кронекера-Капелли система

105

x + 2y +3z =1 2x + 4y + 6z = 0

несовместна. Следовательно ответ на поставленный вопрос отрицательный. В силу второй альтернативы система однородных уравнений

y1 + 2y2 = 0 2y1 + 4y2 = 0 3y1 + 6y2 = 0

должна иметь нетривиальное решение. Действительно. Таким решением является например y1 = 2,y2 = −1.

Пример 2. Является ли система совместной при любых b1 и b2 ?

x + 2y +3z =b1

3x + 4y + 6z =b2

Решение. Ранг матрицы этой системы равен 2. Значит и ранг расширенной матрицы не может быть меньше двух (и не может быть больше, чем 2). Значит при любых b1 и b2 ранг матрицы системы равен

рангу расширенной матрицы и система совместна. Т.е. ответ на поставленный вопрос положителен.

Пример 3. Установить, какая из альтернатив имеет место для системы

x1 +x2 =b1 . x1 −x2 =b2

Решение.	Так как detA =	1	1	= −2 ≠ 0 , то rgA = 2 . Значит и ранг
		1	−1

расширенной матрицы равен 2. Т.е. система совместна при любых b1 и b2 и

имеет место первая альтернатива.

Пример 4. Какая из альтернатив имеет место для системы

x1 + x2 + x3 =b1 . 2x1 + 2x2 + 2x3 =b2

Решение. Так как коэффициенты при неизвестных пропорциональны, то rgA =1. При b1 =1 и b2 = 0 ранг расширенной матрицы будет равен

2, т.е. система несовместна. Имеет место вторая альтернатива.

§ 7. Неравенства первой степени с двумя и тремя переменными. Системы неравенств

1. Линейное неравенство первой степени с двумя переменными

106

y		N	S			y		N	M(x,y)
		M							I
			M0		M(x,y)				M0 (x0 ,y0 )
				x				II		x
			Рис. 4.7.1					Рис. 4.7.2

Рассмотрим на плоскости xOy прямую линию l , проходящую через точку M0 (x0 ,y0 ) и параллельную направляющему вектору S(m,n)

(рис.4.7.1). Очевидно, что векторы M0M и S коллинеарны, следовательно,

их координаты пропорциональны, т.е.

x m−x0 = y −ny0 .

Очевидно, что это есть ни что иное, как каноническое уравнение пря-

мой l , из	которого следует: nx −my −nx0 +my0 = 0 обозначим n =A,
−m =B ,	−nx0 +my0 =c , тогда уравнение прямой l имеет вид:

Ax +By +C = 0 .

Напомним, что уравнение прямой, записанное в таком виде, называется общим уравнением прямой l . Введём в рассмотрение вектор N(A,B). Оче-

видно, что N S = 0 , т.е. вектор N является нормалью к прямой l .
Рассмотрим теперь строгое неравенство Ax +By +C > 0	(1)

Напомним, что решением любого неравенства с двумя переменными f (x,y) > 0 называется упорядоченная пара чисел (x,y) , удовлетворяющая

этому неравенству; решить неравенство – значит найти множество всех его решений. Установим геометрический смысл неравенства (1). Для этого рассмотрим уравнение Ax +By +C = 0 . На плоскости xOy прямая l , имеющая уравнение Ax +By +C = 0 , разбивает плоскость на две полуплоскости

I и II (рис.4.7.2).

Покажем, что в каждой из этих плоскостей трёхчлен Ax +By +C имеем

постоянный знак, т.е. в одной из них выполняется неравенство Ax +By +C > 0 , а в другой Ax +By +C < 0 (на самой прямой l трёхчлен равен нулю).

Принимая во внимание, что Ax0 +By0 +C = 0 , можем написать:

Ax +By +C =Ax +By +C −(Ax0 +By0 +C ) =

=A(x −x0 ) +B(y −y0 ) = N MoM ,

где M(x,y) - точка, лежащая в полуплоскости I или II. Очевидно, что

107

		N M0M = M0M прN M0M .
Если предположить, что вектор нормали равен N(A,B), то очевидно,						что
прN M0M имеет противоположные знаки, если точка M(x,y) лежит в по-
луплоскости		I илиII .
	y			y
		l		l
I	2		I	2
−2		x	−2		x
		II		II
		Рис.4.7.3		Рис. 4.7.4
Пример 1. Решить неравенство x −y + 2 > 0 .
Решение. Прежде всего нарисуем прямую l , имеющую уравнение
x −y + 2 = 0 .		Она разбивает плоскость	на две	полуплоскости I	и	II
(рис.4.7.3). Возьмём точку O(0,0) - начало координат (не лежит в полу-
плоскости I ) и подставим координаты этой точки в левую часть уравнения
прямой l . Получим

x −y + 2 x=0= 2 > 0,

y=0

т.е. координаты точки O(0,0) удовлетворяют данному неравенству.

Замечание: Нестрогое неравенство x −y + 2 ≥ 0 имеет решение, со-

стоящее из множества точек, лежащих правее и ниже прямой l , к которому следует добавить точки, лежащие на прямой l (рис.4.7.4).

2. Система линейных неравенств первой степени с двумя неизвестными.

Рассмотрим систему неравенств:

A1x + B1y +C 1	> 0
A2x + B 2y +C 2	> 0
			(2)
…
An x + Bn y +C n > 0

108

Решением такой системы неравенств называется множество упорядоченных пар чисел (x,y) , удовлетворяющих каждому из неравенств системы

(2). Очевидно, что геометрически множество решений системы (2) состоит из всех точек плоскости xOy , координаты которых удовлетворяют каждому неравенству системы.

Пример 2. Построить множество решений системы:

x − y + 2 ≥ 0 x + y − 6 ≤ 0

x + 2y − 7 ≥ 0

y ≥ 2

Решение. Строим прямые x −y + 2 = 0 , x +y −6 = 0 , x + 2y −7 = 0 , y = 2 . Множеством решений каждого неравенства системы является одна из полуплоскостей, на которые разбивает плоскость соответствующая прямая. Множеством решений системы является их общая часть, представляющая собою четырёхугольник ABCD , изображенный на рис.4.7.5. При этом точки, лежащие на сторонах четырехугольника, в это множество включаются.

6	y
5		A
4	D
3					B	y = 2
2
				C
1						x
−2 −1	1	2	3	4	5	6
			Рис.4.7.5

109

ГЛАВА III. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Прежде чем приступить к изучению конкретных геометрических объектов и их свойств, заметим, что аналитическая геометрия главным образом

рассматривает уравнения этих объектов в координатном пространстве \3

(или \2 ), т.е. в некоторой трехмерной декартовой системе координат Oxyz (или Oxy). Причем, под уравнениями геометрических объектов (прямой линии, плоскости, конуса, гиперболы, окружности и т.п.) мы будем понимать всякое уравнение, устанавливающее связь между координатами (x,y,z) всех

точек, принадлежащих данному геометрическому объекту.

Итак, аналитическая геометрия изучает геометрические объекты и их свойства аналитически, т.е. путем анализа их уравнений.

§ 1. Плоскость в трехмерном пространстве

Положение плоскости в пространстве можно задать различными способами. Действительно, через три данные точки М1, М2 и М3 проходит единственная плоскость, через данную точку М0(x0, y0, z0) перпендикулярно данному вектору n (А,В,С) можно провести единственную плоскость и т.п.

1. Векторное уравнение плоскости. Общее уравнение плоскости

Рассмотрим некоторую плоскость P и точку М(x, y, z) на этой плоскости, так называемую текущую точку плоскости. Пусть кроме этого определен вектор n (А,В,С) - нормаль к плоскости и некоторая точка М0(x0, y0, z0) - фиксированная точка на этой плоскости. Обозначим через r0 и r - радиус

векторы точек М0 и М1 (рис. 3.1.1).

	z				n
			M0 (x0 ,y0 ,z0 )
				M (x,y,z)
			r0		P
	0			r
					y
	x
			Рис. 3.1.1
	JJJJJJJG
		=r −r0 лежит в плоскости. Ясно также, что
	Очевидно, что вектор M0M
	JJJJJJJG

векторы M0M и n перпендикулярны, следовательно, их скалярное произведение равно нулю, т.е.

(r −r0 ) n = 0 ,

(1)

38