An_geometria_Lin_algebra

Уравнение (1) называется уравнением плоскости в векторной форме.

Выражая скалярное произведение через координаты перемножаемых векторов, получим

A(x −x0 ) +B(y −y0 ) +C(z −z0 ) = 0 .

(2)

Уравнение (2) называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку. Обозначая через D выражение −Ax0 −By0 −Cz0 , запишем

уравнение (2) в виде:

Ax +By +Cz +D = 0

(3)

Уравнение (3) называется общим уравнением плоскости. Заметим, что общее уравнение плоскости линейно относительно переменных x , y , z . Можно доказать и обратное, что всякому линейному уравнению вида (3) в пространстве соответствует плоскость. Подчеркнем, что коэффициенты A,B ,C при переменных x , y , и z дают нам ни что иное, как координаты

вектора, перпендикулярного данной плоскости P , т.е. нормали к плоскости

P .

2. Угол между плоскостями. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве

Угол между двумя плоскостями измеряется наименьшим углом между нормалями к ним.

Следовательно, если даны две плоскости P1 : Ax1 +By1 +C1z +D1 = 0 и P2 : A2x +B2y +C2z +D2 = 0 , то угол ϕ между ними можно вычислить из соотношения:

	n1 n2 =		n1				n2		cosϕ
Отсюда следует: cosϕ =	AA1 2				+B1B2					+CC1 2	.

A12 +B12 +C12 A22 +B22 +C22

Интересны частные случаи взаимного расположения двух плоскостей в пространстве.

3. Условие параллельности двух плоскостей

Если две плоскости параллельны, то нормали к ним коллинеарны. Следовательно, условие параллельности двух плоскостей имеет вид:

A1	=	B1	= C1	(3)
A2		B2	C2

4. Условие перпендикулярности двух плоскостей

Если две плоскости перпендикулярны, то перпендикулярны и нормали к ним, т.е. n1 n2 = 0 , откуда следует

(4)

39

Пример 1.

AA1 2 +B1B2 +CC1 2 = 0

Заметим, что условия (3) и (4) не только необходимы, но и достаточны соответственно для параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

Найти уравнение плоскости, проходящей через точку M0 (1,1,2) и параллельной данной плоскости P : x + 2y −z +3 = 0 (рис.3.1.2).

Решение. Искомая плоскость параллельна данной, следовательно нормаль к плоскости P n(1,2,−1) является нормалью также и к искомой плос-

кости (рис. 1), а тогда, принимая во внимание уравнение (2) – уравнение плоскости, проходящей через данную точку, получим уравнение искомой плоскости:

1(x −1) + 2(y −1) −1(z − 2) = 0

Или, раскрывая скобки и приводя подобные члены, окончательно получаем общее уравнение искомой плоскости: x + 2y −z −1 = 0 .

.M0 (1,1, 2)			.M0		n3
					P3
P		n(1,2,−1)
			n1	n2
			P1	P2
Рис. 3.1.2			Рис. 3.1.3

Пример 2. Найти уравнение плоскости, проходящей через данную точку M0 (1,1,2) и перпендикулярную к двум данным плоскостям:

P1 : x + 2y −z +3 = 0 и P2 : 2x −y − 2z −1 = 0 (рис. 3.1.3)

Решение. Обозначим искомую плоскость P3 . Нам известна точка M0 (1,1,2) , ей принадлежащая, значит мы можем написать уравнение плоскости, проходящей через точку M0 - уравнение (2):

A(x −1) +B(y −1) +C(z − 2) = 0

В качестве нормали n3 мы можем взять вектор n3 =n1 ×n2 , т.к. в силу определения векторного произведения вектор n3 перпендикулярен как к вектору n1(1,2,−1) , так и к вектору n2 (2,−1,−2) . Вычисляем

40

n3 =n1 ×n2 =	i	j	k
	1	2 −1		.
	2	−1	−2

Разложим данный определитель по элементам первой строки, тогда будет:

1+1

2 −1

1+2

1

−1

1+3

1

2

= −5i −5k

n3 = i (−1)

−1

−2

+ j (−1)

2

−2

+k (−1)

2

−1

,

т.е. n3 (−5,0,5) . Изменим на нормали n3 направление (так проще), т.е. возьмём n3 (5,0,5) . Возьмём в качестве n3 коллинеарный вектор n3 (1,0,1) . Тогда

уравнение искомой плоскости

1(x −1) + 0(y −1) +1(z − 2) = 0.

Окончательно x +z −3 = 0 .

Пример 3. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки

M1(1,1,−1) , M2 (2,1, 2) и M3 (3,1, −1) . (рис 3.1.4)

Решение. В качестве нормали к искомой плоскости можно взять вектор
JJJJJJJG	JJJJJJJG
n =M1M2	×M1M3 .
Очевидно, что		M1M3	(2,0,0) ,	M1M2				(1,0,3) .
Найдём
			n =			i	j	k		= 6j
						1	0	3
						2	0	0		.

Искомая плоскость A(x −1) +B(y −1) +C(z +1) = 0.

Положим здесь A = 0 , B = 6 , C = 0 . Окончательно получим уравнение искомой плоскости y =1.

n

	M2		P3	M	P2
M1.	M3	P
				P1
	Рис.3.1.4			Рис.3.1.5
Пример 4.	Найти	точку пересечения трёх			плоскостей:

P1 : x +y +z −3 = 0 , P2 : 2x −y −z = 0 и P3 : x + 2y −z − 2 = 0 . (рис. 3.1.5)

41

Решение. Координаты точки пересечения плоскостей удовлетворяют каждому из уравнений плоскости, следовательно решение задачи сводится к нахождению решения системы трёх алгебраических уравнений:

x +y +z = 3

2x −y −z = 0 . x + 2y −z = 2

Найдём решение этой системы по формулам Крамера: x = x , y = y , z = z .

Имеем								1	1				1										1	1			1				= 3 (−1)2 +1						1	1
							=	2	−1					−1							=		3	0			0														= 9
								1	2					−1									1	2				−1									2	−1
						3	1		1											3		0		0							3 (−1)1+1		−1				−1
x =						0 −1 −1								=						0 −1 −							1			=									= 9
						2	2		−1											2		2		−			1						2				−1
					1		3		1									3				3		0				= (−1) (−1)2 +3									3 3
y =					2 0				−1			=						2 0						−1																	= 9
					1		2		−1									−1				2		0												−1		2
				1			1		3								3					0		3		= (−					1) (−1)2+2				3 3
z =				2 −1 0							=						2 −1 0																					= 9
				1			2		2								5					0		2											5		2

Окончательно получим x =1, y =1, z =1. Итак, точка пересечения плоскостей M (1,1,1).

Пример 5. Найти уравнение плоскости, проходящей	через точку
M0 (1,−1,−1) и линию пересечения плоскостей (рис. 3.1.6)
P1 :x +y +z −3 = 0 и P2 : 2x +y −z − 2 = 0	(5)

Решение. Возьмём на линии пересечения плоскостей две какие-нибудь (любые) различные точки M1(x1,y1,z1 ) и M2 (x2 ,y2 ,z2 ) так, чтобы координаты этих точек удовлетворяли системе двух уравнений (5).

Эта система содержит два уравнения с тремя неизвестными, значит она имеет бесчисленное множество решений (это есть множество точек, лежащих на линии пересечения плоскостей l ). Зафиксируем в этой системе переменную z , положив, например, z1 = 0 , тогда получим

x1 +y1 =3	=> x1 = −1, y1 = 4 .
2x1 +y1 = 2

42

Итак, мы нашли точку M1(−1,4,0) . Положим теперь z2 =1, тогда имеем:

	x2 +y2 = 2				=>x2 =1, y2 =1.
	2x2 +y2 =3
Получим вторую точку M2 (1,1,1) . Введём в рассмотрение векторы
JJJJJJJG	JJJJJJJJG
M0M1 = −2i +5j +k ,	M0M2 = 2j + 2k . Теперь можно найти нормаль к ис-
	JJJJJJJG			JJJJJJJJG
комой плоскости P : n =M0M1 ×M0M2 ,
	n =		i	j	k		=8i + 4j − 4k .
			−2 5 1
			0	2	2
Сокращая на 4,	возьмём			более простое выражение для нормали

n = 2i + j − 2k . Теперь остаётся написать уравнение искомой плоскости P :

P : 4(x −1) +1(y +1) − 2(z +1) = 0

Окончательно общее уравнение искомой плоскости: 2x +y −z − 2 = 0

	l		z	M(x,y,z)	S(m,n,p)
	M1	M0	r		M0 (x0 ,y0 ,z0 )
	M2
		n P P2	0	r0
P1					y
			x
	Рис. 3.1.6
			Рис. 3.2.1

§ 2. Прямая линия в пространстве

1. Векторное уравнение прямой

Положение прямой линии в пространстве можно задать различными способами. В частности, через данную точку M0 (x0 ,y0 ,z0 ) параллельно

данному ненулевому вектору S(m,n,p) можно провести единственную

прямую (рис. 3.2.1).

Вектор S называется направляющим вектором прямой. Обозначим через r0 радиус-вектор точки M0 , а через r - радиус-вектор произвольной точки

M , лежащей на прямой. JJJJJJJG	JJJJJJG
Очевидно, что векторы M0M и S коллинеарны, но M0M		=r −r0 , сле-
довательно r −r0 = λS . Отсюда	r =r0 + λS	(1)
	43

Уравнение (1) называется векторным уравнением прямой линии в пространстве.

2. Параметрические и канонические уравнения прямой

Запишем уравнение (1) в виде:

xi +yj +zk =x0i +y0 j +z0k +λmi +λnj +λpk = (x0 +λm)i +(y0 +λn)j+(z0 +λp)k

Примем теперь во внимание, что если два вектора равны, то совпадают их координаты в данном базисе i , j, k :

x =x0	+ λm	(2)
y =y0
	+ λn
z =z0	+ λp

Уравнения (2) называются параметрическими уравнениями прямой.

Здесь в качестве параметра выступаетλ . Придавая λ различные числовые значения из (−∞,+∞) , будем получать на прямой различные точки.

Исключая из уравнения (2) параметр λ , получим так называемые кано-

нические уравнения прямой:

x m−x0 = y −ny0 = z −pz0 .

3. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Пусть даны две различные точки M1(x1,y1,z1 ) и M2 (x2 ,y2 ,z2 ) . Очевидно, что через эти две точки можно провести единственную прямую

(рис.3.2.2). В качестве направляющего вектора этой прямой возьмём вектор

JJJJJJJG

S =M1M2 , а в качестве фиксированной точки можно взять любую из точек

M1 или M2 .

Пусть это будет точка M1 . Тогда канонические уравнения прямой, проходящей через две данные точки, имеют вид

	x −x1	=	y −y1	=	z −z1			.
	x2 −x1		y2 −y1		z2 −z1
M(x,y,z)					n				l
									S
									ϕ
M2 (x2 ,y2 ,z2 )									P
M1(x1,y1,z1 )
Рис. 3.2.2									Рис. 3.2.3

44

4.Угол между двумя прямыми. Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Определение. Углом между двумя прямыми называется наименьший угол между их направляющими векторами.

Очевидно, что если

l1 : x −x1 = y −y1 = z −z1

и l2 : x −x2 = y −y2 = z −z2 ,

m1

n1

p1

m2

n2

p2

то угол ϕ между прямыми l1

и l2 можно вычислить из соотношения

cosϕ =

S1 S2

=

m1m2 +n1n2 + p1p2

.

S1

S2

m12 +n12 + p12 m22 +n22 + p22

1) Если прямые l1

и l2 параллельны, то их направляющие векторы S1 и S2

коллинеарны, следовательно, условие параллельности двух прямых имеет вид:

m1	= n1	=	p1	(3)
m2	n2		p2

2) Если прямые l1 и l2 перпендикулярны, то S1 S2 = 0 , следовательно, ус-

ловие перпендикулярности двух прямых имеет вид:

(4)

m1m2 +n1n2 + p1p2 = 0

Заметим, что в силу рассмотренных ранее теорий условия (3) и (4) являются необходимыми и достаточными условиями соответственно параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве.

5. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

Определение. Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и её проекцией на эту плоскость. (рис. 3.2.3)

Пусть плоскость P задана общим уравнением Ax +By +Cz +D = 0 , следовательно, нормаль к ней n =(A,B,C ) .

Прямая задана каноническими уравнениями x m−x0 = y −ny0 = z −pz0 , поэтому

направляющий вектор прямой S =(m,n,p) .В силу определения, если ϕ - угол между прямой и плоскостью, то

sinϕ =

n S

=

Am +Bn +Cp

.

n

S

A2 +B2 +C 2 m2 +n2 + p2

45

6. Условие параллельности прямой и плоскости

Если прямая параллельна плоскости, то её направляющий вектор пендикулярен нормали n , следовательно, S n = 0 , значит, условие лельности прямой и плоскости имеет вид

Am +Bn +Cp = 0

7. Условие перпендикулярности прямой и плоскости

S перпарал-

(5)

Если прямая перпендикулярна плоскости, то её направляющий вектор коллинеарен нормали к плоскости, следовательно, условие перпендикулярности прямой и плоскости имеет вид:

A	= B	=C	(6)
m	n	p

Заметим, что условия (5) и (6) не только необходимы, но и достаточны соответственно для параллельности прямой и плоскости, а также для перпендикулярности прямой и плоскости.

Пример 1. Найти канонические уравнения прямой, проходящей через

	точку	M0 (1, −1,2) и параллельной			данной прямой	l :	x +1	= y −1 =	z
							2		−1
	(рис.3.2.4).							−1
	Решение. Направляющий вектор данной прямой l					есть S = 2i − j −k .
	Искомая прямая l1 параллельна данной прямой l , значит её направляю-
	щий вектор S1 =S . Фиксированная точка M0 (1, −1,2)					лежит на искомой. Её
	канонические уравнения: x −1			= y +1	= z − 2 .
			2	−1	−1	l
					S	M0
	l1	M0	S1				S2	l2
	l		S				S1
								l1
		Рис.3.2.4			Рис. 3.2.5

Пример 2. Найти канонические уравнения прямой, проходящей через точку M0 (1,0,−1) и перпендикулярной к двум данным прямым

l1	: x	= y −1	= z +1	и l2 :	x −1	= y +1	= z	(рис.3.2.5).
	1	2	−1		−1	1	1

46

Решение. В качестве направляющего вектора искомой прямой l возь-

мём вектор S =S1 ×S2 =	i	j	k	= 3i +3k . Возьмём коллинеарный вектор
	1	2	−1
	−1	1	1
B(1,0,1) . Канонические уравнения прямой l : x −1 = y						= z +1 .
			1		0	1
Пример 3. Найти уравнение прямой,					проходящей через точку
M0 (1,1,2) и перпендикулярной к данной плоскости						P : x − 2y −z +5 = 0
(рис. 3.2.6)

Решение. В качестве направляющего вектора искомой прямой можно взять нормаль к данной плоскости n(1,−2,−1). Искомая прямая l имеет ка-

нонические уравнения: x −1				= y −1	= z − 2 .
	l		1	−2	−1
		M0
					l
		S			S(1,−2,−1)
	P		n		M1
					P
	Рис. 3.2.6				Рис. 3.2.7
Пример 4. Найти координаты точки пересечения прямой
l : x −1	= y −1	= z − 2	и плоскости P : x + 2y +3z −3 = 0 (рис. 3.2.7).
1	−2	−1

Решение. От канонических уравнений данной прямой перейдём к её параметрическим, положив x 1−1 =t , y−−21 =t , z−−12 =t . Откуда следует

x =t +1 y = −2t +1

z = −t + 2

Выясним, при каком значении параметра t данная прямая l и плоскость P пересекаются. Для этого нужно найденные значения x , y и z подставить в уравнение плоскости P : (t +1) + 2(−2t +1) +3(−t + 2) −3 = 0 .

Отсюда следует, что t =1, т.е. при значении параметра t =1 прямая и плоскость пересекаются. Вернём t =1 в параметрическое уравнение прямой, получим координаты искомой точки

47

x1 =1+1 = 2
y1 = −2 1+1 = −1 .
z1 = −1+ 2 =1

Итак M1(2,−1,1) .

Пример 5. Найти канонические уравнения линии пересечения плоско-

стей P1 : x +y = 0 и P2 : 2x +y −z −3 = 0 . (рис. 3.2.8)

Решение. Для того, чтобы написать канонические уравнения прямой,

мы

должны знать точку M0 на этой прямой и её направляющий вектор S . 1. Точку M0 мы найдём, решив систему уравнений

x +y = 0 2x +y −z = 3 .

Эта система имеет бесчисленное множество решений (множество точек на прямой l ). Нам достаточно найти одну какую-нибудь точку из этого множества. Для этого положим в системе z =z0 = 0, тогда для нахождения

x0 и y0 имеем систему
x0	+y0	= 0	=> x0 =3 , y0 = −3.
2x
	0 +y0 =3

Итак, M0 (3, −3,0)

2. В качестве направляющего вектора S искомой прямой можно взять вектор S =n1 ×n2 . Здесь n1(1,1,0) и n2 (2,1,−1) . Вычислим вектор S :

		S =	i	j	k	= −i + j −k .
			1 1 0
			2	1	−1
Итак, уравнения линии пересечения плоскостей P1 и
		P2 : x −3			= y +3			=	z
									−1
				−1			1
n2	l	n1									n
P2	M0								l2		S1
	S	P1			P		l1			M	S2
											0
	Рис. 3.2.8								Рис. 3.2.9

48