- •Практикум
- •Занятие 7.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Занятие №9.
- •Правило Лопиталя.
- •Производная функции, заданной параметрически.
- •Примеры
- •Как определять интервалы выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графика функции:
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Перечень вариантов домашней контрольной работы по теме «Исследование функций и построение их графиков»
- •Список литературы
- •Скворцова Мария Ивановна Мудракова Ольга Александровна Кротов Герман Сергеевич
Задачи для самостоятельного решения
Написать уравнения касательной и нормали к кривой в заданной точке :
а) ;
б) ;
в) .
В какой точке касательная к параболе
а) параллельна прямой ?
б) перпендикулярна прямой ?
Найти дифференциал следующих функций :
а) ;б) ;в) .
Вычислить приближённо:
а) ;б) .
Ответы
а) ; б); в).
а) ; б).
4) а) 2,25; б) 1.
Занятие №9.
Правило Лопиталя для вычисления пределов. Производная функции, заданной параметрически.
Правило Лопиталя.
1) Пусть надо найти , где(или), т.е. имеет место неопределённость видаили.Тогда:
.
(Предполагается, что существуют производные в окрестности точки, а также существует предел, стоящий справа).
2) Пусть надо найти , где,, т.е. имеется неопределённость вида. Тогда следует сделать преобразование:, получив неопределённость вида, и воспользоваться указаниями в п.1).
3) Пусть надо найти , где,, т.е. имеется неопределённость вида. Тогда сделать подходящее преобразование выраженияи прийти к случаю 1) или 2).
4) Пусть надо найти , где имеется неопределённость вида. Пользуясь свойствами логарифма, преобразуем данный предел:
Таким образом, вычисление исходного предела сводится к вычислению предела
.
Замечание. Возможна ситуация, когда существует , но не существует. Тогда правило Лопиталя не применимо.
Производная функции, заданной параметрически.
Пусть функция задана параметрически:
Тогда её производная находится по следующей формуле:
.
Примеры
Найти пределы, используя правило Лопиталя:
;
;
;
;
;
;
;
Найти для функции, заданной параметрически:
а) ;
;
б) ;
.
Задачи для самостоятельного решения
Найти пределы:
1) ;2) ;3) ;4) ;5) ;6) ;7) ;8) ;9) ;10) ;11) ;12) ;13) ;14) ;15) .
16) Найти : а), б), в).
Ответы
1) ; 2) –2; 3); 4) 1; 5); 6); 7) 0; 8) 1; 9) 0; 10) 0; 11); 12); 13) 1; 14); 15) 1; 16) а); б); в).
Занятие №10
Контрольная работа №2 по теме
«Производная функции одной переменной».
Вариант-образец
Написать уравнения касательной и нормали к параболе в точке с абсциссой.
Уравнения касательной и нормали в общем виде:
, .
Здесь ;. Поэтому уравнения касательной и нормали имеют следующий вид:
или ;
или .
Найти производную для заданной функции:
а) ;
;
б) ;
.
в) ;
.
г) ;
Используем логарифмическое дифференцирование: ;
,
.
д)
Производная функции, заданной параметрически, вычисляется по формуле:.
Так как здесь , то.
Занятие №11
Исследование функций:
нахождение интервалов возрастания (убывания) функции, экстремумов, интервалов выпуклости (вогнутости), точек перегиба, асимптот графика функции
Определение. Точка называетсяточкой максимума (минимума) функции , еслиокрестность точкивида, такая чтодляиз этой окрестности. Точки максимума и минимума называютсяточками экстремума функции .
Определение. Функция называетсявозрастающей (убывающей) на числовом промежутке , если длятаких, что:
.
Определение. Точка , в которой функцияопределена, но либо, либо, либоне существует, называетсякритической точкой 1-го рода.
Как определять интервалы возрастания (убывания) функции и точки экстремума:
1) Найти ;2) определить критические точки 1-го рода для ;3) нанести эти точки, а также точки разрыва функции, на числовую ось; 4) определить знак в каждом из интервалов, на которые эти точки разбивают числовую ось.
Если на рассматриваемом интервале, товозрастает (убывает) на этом интервале. Если при переходе аргументачерез критическую точкуслева направоменяет знак с «+» на «—» (с «+» на «—»), то— точка максимума (минимума). Если смены знакане происходит, то в точкенет экстремума. Заметим, что все вышеуказанные данные можно поместить в таблицу, как это сделано в приводимых далее примерах.